鲁教版八年级数学下册《第8章一元二次方程》常考热点优生辅导训练1附答案.docx

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鲁教版八年级数学下册《第8章一元二次方程》常考热点优生辅导训练1附答案

2021年鲁教版八年级数学下册《第8章一元二次方程》常考热点优生辅导训练1（附答案）

1．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（　　）A．m≠2B．m＞2C．m≥2D．m＜2

2．已知x＝﹣1是一元二次方程（m+4）x2+2x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　）

A．﹣1或2B．﹣1C．2D．0

3．某商店销售连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．若想要商店每天盈利1200元，每条连衣裙应降价（　　）

A．5元B．10元C．20元D．10元或20元

4．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（　　）

A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1

5．对于任意实数m，关于x的方程x2+（m+3）x+m+2＝0，则方程根的情况为（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

6．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣7＝0的两根，则x12﹣x1+x2的值为（　　）

A．9B．7C．5D．3

7．每年春秋季节，流感盛行，极具传染性．如果一人得流感，不加干预，经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？

设每人每轮平均感染x人，则下列方程正确的是（　　）

A．（x+1）2＝81B．1+x+x2＝81

C．1+x+（x+1）2＝81D．1+（x+1）+（1+x）2＝81

8．关于x的一元二次方程x2﹣2x＝k﹣1，下列结论不正确的是（　　）

A．当方程有实数根时k≤2

B．当k＝1时，方程的实数根为x1＝0，x2＝2

C．当k＞0时，方程一定有两个不相等的实数根

D．若x1、x2为方程的两个实数根，则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|

9．若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则k的值为（　　）

A．10B．

C．10或

D．

10．若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（　　）

A．x1＝1，x2＝﹣2B．x1＝1，x2＝0C．x1＝3，x2＝﹣2D．x1＝3，x2＝0

11．若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则m2+n2﹣mn的值是　　．

12．若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝　　．

13．已知一元二次方程ax2﹣x+1＝0（a≠0），有两个实数根，则a的取值范围是　　．

14．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k＝　　．

15．若m、n是方程x2+2020x﹣2021＝0的两个实数根，则m+n﹣2mn之值为　　．

16．设α、β是方程x2+2x﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为　　．

17．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为　　．

18．关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝　　．

19．如果关于x的方程

的两个实数根分别为x1，x2，那么

的值为　　．

20．已知一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为　　．

21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　　．

22．用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）（x+2）2＝3（x+2）；

（2）4x2﹣28x+13＝0．

23．关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m＝0．

（1）求证：

方程总有两个不相等的实数根；

（2）若x1，x2是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值．

24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）记该方程的两个实数根为x1和x2，若以x1，x2，3为三边长的三角形是直角三角形，求k的值．

25．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析：

（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？

（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

26．平遥牛肉久负盛名．据史料记载，清代时已誉满三晋．其制作工艺独特，用料讲究，所产牛肉营养丰富，具有扶胃健脾之功效．某特产店以每千克110元的价格购进一批平遥牛肉，当按每千克140元的价格出售时，平均每天可销售30千克．“十一”期间，为了尽可能扩大销售量，商家决定降价销售．经调查发现，每千克降价1元，每天可多卖2千克．若该经销商想要每天获利1000元，则每千克应降价多少元？

27．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．

（1）AB＝　　米（用含x的代数式表示）；

（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；

（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？

若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．

参考答案

1．解：

根据题意得△＝m2﹣4×1×（m﹣1）＝（m﹣2）2＞0，

解得m≠2，

故选：

A．

2．解：

把x＝﹣1代入（m+4）x2+2x﹣m2＝0得：

（m+4）﹣2﹣m2＝0，

解得：

m1＝2，m2＝﹣1，

故选：

A．

3．解：

设每条连衣裙降价x元，则每天售出（20+2x）条，

依题意，得：

（40﹣x）（20+2x）＝1200，

整理，得：

x2﹣30x+200＝0，

解得：

x1＝10，x2＝20．

答：

每条连衣裙应降价10元或20元．

故选：

D．

4．解：

∵x2+2x﹣3＝0，

∴x2+2x＝3，

则x2+2x+1＝3+1，即（x+1）2＝4，

故选：

B．

5．解：

∵a＝1，b＝m+3，c＝m+2，

∴△＝b2﹣4ac＝（m+3）2﹣4×1×（m+2）＝（m+1）2≥0．

∴方程有有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根．

故选：

D．

6．解：

∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣7＝0的两根，

则x12﹣2x1﹣7＝0，x1+x2＝2，

∴x12﹣x1+x2＝x12﹣2x1+x1+x2＝7+2＝9，

故选：

A．

7．解：

设每人每轮平均感染x人，

∵1人患流感，一个人传染x人，

∴第一轮传染x人，此时患病总人数为1+x；

∴第二轮传染的人数为（1+x）x，此时患病总人数为1+x+（1+x）x＝（1+x）2，

∵经过两轮后共有81人得流感，

∴可列方程为：

（1+x）2＝81．

故选：

A．

8．解：

A、原方程可以化为（x﹣1）2＝k，当k≥0时，方程有实数解，故A不正确．

B、当k＝1时，则x2﹣2x＝0，

解得x1＝0，x2＝2．故B正确；

C、∵当k≥0时，方程有实数根，

∴当k＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；故C正确；

D、当k≥0时，由（x﹣1）2＝k可以求得x＝1±

，

则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|．故D正确；

故选：

A．

9．解：

当5为腰长时，将x＝5代入原方程得25﹣7×5+k＝0，

解得：

k＝10，

∴原方程为x2﹣7x+10＝0，

∴x1＝2，x2＝5，

长度为2，5，5的三条边能围成三角形，

∴k＝10符合题意；

当5为底边长时，△＝（﹣7）2﹣4k＝0，

解得：

k＝

，

∴原方程为x2﹣7x+

＝0，

∴x1＝x2＝

，

长度为

，

，5的三条边能围成三角形，

∴k＝

符合题意；

综上，k的值为10或

，

故选：

C．

10．解：

∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0，

∴a（x+m﹣1）2+b＝0，

又∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），

∴方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，

解得x1＝3，x2＝0，

故选：

D．

11．解：

∵m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，

∴m+n＝5，mn＝﹣2，

则m2+n2﹣mn

＝m2+n2+2mn﹣3mn

＝（m+n）2﹣3mn

＝52﹣3×（﹣2）

＝25+6

＝31，

故答案为：

31．

12．解：

∵方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，

∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣6，

∴|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣5）2﹣4×（﹣6）＝49，

∴|x1﹣x2|＝7，

故答案为：

7．

13．解：

∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有两个实数根，

∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×a×1＝1﹣4a≥0，

解得：

a≤

，

∴a的取值范围是a≤

且a≠0．

故答案为：

a≤

且a≠0．

14．解：

把x＝0代入方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0得方程k2﹣1＝0，解得k1＝1，k2＝﹣1，

而k﹣1≠0，

所以k＝﹣1．

故答案为﹣1．

15．解：

∵m、n是方程x2+2020x﹣2021＝0的两个实数根，

∴m+n＝﹣2020，mn＝﹣2021，

则m+n﹣2mn＝﹣2020﹣2（﹣2021）＝2022．

故答案为：

2022．

16．解：

根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021．

又∵α+β＝﹣2．

所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019．

故答案是：

2019．

17．解：

x2﹣9x+20＝0，

（x﹣4）（x﹣5）＝0，

x﹣4＝0或x﹣5＝0，

∴x1＝4，x2＝5，

∵菱形一条对角线长为8，

∴菱形的边长为5，

∵菱形的另一条对角线长＝2×

＝6，

∴菱形的面积＝

×6×8＝24．

故答案为：

24．

18．解：

∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，

∴△＝b2﹣4c＝0，

∴c＝

，

∴原方程可表示为：

x2+bx+

＝0，

∵x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值相等，

∴m2+bm+

＝（m+2）2+b（m+2）+

，

∴b＝﹣2m﹣2，

∴x2+bx+c＝x2+（﹣2m﹣2）x+

，

当x＝m时，x2+bx+c＝m2+（﹣2m﹣2）m+

＝m2﹣2m2﹣2m+m2+2m+1＝1，

故答案为：

1．

19．解：

∵方程x2+kx+

k2﹣3k+

＝0的两个实数根，

∴b2﹣4ac＝k2﹣4（

k2﹣3k+

）＝﹣2k2+12k﹣18＝﹣2（k﹣3）2≥0，

∴k＝3，

代入方程得：

x2+3x+

＝（x+

）2＝0，

解得：

x1＝x2＝﹣

，

∴

＝﹣

，

故答案为：

﹣

．

20．解：

∵x2﹣10x+21＝0，

∴（x﹣3）（x﹣7）＝0，

∴x1＝3，x2＝7．

∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，

∴腰长是7，底边是3，

周长为：

7+7+3＝17．

故答案为：

17．

21．解：

∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，

∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，

解得k≤

，

由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，

∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．

∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，

即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，

∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，

整理得k2﹣2k﹣15＝0，

解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．

∴k＝﹣3，

故答案为﹣3．

22．解：

（1）∵（x+2）2＝3（x+2），

∴（x+2）2﹣3（x+2）＝0，

∴（x+2）（x﹣1）＝0，

则x+2＝0或x﹣1＝0，

解得x1＝﹣2，x2＝1；

（2）∵4x2﹣28x+13＝0，

∴（2x﹣1）（2x﹣13）＝0，

则2x﹣1＝0或2x﹣13＝0，

解得x1＝0.5，x2＝6.5．

23．

（1）证明：

△＝（2m+1）2﹣4m＝4m2+1，

∵4m2≥0，

∴△＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：

∵x1，x2是该方程的两根，则x1+x2＝2m+1，x1x2＝m，

∵x12+x22＝3，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3，

∴（2m+1）2﹣2×m＝3，

解得m＝

或﹣1．

24．

（1）证明：

∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4•2k

＝4k2+1+4k﹣8k

＝4k2﹣4k+1

＝（2k﹣1）2≥0，

∴无论k取何值，方程总有两个实数根；

（2）解：

∵x2﹣（2k+1）x+2k＝0，

∴（x﹣2k）（x﹣1）＝0，

∴x1＝2k，x2＝1．

∵以x1，x2，3为三边长的三角形是直角三角形，

当3为斜边时，则（2k）2+12＝32，解得k＝

（负数舍去），

当2k为斜边时，则（2k）2＝12+32，解得k＝

（负数舍去）．

综上，k的值为

，

．

25．解：

设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：

1+x+（1+x）x＝81，

整理得（1+x）2＝81，

则x+1＝9或x+1＝﹣9，

解得x1＝8，x2＝﹣10（舍去），

答：

每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑；

（2）（1+x）2+x（1+x）2＝（1+x）3＝（1+8）3＝729＞700．

答：

3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．

26．解：

设每千克应降价x元，则每千克的销售利润为（140﹣x﹣110）元，平均每天可销售（30+2x）千克，

依题意得：

（140﹣x﹣110）（30+2x）＝1000，

整理得：

x2﹣15x+50＝0，

解得：

x1＝5，x2＝10．

又∵为了尽可能扩大销售量，

∴x＝10．

答：

若该经销商想要每天获利1000元，则每千克应降价10元．

27．解：

（1）设篱笆BC长为x米，

∵篱笆的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，

∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米），

故答案为：

（51﹣3x）；

（2）依题意，得：

（51﹣3x）x＝210，

整理，得：

x2﹣17x+70＝0，

解得：

x1＝7，x2＝10．

当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞25，不合题意，舍去，

当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意，

答：

篱笆BC的长为10米；

（3）不可能，理由如下：

依题意，得：

（51﹣3x）x＝240，

整理得：

x2﹣17x+80＝0，

∵△＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，

∴方程没有实数根，

∴矩形鸡舍ABCD面积不可能达到240平方米．