高考数学圆锥曲线好题.docx

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高考数学圆锥曲线好题

高考数学圆锥曲线好题

一选择题

1.如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是（D　）

A．B．C．D．

2．如图，F1，F2是双曲线C：

（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（C）

A．B．2C．D．

3．设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线（其中）上存在点，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（B）

A．B．C．D．

4.过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点,是右焦点,则的周长是（D）

5.抛物线的焦点坐标是（C）

6.设抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线相交于两点,与抛物线的准线相交于,,则与的面积之比=（A）

7.若直线与双曲线的右支交于不同的两点,则实数的取值范围是（D）

8.已知直线是经过椭圆＝1的中心且相互垂直的两条直线,分别交椭圆于,则四边形的面积的最小值是（B）

9．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为

A．B．C．D．

10．已知是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点,若△是正三角形,则这个椭圆的离心率为

A．B．C．D．

11．与椭圆共焦点,离心率互为倒数的双曲线方程是

A．B．C．D．

12.经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线与两点，交双曲线的渐近线于两点，若，则双曲线的离心率是（　D　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

13.光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为（　　B）

A．y＝x－1B．y＝x－C．y＝x＋D．y＝x＋1

14.抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（A）

A.B.1C.D.2

15.若双曲线的渐近线方程为,则双曲线焦点F到渐近线的距离为（　B　）A.2     B.3       C.4      D. 5

16.已知双曲线的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线的斜率的取值范围是（　A　）

A.B.C.D.

17.已知（4,2）是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点,则l的方程是（　B　）

A.x＋2y+8＝0B.x＋2y－8＝0C.x-2y－8＝0D.x-2y+8＝0

18.已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（A）

A.B.C.3D.2

二填空题

1已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆上一动点R,则的最大值为6;

2双曲线的一个焦点为,则的值为___________,双曲线的渐近线方程

为___________.－1;　　　

3．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为.

4.双曲线的一个焦点为（0,3）,则实数的值为.-1

5.已知双曲线，为坐标原点，离心率，点在双曲线上．

（1）则双曲线的方程为；

（2）若直线与双曲线交于两点，且.则的值为．

解析：

（1）∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，

双曲线方程为－＝1，即3x2－y2＝3a2.

∵点M（，）在双曲线上，∴15－3＝3a2.∴a2＝4.

∴所求双曲线的方程为－＝1.

（2）设直线OP的方程为y＝kx（k≠0），联立－＝1，得

∴|OP|2＝x2＋y2＝.

则OQ的方程为y＝－x，同理有|OQ|2＝＝，

∴＋＝＝＝.

6．椭圆的焦点，为椭圆上的一点，已知，则△的面积为▲.12．9

7过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，

则点P的轨迹方程为________.

三解答题

1.（12分）已知椭圆的两个焦点分别是,并且经过点,求它的标准方程.

16.由椭圆定义知

。

又。

椭圆焦点在轴上

所求椭圆标准方程是：

。

2.（12分）过双曲线的右焦点,倾斜角为的直线交双曲线于两点,为左焦点,求

（1）|AB|;

（2）的周长.

17.由双曲线方程知焦点分别是。

联立直线与双曲线方程，得

，。

（2）

=

3.（14分）如图所示,已知椭圆左、右端点分别为,过定点的动直线与椭圆交于两点.直线与交于点.

（1）当直线斜率为1时,求直线与的方程.

（2）试问：

点是否恒在一条定直线上.若是求出这条直线方程,若不是请说明理由.

21.

（1）联立直线与椭圆方程得，

（2）联立直线与椭圆方程得，即。

记

，则，，且的方程分别是

，。

由方程组，

14.（13分）已知三点P（5,2）、F1（－6,0）、F2（6,0）.

（1）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;

（2）设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为,求以为焦点且过点的双曲线的标准方程.

19.

（1）;

（2）.

【解析】

试题分析:

（1）根据椭圆的定义,,又,利用,可求出,从而得出椭圆的标准方程,本题要充分利用椭圆的定义.

（2）由于F1、F2关于直线的对称点在轴上,且关于原点对称,故所求双曲线方程为标准方程,同样利用双曲线的定义有,又,要注意的是双曲线中有,故也能很快求出结论.

试题解析:

（1）由题意,可设所求椭圆的标准方程为,其半焦距,

故所求椭圆的标准方程为;

（2）点P（5,2）、（－6,0）、（6,0）关于直线y＝x的对称点分别为:

,,设所求双曲线的标准方程为,由题意知半焦距=6,

∴,

故所求双曲线的标准方程为.

考点:

（1）椭圆的标准方程;

（2）双曲线的标准方程.

15（本小题满分12分）设A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，满足OA⊥OB（O

为坐标原点）.

求证：

（1）A、B两点的横坐标之积为；

（2）直线AB经过一个定点.

19.证明:

（1）设A（x1,y1）、B（x2,y2）,则y12=2px1、y22=2px2.

∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,y12y22=4p2x1x2=4p2·（-y1y2）.

∴y1y2=-4p2,从而x1x2=4p2也为定值.

（2）∵y12-y22=2p（x1-x2）,∴=.

∴直线AB的方程为y-y1=（x-x1）,即y=x-·+y1,

y=x+,亦即y=（x-2p）.

∴直线AB经过定点（2p,0）.

5.（本小题满分12分）以椭圆的中心为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.已知椭圆的离心率为,且过点．

（1）求椭圆及其“伴随”的方程;

（2）过点作“伴随”的切线交椭圆于,两点,记为坐标原点）的面积为,将表示为的函数,并求的最大值.

21.解析：

（1）椭圆的离心率为,则,

设椭圆的方程为……………2分

∵椭圆过点，∴，

∴，…………….………..4分

∴椭圆的标准方程为，

椭圆的“伴随”方程为.………..6分

（2）由题意知，.

易知切线的斜率存在,设切线的方程为

由得………..8分

设,两点的坐标分别为,,则

.

又由与圆相切,所以,.

所以

……10分

.

（当且仅当时取等号）

所以当时，的最大值为1.………..12分

6.如图,椭圆经过点,离心率,直线l的方程为.

（1）求椭圆C的方程;

（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点）,设直线与直线相交于点,记、、的斜率分别为、、.问:

是否存在常数,使得?

若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

解:

（1）由在椭圆上,得……………①.

又得……………………..②

由①②,得

故椭圆C的方程为………………………………………………5分

（2）设直线的方程为,

由

…………………………7分

………………………………10分

又将代入得

……………………………………………,,…………12分

故存在常数符合题意.……………………………………………………14分

7.（14分）在平面直角坐标系xOy中,已知点A（－1,1）,P是动点,且△POA的三边所在直线的斜率满足kOP＋kOA＝kPA.

（1）求点P的轨迹C的方程;

（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点,且＝λ,直线OP与QA交于点M,问:

是否存在点P,使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA＝2S△PAM?

若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

22.

（1）y＝x2（x≠0且x≠－1）

（2）（1,1）

　　　【解析】

（1）设点P（x,y）为所求轨迹上的任意一点,则由kOP＋kOA＝kPA

　　　　　得,整理得轨迹C的方程为y＝x2（x≠0且x≠－1）.

（2）设P（x1,）,Q（x2,,M（x0,y0）,

由＝λ可知直线PQ∥OA,则kPQ＝kOA,故,即x2＋x1＝－1,

由O、M、P三点共线可知,＝（x0,y0）与＝（x1,）共线,

∴x0－x1y0＝0,由

（1）知x1≠0,故y0＝x0x1,

同理,由＝（x0＋1,y0－1）与＝（x2＋1,－1）共线可知（x0＋1）（－1）－（x2＋1）（y0－1）＝0,即（x2＋1）[（x0＋1）·（x2－1）－（y0－1）]＝0,

由

（1）知x2≠－1,故（x0＋1）（x2－1）－（y0－1）＝0,

将y0＝x0x1,x2＝－1－x1代入上式得（x0＋1）（－2－x1）－（x0x1－1）＝0,

整理得－2x0（x1＋1）＝x1＋1,由x1≠－1得x0＝－,由S△PQA＝2S△PAM,得到QA＝2AM,

∵PQ∥OA,∴OP＝2OM,∴＝2,∴x1＝1,∴P的坐标为（1,1）

8．（本题满分12分）

已知直线，圆．

（1）求直线被圆所截得的弦长；

（2）如果过点的直线与直线垂直，与圆心在直线上的圆相切，圆被直线分成两段圆弧，且弧长之比为，求圆的方程．

18.

（1）由题意得：

圆心到直线的距离，…3分

由垂径定理得弦长为…………5分

（2）直线：

设圆心为，圆心M到直线的距离为圆的半径，

由题意可得，圆心到直线的距离为，所以有：

…………7分

解得或，…………9分

当时，圆心为，＝，

所以所求圆方程为：

…………10分

当时，圆方程为：

.…………11分

故圆方程为或.…………12分

9．（本题满分14分）

如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，其中为正常数.当点恰为椭圆的右顶点时，对应的.

（1）求椭圆的离心率；

（2）求与的值；

（3）当变化时，是否为定值？

若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.

21.

（1）因为，所以，得，即，

所以离心率.………4分

（2）因为，，所以由，得，………6分

将它代入到椭圆方程中，得，解得，

所以.………8分

（3）法一：

设，

由，得，………10分

又椭圆的方程为，所以由，

得①，