四川中考数学考前专题训练二次函数综合题10道.docx

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四川中考数学考前专题训练二次函数综合题10道

题型五二次函数综合题

类型一线段数量关系与最值关系

1.如图,抛物线y＝x2＋bx＋c过点A（3,0）,B（1,0）,交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合）,过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.

（1）求抛物线的解析式;

（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;

（3）在抛物线对称轴上是否存在点

M,使|MA－MC|最大？

若存在,请求出点M

的坐标;若不存在,请说明理由．

解：

（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3,0）,B（1,0）,

∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;

2）x=0,则y=3,∴点C（0,3）,令

则直线AC的解析式为y=-x+3,设点P（x,x2-4x+3）,∵PD∥y轴,

∴点D（x,-x+3）,

∴PD=（-x+3）-（x2-4x+3）=-x2+3x=-（x-3）2+9,

∵a=-1<0,

∴当x=3时,线段PD的长度取最大值,最大值为9;24

（3）存在.

由抛物线的对称性得,对称轴垂直平分AB,

∴MA=MB,

当M、B、C不在同一条直线上时,由三角形的三边关系得,|MA-MC|=|MB-MC|

∵B（1,0）,C（0,3）,

∴直线BC的解析式为y=-3x+3,

∵抛物线的对称轴为x=2,

∴当x=2时,y=-3×2+3=-3,

∴点M（2,-3）,即抛物线对称轴上存在点M（2,-3）,使|MA-MC|最大．

2.如图,抛物线y＝-1x2＋bx＋c的图象过点A（4,0）,B（-4,-4）,且抛物线4

与y轴交于点C,连接AB,BC,AC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线对称轴上的点,求△PBC周长的最小值及此时点P的坐标；

（3）若E是线段AB上的一个动点（不与A、B重合）,过E作y轴的平行线,分

别交抛物线及x轴于F、D两点.请问是否存在这样的点E,使DE＝2DF？

若存在,请求出点E的坐标；若不存在,请说明理由.

解：

（1）∵抛物线y＝-4x＋bx＋c的图象经过点A（4,0）,B（-4,-4）,

∴抛物线的解析式为y＝-41x2＋21x＋2；

2）由抛物线y＝-14x2＋12x＋2可得,

第2题解图

设直线BC′的解析式为y＝kx＋m,

∵点B（-4,-4）,C′2（,2）,

4km4

2k4kmm24,解得

∴直线BC′的解析式为y＝x,

将x＝1代入y＝x,得y＝1,

∴点P坐标为（1,1）,

∵点B（-4,-4）,C（0,2）,

∴BC＝42＋（2＋4）2＝213,∴此时△PBC的周长＝CP＋BC＋PB＝BC＋BC′＝213＋62,∴△PBC周长的最小值为213＋62,此时点P坐标为（1,1）；（3）存在.

假设存在点E,使DE＝2DF,由点A（4,0）,B（-4,-4）可得直线AB的解析式为y

＝12x-2,

则F（x,-14x2＋12x＋2）,

DE＝|12x-2|＝2-12x,DF＝|-14x2＋12x＋2|,

111

当2-2x＝2×（-4x2＋2x＋2）时,即点F位于x轴上方,

解得x1＝-1,x2＝4（舍去）,

将x＝-1代入y＝2x-2,得到y＝-2,

∴E（-1,-52）.

当2-21x＝2×（-1）×（-41x2＋12x＋2）时,即点F位于x轴下方,

解得x1＝-3,x2＝4（舍去）,

将x＝-3代入y＝2x-2,得到y＝-2,

∴E（-3,-2）．

综上所述,存在这样的点E,其坐标为（-1,-52）或（-3,-27）．

类型二面积数量关系与最值关系

3.如图,已知抛物线y=-12x2+bx+c与x轴分别交于点B、E,与y轴交于点A,OB=8,tan∠ABD=1,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度的速度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度的速度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.

（1）求抛物线的解析式;

（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大,最大面积是多少？

（3）当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P（点E除外）,使△PCD的面积等于△CED的最大面积,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理

由.

解：

（1）∵OB=8,tan∠ABD=1,

∴OA=OB=8,

∴A（0,8）,B（8,0）.

把点A（0,8）,B（8,0）代入y=-1x2+bx+c得

∴抛物线解析式为y=-1x2+3x+8;

（2）令y=0,有-1x2+3x+8=0,

解得x1=-2,x2=8,

∴E（-2,0）,

∴BE=10,∵S△CED=1DE×OC,

∴S=1t×（10-t）=-1t2+5t,

0≤t≤8）,

∴S与t的函数关系式为S=-1t2+5t=-1（t-5）2+25

222

∵a0

t=5时,△CED的面积最大,最大面积为

3）存在.

当△CED的面积最大时,t=5,即BD=DE=5,此时要使S△PCD=S△CED,CD为公共

边,只需求出过点B、或过点E且平行于CD的直线即可,如解图：

第3题解图

设直线CD的解析式为y=kx+b,由

（2）可知OC=5,OD=3,

∴C（0,5）,D（3,0）,

∴直线CD的解析式为y=-53x+5,

∵DE=DB=5,

∴过点B且平行于CD的直线为y=-5（x-5）+5,

过点E且平行于CD的直线为y=-5（x+5）+5,

3分别与抛物线解析式联立得：

方程①：

-1x2+3x+8=-5（x-5）+5,23

解得x1=8,x2=4,

方程②：

-1x2+3x+8=-5（x+5）+5,

解得x3=34,x4=-2,

又∵P点不与E点重合,

∴满足题意的P点坐标有3个,分别是P1（8,0）,P2（43,1090）,P3（334,-2090）.

4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0与）x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA＝2,OB＝8,OC＝6.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点N从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△MBN存在时,求运动多少秒使△MBN的面积最大,最大面积是多少？

（3）在

（2）的条件下,△MBN面积最大时,在BC上方的抛物线上是否存在点P,使△BPC的面积是△MBN的面积的9倍,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由．

329

yxx6；

（2）设运动时间为t秒,则AM＝3t,BN＝t,MB＝10－3t,

∴抛物线的解析式为

解：

（1）∵OA＝2,OB＝8,OC＝6,

∴根据函数图象得A（－2,0）,B（8,0）,C（0,6）,

在Rt△BOC中,BC=8262=10,

∴NH∥CO,∴△BHN∽△BOC,

OCBC即HNt

HNBN

610

3∴HNt,

∵当△MBN存在时,0

大面积是52；

（3）存在．

设直线BC的解析式为y＝kx＋c（k≠0,）

把B（8,0）,C（0,6）代入,

∴直线BC的解析式为y43x6,

∵点P在抛物线上,

∴设Pm，-3m29m6,

如解图②,过点P作PE∥y轴,交BC于点E,

第4题解图②

45,

∴EP3m29m63m63m23m,8448

当△MBN的面积最大时,S△BPC＝9S△MBN

S△BPCS△CEPS△BEP

EPmEP8m

18EP

4m23m

3m212m,

∴3245

∴m12m,

22解得m1＝3,m2＝5,

当m1＝3时,3m29m675,

848

当m2＝5时,3m29m663,

848

∴P3,75或5，63.

类型三相似三角形存在性问题

5.如图,已知直线y1=1x+b和抛物线y2=-5x2+ax+b都经过点B（0,1）和点

1224

C,过点C作CM⊥x轴于点M,且CM=5.

（1）求出抛物线的解析式;

（2）动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度,沿OM向点M运动,过点P作PE⊥x轴分别交抛物线和直线于点E,F.当点P运动多少秒时,四边形EFMC为菱形?

（3）在

（2）的条件下,在直线AC上是否存在一点Q,使得以点E、F、Q为顶点的三角形与△AMC相似？

若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

解：

（1）把B（0,1）代入y1=21x+b,得b=1,∴y1=1x+1,

把y=5代入y1=1x+1得x=3,

∴C（3,5）,

552b1b1

把B（0,1）,C（3,5）代入y2=-5x2+ax+b得,455,解得17,

243aba

424

5217

∴y2=-x+x+1.

2）∵四边形EFMC为菱形,

则EF=FM=CM=5,

2设P（t,0）,则EP=-5t2+17t+1,FP=1t+1,MP=3-t,

442

则EF=EP-FP=-5t2+17t+1-1t-1=-5t2+15t,

44244

FM=PF2PM245t25t10,

解①得t=1或t=2,

解②得t=1或t=3,要使①,②同时成立,则t=1,

即当点P运动1秒时,四边形EFMC为菱形;

（3）存在.

由

（2）可知t=1,∴点F的横坐标为1,

将x=1代入y1=1x+1中,得y1=3,

将x=1代入y2=-5x2+17x+1中,得y2=4.

∴点E（1,4）,F（1,3）,

将y=0代入y1=1x+1中,得x=-2,∴点A的坐标为（-2,0）,

①如解图,过点E作EQ1⊥CF于点Q1,

第5题解图

∵四边形EFMC为菱形,

∴∠ECF=∠ACM,FE=EC,

∴∠EFC=∠ECF=∠ACM,又∵∠EQ1F=∠AMC=90°,∴△EQ1F∽△AMC,∵EF=EC,EQ1⊥CF,∴Q1为CF的中点,∵F（1,3）,C（3,5）,

22∴点Q1的坐标为（2,2）;

②如解图,过点E作EQ2//x轴,交直线BC于点Q2,∵EQ2//x轴,

∴∠EQ2F=∠CAM,∠Q2EF=∠FPA=90°,∴∠Q2EF=∠AMC=90°,

∴△EQ2F∽△MAC,又∵E（1,4）,

∴设Q2（x,4）,将y=4代入y1=1x+1,得x=6,∴点Q2的坐标为（6,4）;

综上所述,点Q的坐标为（2,2）或（6,4）.

类型四特殊三角形存在性问题

6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A（0,－6）和点C（6,0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与x轴的负半轴交于点B,试判断△ABC的形状；（钝角三角形、

直角三角形、锐角三角形）

（3）抛物线上是否存在点P,使得△PAC是以AC为底的等腰三角形？

若存在,

请求出所有点P的坐标；若不存在,请说明理由．

解：

（1）将A（0,－6）和C（6,0）代入y＝x2＋bx＋c中,

3c666bc0,解得

∴抛物线的解析式为y＝x2－5x－6；

（2）由x2－5x－6＝0,解得x1＝－1,x2＝6,

∴点B的坐标为B（－1,0）,

即点B在（－6,0）与原点之间,

又∵OA＝OC＝6,

∴∠BAC为锐角,

∴△ABC为锐角三角形；

（3）存在．

如解图,设M为线段AC的中点,则OM为AC的垂直平分线,直线OM与抛物线必有两个交点都是满足条件的点P,

∵A（0,－6）,C（6,0）,

∴点M的坐标为（3,－3）,设直线OM的解析式为y＝kx,

将点M（3,－3）代入得,k＝－1,

即直线OM的解析式为y＝－x,

联立2,得x2－4x－6＝0,

yx25x6

∴x1＝2－10,x2＝2＋10,

x210y102

x210,或,

y102

∴点P的坐标为（2－10,10－2）或（2＋10,－2－10）．

第6题解图

7.如图,抛物线yx2bxc与直线y＝x－1交于A、B两点,点A的纵坐标为－4,点B在y轴上,直线AB与x轴交于点F,点P是线段AB下方的抛物线上一动点,横坐标为m,过点P作PC⊥x轴于点C,交直线AB于点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当m为何值时,线段PD的长度取得最大值,其最大值是多少？

（3）是否存在点P,使△PAD是直角三角形？

若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明理由．

解：

（1）∵在y＝x－1中,当x＝0时,y＝－1,当y＝－4时,x＝－3,∴点B的坐标为（0,－1）,点A的坐标为（－3,－4）,

∵抛物线yx2bxc与直线y＝x－1交于A、B两点,

∴抛物线的解析式为y＝x2＋4x－1；

（2）∵点P的横坐标是m,且点P在抛物线y＝x2＋4x－1上,PC⊥x轴,∴P（m,m2＋4m－1）,D（m,m－1）．

∵点P在线段AB的下方,

∴－3

22329∴PDm1（m24m1）m23m（m）2,

24∴当m3时,线段PD取得最大值,最大值是9；

24（3）存在．

当∠APD＝90°时,如解图①,

∵PC⊥x轴,

∴∠PCF＝90°,

∴∠PCF＝∠APD,

∴CF∥AP,即x轴∥AP,

∴点P与点A的纵坐标相同,即m2＋4m－1＝－4,

解得m1＝－1,m2＝－3（与A重合,舍去）,

∴P（－1,－4）；

当∠PAD＝90°时,如解图②,过点A作AE⊥x轴于点E,

PD＝－3m－m,CE＝3＋m,

在y＝x－1中,当y＝0时,x＝1,

∴F（1,0）,即OF＝1,

∴EF＝4,AF＝42,

∵PC⊥x轴,∴AE∥CD,

∴AD23m,

∵AE∥CD,∴∠ADP＝∠EAF,∵∠PAD＝∠AEF＝∠DCF＝90°,

∴△PAD∽△FEA,

PDAD3mm223m

∴m3＝－2,m4＝－3（与A重合,舍去）,∴P（－2,－5）,

综上所述,P点的坐标为（－1,－4）或（－2,－5）.

类型五特殊四边形存在性问题

8.如图,一次函数y＝2x＋1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数

y＝2x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝2x＋1的图象交于B、C两点,与x轴交

于D、E两点且D点坐标为（1,0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若抛物线上存在点P,使S△BDC＝S△PBC,求出P点坐标（不与已知点重合）；

（3）点N为x轴上一点,平面内是否存在点M,使得B、N、C、M为顶点构成

矩形？

如果存在,请求出M点的坐标；如果不存在,请说明理由．

第8题图

解：

（1）将x＝0代入y＝2x＋1中,得：

y＝1,

∴B（0,1）,将B（0,1）,D（1,0）的坐标代入y＝21x2＋bx＋c得：

∴二次函数的解析式为y＝2x2－2x＋1；

（2）如解图①,过点D作DF∥y轴交AC于点F,过点P作PG∥y轴交AC于点G,

第8题解图①

将x＝1代入直线BC的解析式得：

y＝23,即F（1,23）,

1则G（x,2x＋1）,

∴GP＝|12x＋1－（12x2－23x＋1）|＝|－21x2＋2x|.

∵△PBC的面积＝△DBC的面积,

13∴DF＝GP,即|2x2－2x|＝2,

13当2x2－2x＝2时,解得x＝2＋7或x＝2－7,

∴点P的坐标为（2＋7,7＋27）或（2－7,7－27）,

13当21x2－2x＝－32时,解得x＝3或x＝1（舍去）,

∴点P的坐标为（3,1）,

综上所述,点P的坐标为（3,1）或（2＋7,7＋27）或（2－7,7－27）；

（3）如解图②所示,当∠CBN＝90°时,则BN的解析式为y＝－2x＋1,

1y＝2x＋1将直线BC的解析式与抛物线的解析式联立得：

123y＝2x2－2x＋1

x＝0x＝4

解得（舍去）,或,

y＝1y＝3

∴点C的坐标为（4,3）,

将y＝0代入直线BN的解析式得：

－2x＋1＝0,

解得x＝12,

∴点N的坐标为（21,0）,

设点M的坐标为（x,y）,

∵四边形BNMC为矩形,

1＋y

＋4

2＋4＝0＋x0＋3

2＝2,2

第8题解图③

设CN的解析式为y＝－2x＋n,将点C的坐标代入得：

－8＋n＝3,解得n＝11,

∴CN的解析式为y＝－2x＋11,

将y＝0代入得－2x＋11＝0,

11解得x＝121,

∴点N的坐标为（2,0）,

设点M的坐标为（x,y）,

∵四边形BMNC为矩形,

0＋11

3＋y,

0＋2＝4＋x,1＋0＝

2＝2,2＝

解得x＝2,y＝－2,

∴点M的坐标为（2,－2）；

如解图④所示,当∠BNC＝90°时,过点C作CF⊥x轴,垂足为F,设ON＝a,则NF＝4－a,∵∠BNO＋∠OBN＝90°,∠BNO＋∠CNF＝90°,∴∠OBN＝∠CNF,又∵∠BON＝∠CFN,

第8题解图④

∴△BON∽△NFC,

ONOBa1

∴CF＝NF,即3＝4－a,解得：

a＝1或a＝3,

当a＝1时,点N的坐标为（1,0）,设点M的坐标为（x,y）,∵四边形BNCM为矩形,

解得x＝3,y＝4,

∴点M的坐标为（3,4）；

当a＝3时,点N的坐标为（3,0）,设点M的坐标为（x,y）,∵四边形BNCM为矩形,

解得x＝1,y＝4,

∴点M的坐标为（1,4）,

x+c

综上所述,点M的坐标为（3,4）,（1,4）,（2,－2）或（2,2）．

出点E的坐标和△BEC面积的最大值；

（3）在

（2）的结论下,过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形?

如果存在,请直接写出点P的坐标；如果不存在,

请说明理由.

C,与y轴交于点B,

解:

（1）∵直线y=-3x+3与x轴交于点

∴点B的坐标是（0,3）,点C的坐标是（4,0）,∵抛物线y=ax2+3x+c经过B、C两点,

16a4c0a

4,解得8,

c3c3

∴y=-83x2+43x+3；

（2）如解图①,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,交x轴于点

第9题解图①

∴设点E的坐标是（x,-3x2+3x+3）,

则点M的坐标是（x,-3x+3）,

∴EM=-3x2+3x+3-（-3x+3）=-3x2+3x,

84482∴S△EBC=S△BEM+S△MEC=1EM·OC

=1×（-3x2+3x）×4

∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点,

=1×（-x+3x）×4

282=-3x2+3x

4=-3（x-2）2+3,

∴

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