江苏中考数学压轴题.docx

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江苏中考数学压轴题

1．（2013•苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：

s）．

（1）当t=　2.5　s时，四边形EBFB′为正方形；

（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；

（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

2．（2013•苏州）如图，已知抛物线y=

x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）b=　　，点B的横坐标为　　（上述结果均用含c的代数式表示）；

（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=

x2+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在

（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．

①求S的取值范围；

②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有　　个．

3．2013淮安

甲、乙两地之间有一条笔直的公路L，小明从甲地出发沿公路L步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地，设小明与甲地的距离为y1米，小亮与甲地的距离为y2米，小明与小亮之间的距离为s米，小明行走的时间为x分钟，y1、y2与x之间的函数图象如图1所示，s与x之间的函数图象（部分）如图2所示。

（1）求小亮从乙地到甲地过程中y2（米）与x（分钟）之间的函数关系式；

（2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s（米）与x（分钟）之间的函数关系式；

（3）在图2中，补全整个过程中s（米）与x（分钟）之间的函数图象，并确定

的值。

24．如图，在△ABC中，∠C=900，BC=3，AB=5，点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度沿C→A→B的方向运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒。

（

1）当t＝时，点P与点

Q相遇，

（2）在点P从点B到点

C的运动过程中，当t为何值时，△PCQ为等腰三角形，

（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为

s平方单位

①、求s与t之间的函数关系式，

②、当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积

5．（2013•泰州）如图，在平面直角坐标系中直线y=x﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．

（1）求反比例函数的关系式；

（2）将直线y=x﹣2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．

6．（2013•泰州）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．

（1）求证：

△ADP∽△ABQ；

（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；

（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．

7．（2013•泰州）已知：

关于x的二次函数y=﹣x2+ax（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．

（1）y1=y2，请说明a必为奇数；

（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；

（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？

如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．

8．2013无锡

已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）.记N（t）为□ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为（）

A．6、7B．7、8C．6、7、8D．6、8、9

如图，直线x＝－4与x轴交于E，一开口向上的抛物线过原点O交线段OE于A，交直线x＝－4于B．过B且平行于x轴的直线与抛物线交于C，直线OC交直线AB于D，且AD:

BD＝1:

3．

（1）求点A的坐标；

（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．

9．如图1，菱形ABCD中，∠A=600．点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止；点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为ts．△APQ的面积s（cm2）与t（s）之间函数关系的图像由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．

（1）求点Q运动的速度；

（2）求图2中线段FG的函数关系式；

（3）问：

是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1:

5的两部分？

若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．

10．下面给出的正多边形的边长都是20cm．请分别按下列要求设计一种剪拼方法（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明．

（1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；

（2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；

（3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等．

11．（2013•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=

，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T．

（1）求证：

点E到AC的距离为一个常数；

（2）若AD=

，当a=2时，求T的值；

（3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T．

12．（2013•南通）如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线

相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．

（1）求b的值；

（2）求证：

点（y1，y2）在反比例函数

的图象上；

（3）求证：

x1•OB+y2•OA=0．

13．（2013•连云港）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：

问题情境：

如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：

S四边形ABCD=S△ABF（S表示面积）

问题迁移：

如图2：

在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．

实际应用：

如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km2）（参考数据：

sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，

≈1.73）

拓展延伸：

如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）（6，3）（

，

）、（4、2），过点p的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值．

14．（2013•连云港）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．

（1

）求当t为何值时，点Q与点D重合？

（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；

（3）若

⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值

范围．

15．（2013盐城）如图①，若二次函数

的图象与ｘ轴交于点A（－2,0）,B（3,0）两点，点A关于正比例函数

的图象的对称点为C。

（1）求b、c的值；

（2）证明：

点C在所求的二次函数的图象上；

（3）如图②，过点B作DB⊥ｘ轴交正比例函数

的图象于点D，连结AC，交正比例函数

的图象于点E，连结AD、CD。

如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，当其中一个到达终点时，另一个随之停止运动，连结PQ、QE、PE，设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

16．（2013盐城）如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=900，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD。

解决问题：

（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O,上述

（1）中结论仍然成立吗？

如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；

（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O,且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出

的值（用含α的式子表示出来）。

17．（2013•宿迁）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．

（1）证明△AMF是等腰三角形；

（2）当EG过点D时（如图（3）），求x的值；

（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值．

18．（2013•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣3（a，b是常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q．

（1）求a和b的值；

（2）求t的取值范围；

（3）若∠PCQ=90°，求t的值．

19．（2013•扬州）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：

10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．

（1）根据劳格数的定义，填空：

d（10）=　1　，d（10﹣2）=　﹣2　；

（2）劳格数有如下运算性质：

若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（

）=d（m）﹣d（n）．

根据运算性质，填空：

=　3　（a为正数），若d

（2）=0.3010，则d（4）=　0.6020　，d（5）=　0.6990　，d（0.08）=　﹣1.097　；

（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．

x

1.5

3

5

6

8

9

12

27

d（x）

3a﹣b+c

2a﹣b

a+c

1+a﹣b﹣c

3﹣3a﹣3c

4a﹣2b

3﹣b﹣2c

6a﹣3b

20．（2013•扬州）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；

（3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

21．（2013•扬州）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．

（1）求直线AB对应的函数关系式；

（2）有一宽度为1的直尺平行于x轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M点的横坐标为m，且0＜m＜3．试比较线段MN与PQ的大小．

22．（2013•常州）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA．

（1）写出A、C两点的坐标；

（2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：

若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；

（3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE？

若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由．

23．（2013•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．

（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为　45°或135°　；

（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？

并求出△ABC的面积的最大值．

（3）连接AD，当OC∥AD时，

①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？

请作出判断，并说明理由．

（2013•镇江）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．

（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；

（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：

点G是CD的中点．

27．（9分）（2013•镇江）通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：

一次函数y=x﹣1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数

的图象是由反比例函数

的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题．

如图，已知反比例函数

的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B．

（1）写出点B的坐标，并求a的值；

（2）将函数

的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知图象C′经过点M（2，4）．

①求n的值；

②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式；

③直接写出不等式

的解集．

28．（11分）（2013•镇江）【阅读】

如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，0）（a＞0），B（2，3），C（0，3）．过原点O作直线l，使它经过第一、三象限，直线l与y轴的正半轴所成角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．

【理解】

若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[　45°　，　3　]；

【尝试】

（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；

（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形0ABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形0ABC的外部，直接写出a的取值范围；

【探究】

经过FZ[θ，a]操作后，作直线CD交x轴于点G，交直线AB于点H，使得△ODG与△GAH是一对相似的等腰三角形，直接写出FZ[θ，a]．

（2013南京）如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦。

过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D。

连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD。

（1）判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：

（2）若AB=9，BC=6，求PC的长。

26.（9分）已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a、m为常数，且a≠0）。

（1）求证：

不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。

①当△ABC的面积等于1时，求a的值：

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。

27.（10分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个

三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为

逆相似。

例如，如图①，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，

因此△ABC与△A’B’C’互为顺相似；如图②，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA与

A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC与△A’B’C’互为逆相似。

（1）根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形：

①△ADE与△ABC；

②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ。

其中，互为顺相似的是；互为逆相似的是。

（填写所有符合要求的序号）

（2）如图③，在锐角△ABC中，∠A<∠B<∠C，点P在△ABC的边上（不与点A、B、C重

合）。

过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。

请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明

理由。