第一讲圆的 定义.docx

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第一讲圆的定义

圆的知识及性质

【基本概念】

1．圆的定义

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

2．有关概念：

弦：

连接圆上任意的两点的线段叫做弦。

其中，直径是过圆心的弦，是最长的弦;

弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作

”，读作“圆弧AC”或“弧AC”；

等弧：

如果两条弧完全重合，那么这两条弧是等弧；

弧的分类：

①大于半圆的弧称为优弧；②小于半圆的弧称为劣弧；③直径所对的弧称为半圆；

弦心距：

圆心到弦的距离；

等圆（半径相等的两个圆）、同圆（圆心和半径都相同）、同心圆（圆心相同，半径不一定相等）。

●圆既是轴对称图形（无数条对称轴，对称轴为过圆心的直线），又是中心对称图形，对称中心是圆心．

【典型例题】

1．在右图中，弦、直径、弧（劣弧、优弧）分别指的是什么？

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段_____，______，______，______；

②经过圆心的弦叫做直径，如图线段_______；

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，如____，______，______，_______，______，______，______，______等；

2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

知识点1：

圆心角——顶点在圆心的角。

等对等定理：

圆心角、弦、弧之间关系：

在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦也相等；

如果弧相等，那么它所对的圆心角相等，所对的弦也相等；

如果弦相等，那么所对的圆心角相等，圆心角所对的弧相等。

【典型例题】

1．如图在⊙O中，圆心角有，，，，；它们所对的弧分别是，，，，；若

，∠1=45°，则∠2的度数为。

2．如图，AB是直径，

，∠BOC=40°，则∠AOE的度数为。

第1题第2题

【课堂练习】

1．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∠ABC＝70°，则∠A＝（）

A．25°B．40°C．80°D．100°

2．如图，A、B、C是⊙O上的三点，点C是劣弧AB的中点，∠A＝40°，则∠B的度数等于（）

A．40°B．50°C．60°D．70°

第1题第2题

知识点2：

圆周角

【基本概念】顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的顶点在圆上，它的两边与圆相交．

★★★圆周角定理及其推论：

　　①圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．

　　②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半．

　　③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等．

④直径定理：

直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．

【知识透析】

1．圆周角的度数等于它所对的弧的度数（圆心角度数）的一半．

2．直径定理：

直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

【典型例题】

1．已知在圆中一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x+100）°和（5x-30）°，则这条弧所对的圆心角的度数是，圆周角的度数是。

2．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠BOC的度数是，∠OBC的度数是。

3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）

4．如图，AB是⊙O的直径，∠C=20°,则∠ABD=__________。

5．如图，在⊙O中，已知∠ACB=100°，则劣弧

所对的∠AOB=______度。

A、30°B、45°C、60°D、90°

【课堂练习】

1．如图1，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角

的度数是（）

A．156°B．78°C．39°D．12°

2．如图2，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上则∠ACB的度数为（）

A．45°B．35°C．25°D．20°

3．如图3，AB是⊙O的直径，∠COB=70°，

·

则∠A＝_____度．

4．如图4，点O为优弧ACB所在圆的心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D＝__________．

图1图2图3图4

5．在同圆中，同弦所对的圆周角（）

A．相等B．互补C．相等或互补D．互余

6．圆中有四边形ABCD中，点A、B、C、D都在圆上，AC垂直平分BD，∠BAC＝50°，则∠BCD＝

7．如图7，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠AEC＝______度

8．如图8，AB是⊙O的直径，∠COB＝70°，则∠A＝度．

9．如图9，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠C+∠D＝度.

10．如图10，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠ABD＝50°，则∠BCD＝.

图7图8图9图10

【巩固练习】

1．一条弦分圆周为5:

7，这弦所对的两个圆周角的度数为（）

A.150°，120°B.75°，105°C.60°，120°D.120°，240°

2．下列命题，是真命题的是（）

A.相等的圆周角所对的弧相等B.圆周角的度数等于圆心角度数的一半

C.90°圆周角所对的弦就是直径D.长度相等的弧所对的圆周角相等

3．弦长等于半径的弦所对的圆心角度数为，这弦所对的劣弧的圆周角度数为。

4．如图1，若∠AOB=60°，则

的度数为，∠ACB=。

5．如图2，⊙O中，∠ACB=130°，则∠AOB=。

6．如图3，

的度数是48°，

的度数是32°，则∠P+∠Q=。

图1图2图3

（选讲）知识点3：

垂径定理

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

（均可使用等腰三角形的判定来推理）

推论一：

平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.

　　推论二：

弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧.

推论三：

平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧.

★辅助线做法：

连接圆心和两个端点，并利用勾股定理进行有关计算或证明。

例1．⊙O中若直径为25cm，弦AB的弦心距为10cm，则弦AB的长为

例2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为cm．

习题1．若图的半径为2cm，圆中一条弦长2cm，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为

习题2．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD＝6cm，OE＝4cm，则AB＝

习题3．如图，AB是⊙O的弦，

于点C，若AD＝8cm，OC＝3cm，则⊙O的半径为cm．

【课堂练习】

1．在圆柱形油槽内装有一些油。

截面如图，油面宽AB为6分米，油面距离圆

心的高度为4分米，直径MN为（）

A．6分米B．8分米C．10分米D．12分米

2．在圆柱形油槽内装有一些油。

截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入

一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，直径MN为（）

A．6分米B．8分米C．10分米D．12分米

3．已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：

圆心O到弦AB的距离.

4．如图，PA是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过弧AC中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B。

若HB=4，BC=2，求⊙O的直径。

5.如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？

说明理由．

如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？

为什么？

如图3，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？

图1图2图3

【综合提高】

1．如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值是多少.

2．如图，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．

3．如图1，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于点D、E，

（1）求证：

△ODE是等边三角形

（2）如图2，若∠A=60°，AB≠AC，则

（1）中结论是否成立？

如果成立，请说明理由。

图1图2

4．已知圆O的内接正方形ABCD，P为圆上任意一点，∠APC=90°，∠APD=45°，PA+PC=6，求PD

5．已知四边形ABDC是⊙O的内接四边形，D是弧BC的中点，

（1）若AD是⊙O的直径，求证：

AD是∠BAC的平分线；

（2）若BD⊥CD，试说明AB+AC＝

AD。

【课后练习】

1．如图1，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，D是弧AC上任一点（不与A、C重合），则∠ADC的度数是.

2．如图2，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，且AD//BC，对角线AC与BD相交于点E，那么图中有对全等三角形.相等的圆周角有对.

3．如图3，在⊙O中，∠A=120°，弦BC=

，那么该圆的直径为.

图1图2图3

4．如图4，A、B、C是⊙O上的三点，若∠OAB=46°，则∠ACB=.

5．如图5，AB是⊙O的直径，弧BC=弧BD，∠A=25°，则∠BOD的度数是.

6．如图6，AB是直径，OC⊥AB，EF∥AB交OC于D，且OD=DC，则∠ABE=

图4图5图6

7．如图7，∠AOB=100°，则∠A+∠B=

8．如图8，AB是半圆O的直径，AC=AD，OC=2，∠CAB=30°，则点O到CD的距离OE=

图7图8

9.A、B、C是⊙O上的三点，AB=26，AC=24，BC=10，⊙O的半径=

10.若圆的弦长等于这个圆的半径，则此弦所对的圆周角的度数是

11.有下列四个命题：

①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有

12.如图，A、B、C、D、E都是⊙O上的点，且AB=BC=CD，如果∠BAD=54°，求∠AED的度数。