运筹学 练习题.docx
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运筹学练习题
案例1，原始问题：
某公司现有三条生产线，由于原有产品出现销售量下降的情况，管理部门决定调整公司的产品线，停产不赢利的产品以释放产能来生产两种新产品。
其中，生产甲产品要占用生产线1和生产线3的部分产能，产品乙需要占用生产线2和3的部分产能。
管理部门需要考虑下列问题：
1、公司是否应该生产这两种产品
2、若生产，则两种产品的数量如何确定
数据：
运筹小组与管理部门研究后去顶，两种产品的数量如何确定以使产品的总利润最大
因此，需要如下的信息：
1、每条生产线的可得生产能力是多少
2、生产每一单位产品需要每条生产线多少生产能力
3、每种产品的单位利润是多少
生产部门和财务部门经过分析，提出如下数据：
生产线
产品甲
产品乙
生产线每周可用时间
一
1
0
4
二
0
2
12
三
3
2
18
单位产品利润
3
5
模型：
1、要做出什么决策（决策变量）
2、做出的决策会有哪些条件限制（约束条件）
3、这些决策的全部评价标准是什么（目标函数）
maxz=3x1+5x2
st.x1<=4
2x2<=12
3x1+2x2<=18
x1,x2>=0
决策：
x1=2,x2=6,z=3600
生产时间信息：
按模型所确定的生产方案需要生产线2和3的所有时间，只有生产线1有2小时的剩余。
1、用单纯形表求解以下线性规划问题
（1）
max
z=
x1
-2x2
+x3
.
x1
+x2
+x3
≤12
2x1
+x2
-x3
≤6
-x1
+3x2
≤9
x1,
x2,
x3
≥0
解：
标准化，将目标函数转变成极小化，引进松弛变量x4,x5,x60,得到：
min
z’=
-x1
+2x2
-x3
.
x1
+x2
+x3
+x4
=12
2x1
+x2
-x3
+x5
=6
-x1
+3x2
+x6
=9
x1,
x2,
x3,
x4,
x5,
x6
≥0
列出初始单纯形表
z’
x1
x2
x3
x4
x5
x6
RHS
z’
1
1
-2
1
0
0
0
0
x4
0
1
1
[1]
1
0
0
12
12/1
x5
0
2
1
-1
0
1
0
6
--
x6
0
-1
3
0
0
0
1
9
--
选取x3为进基变量，确定x4为离基变量
z’
x1
x2
x3
x4
x5
x6
RHS
z’
1
0
-3
0
-1
0
0
-12
x3
0
1
1
1
1
0
0
12
12/1
x5
0
[3]
2
0
1
1
0
18
18/3
x6
0
-1
3
0
0
0
1
9
--
得到最优解（x1,x2,x3,x4,x5,x6）=（0,0,12,0,18,9），minz’=-12，maxz=12
由于其中非基变量x1在目标函数中的系数为0，x1进基，x5离基，可以得到另一最优解：
z’
x1
x2
x3
x4
x5
x6
RHS
z’
1
0
-3
0
-1
0
0
-12
x3
0
0
1/3
1
2/3
-1/3
0
6
x1
0
1
2/3
0
1/3
1/3
0
6
x6
0
0
11/3
0
1/3
1/3
1
15
新的最优解为（x1,x2,x3,x4,x5,x6）=（6,0,6,0,0,15），minz’=-12，maxz=12
原问题最优解的全体为：
，（0≤≤1），都有maxz=12
（2）
max
z=
x1
+3x2
+4x3
.
3x1
+2x2
≤13
x2
+3x3
≤17
2x1
+x2
+x3
=13
x1,
x2,
x3
≥0
解：
将目标函数转化成极小化，引进松弛变量x4，x5，x6≥0，得到
min
z’=
-x1
-3x2
-4x3
.
3x1
+2x2
+x4
=13
x2
+3x3
+x5
=17
2x1
+x2
+x3
=13
x1,
x2,
x3,
x4,
x5,
≥0
引进人工变量x60，构造辅助问题：
min
z’’=
x6
.
3x1
+2x2
+x4
=13
x2
+3x3
+x5
=17
2x1
+x2
+x3
+x6
=13
x1,
x2,
x3,
x4,
x5,
x6
≥0
列出辅助问题的系数矩阵表：
z’’
x1
x2
x3
x4
x5
x6
RHS
z’’
1
0
0
0
0
0
-1
0
x4
0
3
2
0
1
0
0
13
x5
0
0
1
3
0
1
0
17
x6
0
2
1
1
0
0
1
13
消去基变量x6在目标函数中的系数，并开始单纯形叠代：
z’’
x1
x2
x3
x4
x5
x6
RHS
z’’
1
2
1
1
0
0
0
13
x4
0
[3]
2
0
1
0
0
13
13/3
x5
0
0
1
3
0
1
0
17
--
x6
0
2
1
1
0
0
1
13
13/2
x1进基，x4离基，
z’’
x1
x2
x3
x4
x5
x6
RHS
z’’
1
0
-1/3
1
-2/3
0
0
13/3
x1
0
1
2/3
0
1/3
0
0
13/3
--
x5
0
0
1
3
0
1
0
17
17/3
x6
0
0
-1/3
[1]
-2/3
0
1
13/3
13/3
x3进基，x6离基，
z’’
x1
x2
x3
x4
x5
x6
RHS
z’’
1
0
0
0
0
0
-1
0
x1
0
1
2/3
0
1/3
0
0
13/3
x5
0
0
2
0
2
1
0
4
x3
0
0
-1/3
[1]
-2/3
0
1
13/3
辅助问题已经获得最优解，且minz’’=0，因而可以转入第二阶段，其系数矩阵表为：
z’
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z’
1
1
3
4
0
0
0
x1
0
1
2/3
0
1/3
0
13/3
x5
0
0
2
0
2
1
4
x3
0
0
-1/3
1
-2/3
0
13/3
消去基变量x1，x3在目标函数中的系数：
z’
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z’
1
0
11/3
0
7/3
0
-65/3
x1
0
1
2/3
0
1/3
0
13/3
13/2
x5
0
0
[2]
0
2
1
4
4/2
x3
0
0
-1/3
1
-2/3
0
13/3
--
x2进基，x5离基
z’
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z’
1
0
0
0
-4/3
-11/6
-29
x1
0
1
0
0
-1/3
-1/3
3
x2
0
0
1
0
2
1/2
2
x3
0
0
0
1
-1/3
1/6
5
得到原问题的最优解：
（x1,x2,x3）=（3,2,5），minz’=-29，maxz=29
3、用对偶单纯形法求解以下问题
（1）
min
z=
4x1
+6x2
+18x3
.
x1
+3x3
≥3
x2
+2x3
≥5
x1,
x2,
x3
≥0
引进松弛变量x4、x5≥0
min
z=
4x1
+6x2
+18x3
.
-x1
-3x3
+x4
=-3
-x2
-2x3
+x5
=-5
x1,
x2,
x3，
x4，
x5
≥0
列出单纯形表
z
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z
1
-4
-6
-18
0
0
0
x4
0
[-1]
0
-3
1
0
-3
x5
0
0
-1
-2
0
1
-5
4/1
18/3
x4离基，x1进基
z
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z
1
0
-6
-6
-4
0
12
x1
0
1
0
3
-1
0
3
x5
0
0
-1
[-2]
0
1
-5
6/1
6/2
x5离基，x3进基
z
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z
1
0
-3
0
-4
-3
27
x1
0
1
[-3/2]
0
-1
3/2
-9/2
x3
0
0
1/2
1
0
-1/2
5/2
2
4
x1离基，x2进基
z
x1
x2
x3
x4
x5
RHS
z
1
-2
0
0
-2
-6
36
x2
0
-2/3
1
0
2/3
-1
3
x3
0
1/3
0
1
-1/3
0
1
最优解为x1=0，x2=3，x3=1，x4=0，x5=0，minz=36
某工厂用甲、乙、丙三种原料生产A,B,C,D四种产品，每种产品消耗原料定额以及三种原料的数量如下：
产品
A
B
C
D
原料数量（t）
甲原料（t/万件）
3
2
1
4
2400
乙原料（t/万件）
2
-
2
3
3200
丙原料（t/万件）
1
3
-
2
1800
单位产品的利润（万元/万件）
25
12
14
15
（1）求使总利润最大的生产计划和按最优生产计划生产时三种原料的耗用量和剩余量；
（2）求四种产品的利润在什么范围内变化，最优生产计划不会变化
（3）求三种原料的影子价格和四种产品的机会成本，并解释最优生产计划中有的产品不安排生产的原因。
（4）在最优生产计划下，哪一种原料更为紧缺如果甲原料增加120吨，这时紧缺程度是否有变化
（1）利润最大化的线性规划模型为：
max
z=
25x1
+12x2
+14x3
+15x4
.
3x1
+2x2
+x3
+4x4
≤2400
2x1
+2x3
+3x4
≤3200
x1
+3x2
+2x4
≤1800
x1,
x2,
x3,
x4
≥0
单纯形表为：
z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
RHS
z
1
25
12
14
15
0
0
0
0
x5
0
[3]
2
1
4
1
0
0
2400
x6
0
2
0
2
3
0
1
0
3200
x7
0
1
3
0
2
0
0
1
1800
x1进基，x5离基
z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
RHS
z
1
0
-14/3
17/3
-55/3
-25/3
0
0
-20000
x1
0
1
2/3
1/3
4/3
1/3
0
0
800
x6
0
0
-4/3
[4/3]
1/3
-2/3
1
0
1600
x7
0
0
7/3
-1/3
2/3
-1/3
0
1
1000
x3进基，x6离基
z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
RHS
z
1
0
1
0
-79/4
-11/2
-17/4
0
-26800
x1
0
1
[1]
0
5/4
1/2
-1/4
0
400
x3
0
0
-1
1
1/4
-1/2
3/4
0
1200
x7
0
0
2
0
3/4
-1/2
1/4
1
1400
x2进基，x1离基
z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
RHS
z
1
-1
0
0
-21
-6
-4
0
-27200
x2
0
1
[1]
0
5/4
1/2
-1/4
0
400
x3
0
1
0
1
3/2
0
1/2
0
1600
x7
0
-2
0
0
-7/4
-3/2
3/4
1
600
最优解为：
x1=0，x2=400，x3=1600，x4=0，x5=0，x6=0，x7=600，maxz=27200
即最优生产计划为：
产品A：
不生产；
产品B：
400万件；
产品C：
1600万件；
产品D：
不生产，
最大利润：
27200万元。
原料甲：
耗用2400吨，没有剩余；
原料乙：
耗用3200吨，没有剩余；
原料丙：
耗用1200吨，剩余600吨。
（2）产品A利润变化范围：
-C
-25+
-12
-14
-15
0
0
0
0
z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
RHS
-CB
z
1
-1-
0
0
-21
-6
-4
0
-27200
-12
x2
0
1
1
0
5/4
1/2
-1/4
0
400
-14
x3
0
1
0
1
3/2
0
1/2
0
1600
0
x7
0
-2
0
0
-7/4
-3/2
3/4
1
600
-1-≤0，≥-1，-c1’=-c1+≥-25-1=-26，即c1≤26（万元/万件）
产品B利润变化范围：
-C
-25
-12+
-14
-15
0
0
0
0
z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
RHS
-CB
z
1
-1-
0
0
-21+5/4
-6+1/2
-4-1/4
0
-27200+400
-12+
x2
0
1
1
0
5/4
1/2
-1/4
0
400
-14
x3
0
1
0
1
3/2
0
1/2
0
1600
0
x7
0
-2
0
0
-7/4
-3/2
3/4
1
600
，
，-1≤≤12，-13≤-12+≤0，-13≤-c2’≤0，
即：
0≤c2’≤13。
产品C利润的变化范围：
-C
-25
-12
-14+
-15
0
0
0
0
z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
RHS
-CB
z
1
-1-
0
0
-21+3/2
-6
-4+1/2
0
-27200+1600
-12
x2
0
1
1
0
5/4
1/2
-1/4
0
400
-14+
x3
0
1
0
1
3/2
0
1/2
0
1600
0
x7
0
-2
0
0
-7/4
-3/2
3/4
1
600
，
-1≤≤8，-15≤-14+≤-6，-15≤-c3’≤-6，6≤c3’≤15
产品D的变化范围
-C
-25
-12
-14
-15+
0
0
0
0
z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
RHS
-CB
z
1
-1
0
0
-21-
-6
-4
0
-27200
-12
x2
0
1
1
0
5/4
1/2
-1/4
0
400
-14
x3
0
1
0
1
3/2
0
1/2
0
1600
0
x7
0
-2
0
0
-7/4
-3/2
3/4
1
600
-21-≤0，≥-21，-15+≥-36，-c4’≥-36，c4’≤36。
（3）求三种原料的影子价格和四种产品的机会成本
由最优单纯形表可知，原料甲、乙、丙的影子价格分别为：
6万元/吨、4万元/吨、0万元/吨。
产品A、B、C、D的机会成本分别为：
26万元/万件、12万元/万件、14万元/万件、36万元/万件。
产品A、D在最优解中不安排生产的原因是机会成本大于利润。
（4）在最优解中，原料甲的影子价格（6万元/吨）最大，因此这种原料最紧缺。
如果原料A增加120吨，最优单纯形表的右边常数成为：
因此最优基保持不变，影子价格不变，原料的紧缺程度不变。
一、以下集合中，哪些是凸集，哪些不是凸集
（1）{（x1,x2）|x1+x2≤1}是凸集
（2）{（x1,x2,x3）|x1+x2≤1,x1-x3≤2}是凸集
（3）{（x1,x2）|x1-x2=0}是凸集
（4）{（x1,x2,x3）|x1≥x2,x1+x2+x3≤6}是凸集
（5）{（x1,x2）|x1=1,|x2|≤4}是凸集
（6）（x1,x2,x3）|x3=|x2|,x1≤4}不是凸集
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