解直角三角形的实际应用含答案docx.docx
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（五）解直角三角形的实际应用（含答案）
1.（2017株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α其中
tanα=23，无人机的飞行高度AH为5003米，桥的长度为1255米．
①求点H到桥左端点P的距离；
②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．
【答案】①求点H到桥左端点P的距离为250米；②无人机的长度AB为5米．
②设BC⊥HQ于C．
在Rt△BCQ中，∵BC=AH=5003，∠BQC=30°，
BC
∴CQ==1500米，∵PQ=1255米，∴CP=245米，
tan30
∵HP=250米，∴AB=HC=250﹣245=5米．
答：
这架无人机的长度AB为5米．.
考点：
解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
2.（2017第22题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在
OA的位置时俯角
EOA300，
在OB的位置时俯角
FOB
600.若OC
EF，点A比点B高7cm.
求
（1）单摆的长度（
3
1.7）；
Word资料
（2）从点A摆动到点B经过的路径长（
3.1）.
【答案】
（1）单摆的长度约为18.9cm
（2）从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm
则在
1
Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=
x，
2
在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ=
3x，
2
由=
﹣
OP
可得
3
x
﹣1
=7，
PQOQ
2
x
2
解得：
x=7+7
3≈18.9（cm），.
答：
单摆的长度约为
18.9cm；
（2）由
（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB=7+7
3，
∴∠AOB=90°，
Word资料
则从点A摆动到点B经过的路径长为
90
（7+7
3）≈29.295，
180
答：
从点A摆动到点B经过的路径长为
29.295cm．
考点：
1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；
2、轨迹.
3（.2017第19题）位于核心景区的贺龙铜像，
是我国近百年来最大的铜像．
铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如
图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：
sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）
【答案】4.2m．
考点：
解直角三角形的应用．
4.（2017第22题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：
水坝加
高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：
1（即DB：
EB=1：
1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC．
（参考数据：
sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
【答案】水坝原来的高度为
12米．.
Word资料
考点：
解直角三角形的应用，坡度.
5.（2017新疆乌鲁木齐第
21题）一艘渔船位于港口
A的北偏东60o方向，距离港口
20海里B处，它沿北偏西37o
方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B,C之间的距离为
10海里，救援船从港口
A出发20分钟到达C
处，求救援的艇的航行速度
.（sin37o
0.6,cos37o
0.8,31.732
，结果取整数）
【答案】救援的艇的航行速度大约是
64
海里/小时．
【解析】
试题分析：
辅助线如图
所示：
⊥
，
⊥
，
⊥
，在
△
ABD
中，根据勾股定理可求
AD
，在
△
中，
BD
AD
BE
CE
CF
AF
Rt
Rt
BCE
根据三角函数可求CE，EB，在Rt△AFC中，根据勾股定理可求AC，
再根据路程÷时间=速度求解即可．
试题解析：
辅助线如图所示：
Word资料
答：
救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．
考点：
解直角三角形的应用﹣方向角问题
6.（2017省市）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，
教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．
（1）求∠BCD的度数．
（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：
tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）
Word资料
【答案】
（1）38°；
（2）20.4m．
【解析】
试题分析：
（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；
（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．
试题解析：
（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；
（2）由题意得：
CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE?
tan20°≈10.80m，在Rt△CDE中，DE=CD?
tan18°≈9.60m，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．
考点：
1．解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；
2．应用题；3．等腰三角形与直角三角形．
7.（2016·随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，
已知烈山坡面与水
平面的夹角为30
，山高857.5尺，组员从山脚
D
处沿山坡向着雕像方向前进
1620尺到达
E
点，在点
E
处测得雕像
°
顶端A的仰角为
60°，求雕像AB的高度．
解：
如图，
过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，
在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，
Word资料
∴EG=DEsin∠D=1620×=810，
∵BC=857.5，CF=EG，
∴BF=BC﹣CF=47.5，
在Rt△BEF中，tan∠BEF=，
∴EF=BF，
在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，
∵tan∠AEF=，
∴AF=EF×tan∠AEF，
∴x+47.5=3×47.5，
∴x=95，
答：
雕像AB的高度为95尺．
8..（2016·7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B
的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）
（参考数据：
sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）
解：
如图，∠B=α=43°，
在Rt△ABC中，∵sinB=，
∴AB=≈1765（m）．
答：
飞机A与指挥台B的距离为1765m．
9..（2016
8
分）如图
1是一副创意卡通圆规，图
2是其平面示意图，
OA
是支撑臂，
OB
是旋转臂，使用时，以
·
点
A
为支撑点，铅笔芯端点
B
可绕点
A
旋转作出圆．已知
==10
．
OAOB
cm
（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）
（2）保持
=18
不变，在旋转臂
OB
末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（
1）中所作圆的大小相
∠AOB
°
等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）
（参考数据：
sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）
Word资料
解：
（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，
由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，
∴∠BOC=9°
∴AB=2BC=2OB?
sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，
即所作圆的半径约为3.13cm；
（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，
∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与
（1）中所作圆的大小相等，
∴折断的部分为BE，
∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，
∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，
∴∠BAD=9°，
∴BE=2BD=2AB?
sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，
即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．
10（2016
10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物
AB
的高度．他们在
C
处仰望建筑物顶端，测得仰角
·
为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）
（参考数据：
sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）
Word资料
解：
根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°
在Rt△ADB中，tan64°=
，
则=
，
BD
≈AB
在
Rt△ACB
中，
tan
48=
，
°
则CB=
≈
AB，
∴CD=BC﹣BD
即6=AB﹣
AB
解得：
AB=
≈14.7（米），
∴建筑物的高度约为
14.7米．
11.（2016·）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）
解：
作CF⊥AB于点F，设AF=x米，
在Rt△ACF中，tan∠ACF=，
则CF====x，
在直角
在直角
∵CF﹣
△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），
△ABF中，
tan∠AEB=
，则BE=
=
=（x+4）米．
=
，即
x
﹣（
x
+4）=3．
BE
DE
解得：
x=，
Word资料
则AB=+4=（米）．
答：
树高AB是米．
12..（2016·8分）如图，为测量一座山峰
CF的高度，将此山的某侧山坡划分为
AB和BC两段，每一段山坡近似
是“直”的，测得坡长
=800
米，=200
米，坡角∠=30°，∠
=45°．
AB
BC
BAF
CBE
（1）求AB段山坡的高度
EF；
（2）求山峰的高度
．（
1.414，
CF
结果精确到米）
CF
解：
（1）作BH⊥AF于H，如图，
在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，
∴BH=800?
sin30°=400，
∴EF=BH=400m；
（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，
∴CE=200?
sin45°=100≈141.4，
∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．
答：
AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．
13.（2016··6分）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和
B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与
小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？
Word资料
解：
过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，
∵∠A=45°，CD⊥AB，
∴AD=CD=x米，
∴AC=x．
在Rt△BCD中，∵∠B=30°，
∴BC===2x，
∵小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，
∴=，解得a=1米/秒．答：
小明的行走速度是1米/秒．
14..（2016·江）（9分）如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A，B两处距离
为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C
处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度（结果保留根号）．
北北
BB
4545
CHC
3030
AA
答案图
[考点]三角函数、解决实际问题。
解：
如图，过点C作CH⊥AB于H，则△BCH是等腰直角三角形．设CH＝x，
则BH＝x，AH＝CH÷tan30°＝3x．·········································2分
Word资料
∵AB＝200，∴x＋3x＝200．
∴x＝200＝100（3－1）．·············································4分
31
∴BC＝2x＝100（6－2）．············································6分
∵两船行驶4小时相遇，
∴可疑船只航行的平均速度＝100（6－2）÷4＝45（6－2）．····························8分
答：
可疑船只航行的平均速度是每小时45（6－2）海里．······························9分
15.．（2016·）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C
在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：
的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼
顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：
sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
解：
如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．
在RT△BDN中，BD=30，BN：
ND=1：
，
∴BN=15
，DN=15
，
∵∠C=∠CMB=∠CNB=90
°，
∴四边形CMBN是矩形，
∴CM=BM=15，BM=CN=60
﹣15
=45
，
在RT△ABM中，tan∠ABM=
=
，
∴AM=27
，
∴AC=AM+CM=15+27
．
Word资料
16.（2016·省市）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍
物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，
求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：
≈1.414，≈1.732）
】解：
如图，过点
D
作
DF⊥AB
于点
，过点
C
作
CH⊥DF
于点．
F
H
则DE=BF=CH=10m，
在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，
∴DF=AF=70m．
在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，
∴CE===10（m），
=﹣
=70﹣1070﹣17.3252.7（
m
）．
∴BCBE
CE
≈
≈
答：
障碍物
，
C
两点间的距离约为
52.7
m
．
B
17.（2016·省市·8分）如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，
在河的南岸边点
A处，
测得河的北岸边点
B
在其北偏东
45方向，然后向西走60
m
到达
C
点，测得点
B
在点
C
的北偏东
60方向，如图2．
°
°
（1）求∠CBA的度数．
（2）求出这段河的宽（结果精确到1m，备用数据≈1.41，≈1.73）．
Word资料
】解：
（1）由题意得，∠BAD=45°，∠BCA=30°，
∴∠CBA=∠BAD﹣∠BCA=15°；
（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D，
设BD=xm，
∵∠BCA=30°，
∴CD==x，
∵∠BAD=45°，
∴AD=BD=x，
则x﹣x=60，
解得x=
≈82，
答：
这段河的宽约为82m．
18.．（2016）如图，在大楼
AB
的正前方有一斜坡
，
=4米，坡角∠
=30°，小红在斜坡下的点
C
处测得楼
CD
CD
DCE
顶
B
的仰角为60°，在斜坡上的点
D
处测得楼顶
B
的仰角为45°，其中点
A
、、
E
在同一直线上．
C
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
解：
（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，
∴DE=DC=2米；
（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，
∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，
设BF=DF=x米，
∵四边形DEAF为矩形，
∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，
Word资料
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴BC=
==
=
米，
BD=
BF=
x米，DC=4米，
∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，
∴∠DCB=90°，
在△
BCD
中，根据勾股定理得：
2
+16，
2=
Rt
x
解得：
x=4+
或x=4﹣
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