高中 排列组合 知识点+例题 全面分类.docx
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高中排列组合知识点+例题全面分类
辅导讲义―排列组合
教学内容
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：
分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
1．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回给甲．则不同的传递方式共有（ ）
A．5种B．2种C．3种D．4种
2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．243B．252C．261D．279
3．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（ ）
A．14B．13C．12D．10
4．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．（用数字作答）
题型一 分类加法计数原理的应用
例1 高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．
（1）从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
题型二 分步乘法计数原理的应用
例2 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？
（不一定六名同学都能参加）
（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；
（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；
（3）每项限报一人，但每人参加的项目不限．
思维升华
（1）利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：
完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
（2）分步必须满足两个条件：
一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：
（1）y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；
（2）y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数．
题型三 两个原理的综合应用
例3
如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．
如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有（ ）
A．30种B．27种
C．24种D．21种
方法与技巧
1．分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
2．分类标准要明确，做到不重复不遗漏．
3．混合问题一般是先分类再分步．
4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．
失误与防范
1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．
2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
3．确定题目中是否有特殊条件限制．
A组 专项基础训练
1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
2．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（ ）
A．4种B．5种C．6种D．9种
3．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对（x，y）作为一个点的坐标，则这样的点的个数是（ ）
A．9B．14C．15D．21
4．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是（ ）
A．9B．10C．18D．20
5．从－2、－1、0、1、2、3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a、b、c，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为（ ）
A．6B．20C．100D．120.
B组 专项能力提升
1．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}，定义函数f：
M→N.若点A（1，f
（1））、B（2，f
（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且
＋
＝λ
（λ∈R），则满足条件的函数f（x）有（ ）
A．6种B．10种C．12种D．16种
2．直角坐标xOy平面上，平行直线x＝n（n＝0,1,2，…，5）与平行直线y＝n（n＝0,1,2，…，5）组成的图形中，矩形共有（ ）
A．25个B．36个C．100个D．225个
3.
如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96B．84C．60D．48
4．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），获得冠军的可能性有________种．
1．排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
2.排列数与组合数
（1）排列数的定义：
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A
表示．
（2）组合数的定义：
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C
表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
公式
（1）A
＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝
（2）C
＝
＝
＝
性质
（1）0！
＝1；A
＝n！
.
（2）C
＝C
；C
＝C
＋C
.
1．用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．8B．24C．48D．120
2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．144B．120C．72D．24
3．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
4．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．
题型一 排列问题
例1 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？
（1）甲不在中间也不在两端；
（2）甲、乙两人必须排在两端；
（3）男女相间．
由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数，
求：
（1）有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？
（2）有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数？
题型二 组合问题
例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
从10位学生中选出5人参加数学竞赛．
（1）甲必须入选的有多少种不同的选法？
（2）甲、乙、丙不能同时都入选的有多少种不同的选法？
题型三 排列与组合的综合应用问题
例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？
（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？
思维升华 排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．
（1）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（ ）
A．12种B．18种C．36种D．54种
（2）（2014·重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A．72B．120
C．144D．168
排列、组合问题计算重、漏致误
典例：
有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种．
温馨提醒
（1）排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题．
（2）“至少、至多”型问题不能利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解．
方法与技巧
1．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：
（1）以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
（3）先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
2．排列、组合问题的求解方法与技巧：
（1）特殊元素优先安排；
（2）合理分类与准确分步；（3）排列、组合混合问题先选后排；（4）相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题排除法处理；（7）分排问题直排处理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价条件．
失误与防范
求解排列与组合问题的三个注意点：
（1）解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理．
（2）解受条件限制的组合题，通常用直接法（合理分类）和间接法（排除法）来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．
（3）对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题.
A组 专项基础训练
1．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）
A．192种B．216种
C．240种D．288种
2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12种B．10种C．9种D．8种
3．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（ ）
A．C
A
B．C
A
C．C
A
D．C
A
4．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：
节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．36种B．42种C．48种D．54种
5．如图所示，要使电路接通，开关不同的开闭方式有（ ）
A．11种B．20种C．21种D．12种
6．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的排法共有________种．
7．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
8．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．
9．某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．
10．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？
B组 专项能力提升
（时间：
15分钟）
11．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．48种
12．设集合A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{－1，0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为（ ）
13．将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）．
14．（2014·浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种（用数字作答）．
15．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？
（1）两个女生必须相邻而站；
（2）4名男生互不相邻；
（3）老师不站中间，女生甲不站左端．
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