学年度最新人教版八年级数学上册《三角形全等的判定》例题精讲及解析doc.docx

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学年度最新人教版八年级数学上册《三角形全等的判定》例题精讲及解析doc

八年级数学（人教版上）同步练习第十一章

第二节三角形全等的判定

一.教学内容：

三角形全等的判定

1.三角形全等的判定；

2.直角三角形全等的判定；

3.学习掌握综合证明的格式、步骤。

二.知识要点：

1.三角形全等的判定

（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

表示方法：

如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。

表示方法：

如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）。

（3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。

表示方法：

如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。

表示方法：

如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。

表示方法：

如图所示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵AB＝DE，BC＝EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。

注意：

①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：

有一组对应边相等。

②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，显然它们不全等。

③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。

2.全等三角形的基本图形

在平面几何中，有很多问题都可以借助于三角形全等来解决，比如线段的相等、角的相等、平行、垂直关系等。

在运用三角形全等这一工具时，主要是找两个三角形，并找出它们满足全等的条件来；解题时经常需要通过观察图形的运动状况，把两个全等三角形中的一个看成是另一个的平行移动、翻折、旋转等方法得到的，这需要对常见的全等三角形做到心中有数，如下图列举了几个常见的基本图形。

掌握这些全等形的对应边和对应角的位置关系，对我们在复杂的几何问题中迅速、准确地确定全等三角形是至关重要的。

三.重点难点：

1.重点：

能够快速准确地找出适合题意的三角形全等的判定方法。

理解证明的基本过程，掌握综合法证明的格式。

2.难点：

分析证明命题的途径，这一步学习起来比较困难，需要在学习中逐步培养学生的分析能力。

【考点分析】

三角形全等的判定是一个比较重要的知识点，在考题中一般是选择题和填空题，也有证明题和计算题，甚至是探究题。

【典型例题】

例1.如图所示，AB＝CD，AC＝DB。

求证：

△ABC≌△DCB。

分析：

由已知可得AB＝CD，AC＝DB，又因为BC是两个三角形的公共边，所以根据SSS可得出△ABC≌△DCB。

证明：

在△ABC和△DCB中，

∵，

∴△ABC≌△DCB（SSS）

评析：

证明格式：

①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。

例2.已知：

如图所示，AB＝DE，∠B＝∠DEF，BE＝CF。

求证：

AC∥DF。

分析：

欲证AC∥DF，可通过证明∠ACB＝∠F，由平行线的判定定理即可得证。

而∠ACB与∠F分别是△ABC和△DEF的内角，所以应先证明△ABC≌△DEF。

由BE＝CF易得BC＝EF，再结合已知条件AB＝DE，∠B＝∠DEF即可达到目的。

证明：

∵BE＝CF，

∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF。

在△ABC和△DEF中，，

∴△ABC≌△DEF（SAS）。

∴∠ACB＝∠F。

∴AC∥DF。

评析：

通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。

这里大括号中的条件按照“SAS”顺序排列。

例3.如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于D，BF⊥CD于F，AB交CD于E，求证：

AD＝BF－DF。

分析：

要证AD＝BF－DF，观察图形可得CF＝CD－DF，只需证明CF＝AD，CD＝BF即可，也就是要证明△CFB≌△ADC。

由已知BC＝AC，∠CFB＝∠ADC＝90°，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由BF⊥CD，∠ACB＝90°，易证得∠CBF＝∠ACD，问题便得到证明。

证明：

∵∠ACB＝90°，BF⊥CD

∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠CBF＋∠BCD＝90°

∴∠CBF＝∠ACD（同角的余角相等）

又∵AD⊥CD，∴∠CFB＝∠ADC＝90°

在△CFB和△ADC中，

∴△CFB≌△ADC（AAS）

∴CF＝AD，BF＝CD（全等三角形的对应边相等）

又∵CF＝CD－DF

∴AD＝BF－DF

评析：

由条件AC＝BC和垂直关系可得，AC、BC为两个直角三角形的斜边，还需要一对角相等即可用AAS证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度证明角相等。

例4.如图所示，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF，求证：

AB＝CD。

分析：

要证明AB＝CD，由于AB、CD分别是△ABF和△DCE的边，可尝试证明△ABF≌△DCE，由已知易证：

∠B＝∠C，∠AFB＝∠DEC，下面只需证明有一边对应相等即可。

事实上，由BE＝CF可证得BF＝CE，由ASA即可证明两三角形全等。

证明：

∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）

又∵AF∥DE，∴∠AFC＝∠DEB（同上）

∴∠AFB＝∠CED（等角的补角相等）

又∵BE＝CF，∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE

在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE（ASA）

∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）

评析：

由平行条件转化角，由线段和差关系转化线段，为证三角形全等做准备。

解题思路：

由已知条件，探寻三角形全等的条件，证得全等，再利用全等的性质解决相关问题。

例5.如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动。

问点P运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△PQA全等？

分析：

要使△ABC与△PQA全等，由于∠C＝∠PAQ＝90°，PQ＝AB，则只需AP＝CB或AP＝CA，由HL即可知道它们全等，从而容易确定P点的位置。

解：

由题意可知，∠C＝∠PAQ＝90°，又AB＝PQ，要使△ABC≌△PQA，则只需AP＝CB或AP＝CA即可，从而当点P运动至AP＝5cm，即AC中点时，△ABC≌△QPA；或点P与点C重合时，即AP＝CA＝10cm时，△ABC≌△PQA。

评析：

要证某两个三角形全等，但缺少条件，要求把缺少的条件探索出来。

解决这类题要从结论出发，借助相关的几何知识，探讨出使结论成立所需的条件，从而使问题得以解决。

本题中涉及到分类讨论的思想，要求同学们分析思考问题要全面，把各种情况都考虑到。

例6.（2007年四川内江）如图，△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，A、B、D三点在同一直线上，连结CD、AE，并延长AE交CD于F。

（1）求证：

△ABE≌△CBD。

（2）直线AE与CD互相垂直吗？

请证明你的结论。

分析：

根据已知条件易得AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠CBD＝90°正好是△ABE和△CBD全等的条件。

对于AE与CD垂直关系的证明需要推证出∠CFA＝90°。

证明：

（1）∵△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，

∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠CBD＝90°

∴△ABE≌△CBD（SSA）

（2）AE⊥CD，

∵在△ABE和△CEF中，∠EAB＝∠ECF，∠AEB＝∠CEF，且∠ABE＝90°，

∴∠ECF＋∠CEF＝∠EAB＋∠AEB

∴∠ECF＋∠CEF＝180°－（∠EAB＋∠AEB）

即∠AFC＝∠ABE＝90°

∴AE⊥CD。

评析：

利用已知，结合图形探索三角形全等的条件，逐步分析解决问题，把握解题思路。

【方法总结】

1.现阶段三角形全等所需的三个条件常与下列几种情况有关：

①利用中点的定义证明线段相等；②利用垂直的定义证明角相等；③利用平行线的性质证明角相等；④利用三角形的内角和等于180°证明角相等；⑤利用图形的和、差证明边或角相等。

2.证明一个几何中的命题有以下步骤：

①根据题意，画出图形。

②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证。

③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明的过程。

在一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了。

证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。

这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的重要结论。

3.构造全等三角形

要能够构造两个全等三角形，利用“全等三角形的对应边相等”的特征，实地操作，测量出不能到达的两点之间的距离，并能说出这样测量的道理。

【模拟试题】（答题时间：

60分钟）

一.选择题

1.下列条件不能判定两个三角形全等的是（）

A.有两边和夹角对应相等B.有三边分别对应相等

C.有两边和一角对应相等D.有两角和一边对应相等

2.下列条件能判定两个三角形全等的是（）

A.有三个角相等B.有一条边和一个角相等

C.有一条边和一个角相等D.有一条边和两个角相等

3.如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，那么图中共有全等三角形（）

A.1对B.2对C.4对D.8对

4.如图所示，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（）

A.∠E＝∠BB.ED＝BCC.AB＝EFD.AF＝CD

5.如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，则（）

A.△ABC≌△AFEB.△AFE≌△ADC

C.△AFE≌△DFCD.△ABC≌△ADE

6.我们学过的判定两个直角三角形全等的条件，有（）

A.5种B.4种C.3种D.2种

7.如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝DC，那么图中的全等三角形有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，且BC＝6cm，则BD＝__________.（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

9.如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，则下列结论成立的是（）

A.BD＝CDB.DE＝DFC.∠B＝∠CD.AB＝AC

二.填空题

10.如图所示，AC∥BD，AC＝BD，那么__________，理由是__________.

11.已知△ABC≌△A'B'C'，AB＝6cm，BC＝7cm，AC＝9cm，∠A'＝70°，∠B'＝80°，则A'B'＝__________，B'C'＝__________，A'C'＝__________，∠C'＝__________，∠C＝__________.

12.如图所示，已知AB＝AC，在△ABD与△ACD中，要使△ABD≌△ACD，还需要再添加一个条件是____________________.

13.如图所示，已知△ABC≌△DEF，AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝5cm，CF＝2cm，∠A＝70°，∠B＝65°，则∠D＝__________，∠F＝__________，DE＝__________，BE＝__________.

14.（2007年福州）如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是__________（只要求写一个条件）.

15.（2007年沈阳）如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一个条件，使得△AOB≌△DOC，你补充的条件是__________.

三.解答题

16.（2007年浙江温州）已知：

如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：

AC＝AD.

17.（2007年浙江金华）如图，A、E、B、D在同一直线上，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AC∥DF.

（1）求证：

△ABC≌△DEF；

（2）你还可以得到的结论是__________（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母）

18.（2007年武汉）你一定玩过跷跷板吧！

如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直.当一方着地时，另一方上升到最高点.问：

在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA'、BB'有何数量关系？

为什么？

19.MN、PQ是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口C等距离的B、E两处，这时他们分别从B、E两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达A、D两点，他们的行走路线AB、DE平行吗？

请说明你的理由.

20.有一块不规则的鱼池，下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端A、B的距离的方案，请你分析一下两种方案的理由.

方案一：

小明想出了这样一个方法，如图①所示，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，测得DE的长就是AB的长.你能说明一下这是为什么吗？

方案二：

小军想出了这样一个方法，如图②所示，先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A、B的点C，连结AC并延长到点D，使CD＝CA，连结BC并延长到E，使CE＝CB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离.你能说明一下这是为什么吗？

21.我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等.那么在什么情况下，它们会全等?

（1）阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）.

对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：

已知：

△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.

求证：

△ABC≌△A1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整）

证明：

分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1.

则∠BDC＝∠B1D1C1＝90°，

∵BC＝B1C1，∠C＝∠C1，

∴△BCD≌△B1C1D1，

∴BD＝B1D1.

______________________________。

（2）归纳与叙述：

由

（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论.

【试题答案】

1.C2.D3.C4.D5.D6.A7.C8.C9.B

10.△AOC≌△BOD；AAS或ASA

11.6cm7cm9cm30°30°

12.BD＝CD或∠BAD＝∠CAD

13.70°45°4cm2cm

14.∠B＝∠C、∠AEB＝∠ADC、∠CEO＝∠BDO、AB＝AC、BD＝CE（任选一个即可）

15.AO＝DO或AB＝DC或BO＝CO

16.证△ACB≌△ADB

17.

（1）证明：

∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）

（2）答案不唯一，如：

AE＝DB，∠C＝∠F，BC∥EF等.

18.答：

AA'＝BB'，证△AA'O≌△BB'O

19.平行.理由如下：

由已知条件得，AB＝DE，BC＝CE，

在Rt△ABC和Rt△DCE中，

∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL），∴∠ABC＝∠DEC，∴AB∥DE.

20.小明的做法有道理，其理由如下：

因为AB⊥BF，DE⊥BF，所以∠ABC＝∠EDC，又因为A、C、E三点在同一条直线上，所以∠ACB＝∠ECD，且BC＝DC，所以△ABC≌△EDC（ASA），所以AB＝DE（全等三角形的对应边相等）.小军的做法有道理，其理由如下：

因为在△ABC和△DCE中，CD＝CA，∠ACB＝∠DCE（对顶角相等），CE＝BC，所以△ABC≌△DEC（SAS），所以AB＝DE（全等三角形的对应边相等）.

21.

（1）又∵AB＝A1B1，∠ADB＝∠A1D1B1＝90°，∴△ADB≌△A1D1B1，∴∠A＝∠A1，又∵∠C＝∠C1，BC＝B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1

（2）若△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1，则△ABC≌△A1B1C1.