三角恒等变换教案.docx

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三角恒等变换教案

三角恒等变换教案

适用学科

高中数学

适用年级

高中一年级

适用区域

全国通用

课时时长（分钟）

60

知识点

两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，辅助角公式

教学目标

理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，辅助角公式，体会三角恒等变换在数学中的应用

教学重点

1.二倍角公式的推导。

2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.

教学难点

认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.

教学过程

一、课堂导入

思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：

代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本

节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.

思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有

了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、

运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差

异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的

各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.

二、复习预习

复习三角函数值的计算及诱导公式

（一）-（六）。

，

，

（公式一）

，，（公式二）

，，（公式三）

，

，

（公式四）

（公式五）（公式六）

三、知识讲解

考点1两角和的正弦、余弦、正切公式

⑴

；⑵

；

⑶

；⑷

；

⑸

（

）；

⑹

（

）．

考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式

⑴

．

⑵

升幂公式

降幂公式

，

．

⑶

．

考点3辅助角公式

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的

形式。

，其中

．

四、例题精析

考点一两角和的正弦、余弦、正切公式

例1已知α（，），β（0，）,（α－）＝，sin（＋β）＝，求sin（α＋β）的值．

【规范解答】

∵α－＋＋β＝α＋β＋，α∈（）β∈（0,）

∴α－∈（0,）β＋∈（,π）∴sin（α－）＝cos（）＝－

∴sin（α＋β）＝－cos[＋（α＋β）]＝－cos[（α－）＋（）]＝

【总结与反思】这道题主要考察了诱导公式及两角和的余弦公式，先通过诱导公式的变形然后带入余弦公式即可。

例2计算sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为（　　）．

A．－

D．1

【规范解答】原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin（68°－23°）＝sin45°＝

.

【总结与反思】本题考察了两角差的正弦公式，带入公式即可。

考点二二倍角公式的应用

例3化简

【规范解答】切化弦，合理使用倍角公式．原式＝

＝＝＝

cos2x.

【总结与反思】

三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．

例4化简：

.

【规范解答】原式＝

＝

＝

＝

＝tan

.

【总结与反思】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．

考点三辅助角公式的应用

例5已知函数f（x）＝2cos2x＋sin2x.

（1）求的值；

2）求f（x）的最大值和最小值．

【规范解答】先化简函数y＝f（x），再利用三角函数的性质求解．

（1）＝2cos

＋sin2

＝－1＋

＝－

.

（2）f（x）＝2（2cos2x－1）＋（1－cos2x）

＝3cos2x－1，x∈R.

∵cosx∈[－1,1]，

∴当cosx＝±1时，f（x）取最大值2；

当cosx＝0时，f（x）取最小值－1.

【总结与反思】

高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．

课程小结

1.本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin（ωx+φ）的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的.在教学中教师要强调：

分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤.但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价.因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质.

2.在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练.其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图.第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握.

3.今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主.和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号.另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点.