人教版数学七年级上册期末专项复习一元一次方程之数轴类三.docx

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人教版数学七年级上册期末专项复习一元一次方程之数轴类三

人教版数学七年级上册期末专项复习：

一元一次方程之数轴类（三）

1．数轴是学习初中数学的一个重要工具利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：

数轴上点A、点B表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为；AB＝a﹣b线段AB的中点M表示的数为

．

如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）运动开始前，A、B两点的距离为　　个单位长度；线段AB的中点M所表示的数为　　；

（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为　　；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为　　．（用含t的式子表示）

（3）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距4个单位长度？

（4）若A、B按上述方式运动，A、B两点经过多少秒，线段AB的中点M与原点重合？

2．已知两点A、B在数轴上，AB＝9，点A表示的数是a，且a与（﹣1）3互为相反数．

（1）写出点B表示的数；

（2）如图1，当点A、B位于原点O的同侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，3秒后两动点相遇，当动点Q到达点4时，运动停止．在整个运动过程中，当PQ＝2时，求点P、Q所表示的数；

（3）如图2，当点A、B位于原点O的异侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发1秒；当动点Q运动2秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动5秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当|OM﹣ON|＝2时，求动点P、Q运动的速度．

3．【背景知识】

数轴是初中数学的一个重要工具．利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：

数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点M表示的数为

．

【问题情境】

已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

【综合运用】

（1）运动开始前，A、B两点的距离为　　；线段AB的中点M所表示的数　　．

（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为　　；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为　　；（用含t的式子表示）

（3）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距4个单位长度？

（4）若A，B按上述方式继续运动下去，线段AB的中点M能否与原点重合？

若能，求出运动时间，并直接写出中点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A，B两点重合，则中点M也与A，B两点重合）．

4．如图，小亮把东、西大街表示成一条数轴，把公交站的位置用数轴上的点表示出来，其中鼓楼站的位置记为原点，正东方向为正方向，公交车的一站地为一个单位长度（假设每站距离相同）．请你根据图形回答下列问题：

（1）到广济街的距离等于2站地的是　　．

（2）到这8个站距离之和最小的站地是否存在？

若存在，是哪个站地？

最小值是多少？

若不存在，请说明理由．

（3）如果用a表示数轴上的点表示的数，那么|a﹣1|＝2表示这个点与1对应点的距离为2，请你根据以上信息回答下面问题：

①若|a﹣2|+|a+1|＝3，请你指出满足条件a的所有站地表示的数．

②若|a﹣4|+|a+1|＝10，请你求出满足条件的a的值．

5．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示﹣12，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为t秒，问：

（1）动点Q从点C运动至点A需要　　秒；

（2）P、Q两点相遇时，求出t的值及相遇点M所对应的数是多少？

（3）求当t为何值时，A、P两点在数轴上相距的长度是C、Q两点在数轴上相距的长度的

倍（即P点运动的路程＝

Q点运动的路程）．

6．【阅读理解】点A、B在数轴上对应的数分别是a，b，且|a+2|+（b﹣8）2＝0．A、B两点的中点表示的数为

；当b＞a时，A、B两点间的距离为AB＝b﹣a．

（1）求AB的长．

（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+8＝x﹣2的解，在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝PC？

若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由．

（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒8个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒5个单位的速度向右运动，P、Q分别为ME、ON的中点，求证：

在运动过程中，

的值不变，并求出这个值．

7．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示﹣12，﹣5，5，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发，甲的速度是每秒2个单位，乙的速度是每秒3个单位．

（1）AB＝　　，BC＝　　，AC＝　　．

（2）若甲、乙相向而行，则甲、乙在多少秒后数轴上相遇？

该相遇点在数轴上表示的数是什么？

（3）若甲、乙相向而行，则多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为22个单位？

8．已知，如图所示，A、B、C是数轴上的三点，点C对的数是6，BC＝4，AB＝12．

（1）写出A、B对应的数；

（2）动点P、Q同时从A、C出发，分别以每秒6个单位，3个单位速度沿数轴正方向运动，M是AP的中点，N在CQ上且CN＝

CQ，设运动时间为t（t＞0）．

①求点M、N对应的数（含t的式）；

②x为何值时OM＝2BN．

9．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA：

OB＝2：

1，点P从点B以每秒4个单位的速度向右运动．

（1）A、B对应的数分别为　　、　　；

（2）当点P运动时，分别取BP的中点E，AO的中点F，请画图，并求出

的值；

（3）若当点P开始运动时，点A、B分别以每秒2个单位和每秒5个单位的速度同时向右运动，是否存在常数m，使得3AP+2OP﹣mBP为定值？

若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．

10．已知，数轴上两点A，B表示的数分别是9和﹣6，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点B运动，运动到点B停止；

（1）在数轴上表示出A，B两点，并直接回答：

线段AB的长度是　　；

（2）若满足BP＝2AP，求点P的运动时间；

（3）在点P运动过程中，若点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点，请计算线段MN的长度，并说出线段MN与线段AB的数量关系；

（4）若另一动点Q同时从B点出发，运动的速度是每秒2个单位，几秒钟后，线段PQ长度等于5？

参考答案

1．解：

（1）运动开始前，A、B两点的距离为8﹣（﹣10）＝18；线段AB的中点M所表示数为

．

故答案是：

18；﹣1

（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+3t；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为8﹣2t．

故答案是：

﹣10+3t；8﹣2t

（3）设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相距4个单位长度．

根据题意得3x+2x＝18﹣4，

解得x＝2.8；

3x+2x＝18+4，

解得x＝4.4．

答：

A、B两点经过2.8秒或4.4秒会相距4个单位长度．

（4）由题意得

解得t＝2．

答：

经过2秒A、B两点的中点M会与原点重合．

2．解：

（1）∵a与（﹣1）3互为相反数

∴a＝1，

∵AB＝9，

∴①当点A、点B在原点的同侧时，点B所表示的数为1+9＝10，如图1所示，

②当点A、点B在原点的异侧时，点B所表示的数为1﹣9＝﹣8，如图2所示，

故点B所表示的数为10或﹣8；

（2）当点A、B位于原点O的同侧时，点B表示的数是10

设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x

∵3秒后两动点相遇

∴3（x+2x）＝9

解得：

x＝1

∴点Q的运动速度为1，则点P的速度为2

运动t秒后PQ＝2有两种情形：

①相遇前，由题意有：

2t+2+t＝9

解得：

t＝

；

∴点P表示的数为：

1+2×

＝

，点Q表示的数为：

10﹣

＝

；

②相遇后，再运动y秒，P、Q两点相距2，由题意有：

y+2y＝2

解得：

y＝

∴点P表示的数为：

1+3×2+

×2＝

，点Q表示的数为：

10﹣3×1﹣

×1＝

；

（3）根据题意得，点P和点Q在点A处相遇，此时点Q运动5秒，运动9个单位长度

∴点Q的运动速度为：

9÷5＝1.8

设点P的速度为v，

∵|OM﹣ON|＝2

∴|9+1﹣（5v+1）|＝2

解得：

v＝

或

∴点P的速度为

或

．

3．解：

（1）A、B两点的距离为：

8﹣（﹣10）＝18；线段AB的中点M所表示的数为﹣1．

故答案为：

18；﹣1；

（2）由题意可得点A运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+3t；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为8﹣2t；

故答案为：

﹣10+3t；8﹣2t；

（3）设它们按上述方式运动，A、B两点经过t秒会相距4个单位长度，

当点A在点B左侧时，

依题意列式，得3t+2t＝18﹣4，

解得t＝2.8；

当点A在点B右侧时，

3t+2t＝18+4，

解得t＝4.4，

答：

它们按上述方式运动，A、B两点经过2.8秒或4.4秒会相距4个单位长度．

（4）能．

设A，B按上述方式继续运动k秒线段的中点M能与原点重合，

根据题意列方程，可得

＝0，

解得k＝2．

运动开始前M点的位置是﹣1，运动2秒后到达原点，

由此得M点的运动方向向右，其速度为：

|﹣1÷2|＝

个单位长度．

答：

运动时间为2秒，中点M点的运动方向向右，其运动速度为每秒

个单位长度．

4．解：

（1）由图可知，到广济街的距离等于2站地的是西门和端履门．

故答案为：

西门和端履门．

（2）这8个站间隔相等，距离之和最小的站地应该是位于中间的两个，即广济站和钟楼站，最小值是：

1+2+3+1+2+3+4＝16．

∴到这8个站距离之和最小的站地存在，是广济站和钟楼站，最小值是16．

（3）①∵|a﹣2|+|a+1|＝3，

∴当a≤﹣1时，2﹣a﹣a﹣1＝3，

∴a＝﹣1；

当﹣1＜a＜2时，2﹣a+a+1＝3，

∴当﹣1＜a＜2时，满足条件a的站地表示的数为0或1；

当2≤a≤3时，a﹣2+a+1＝3，

∴a＝2．

综上，满足条件a的所有站地表示的数为﹣1、0、1或2．

②∵|a﹣4|+|a+1|＝10，

∴当a≤﹣1时，4﹣a﹣a﹣1＝10，

∴a＝﹣3.5；

当﹣1＜a≤4时，4﹣a+a+1＝10，

∴此时a无解；

当a＞4时，a﹣4+a+1＝10，

∴a＝6.5．

综上，满足条件的a的值为﹣3.5或6.5．

5．解：

（1）点Q运动至点A时，所需时间t＝（20﹣12）÷1+12÷2+12÷1＝26（秒）．

答：

动点Q从点C运动至点A需要26秒；

（2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上M处，设OM＝x．

则12÷2+x÷1＝（20﹣12）÷1+（12﹣x）÷2，

解得x＝

，

12÷2+

÷1＝6+5

＝11

．

答：

t的值是11

，相遇点M所对应的数是

．

（3）A、P两点在数轴上相距的长度是C、Q两点在数轴上相距的长度的

倍有2种可能：

①动点Q在OB上，动点P在BO上，相遇前，

则：

12+（t﹣12÷2）＝

[20﹣12+2（t﹣8÷1）]，

解得：

t＝

．

②动点Q在OA上，动点P在BC上，相遇后，

则：

12+12+2（t﹣18）＝

[8+12+（t﹣8÷1﹣12÷2）]，

解得：

t＝26．

综上所述：

当t为

或26时，A、P两点在数轴上相距的长度是C、Q两点在数轴上相距的长度的

倍．

故答案为：

26．

6．

（1）解：

∵|a+2|+（b﹣8）2＝0，

∴a＝﹣2，b＝8，

∴AB＝8﹣（﹣2）＝10；

（2）解：

2x+8＝x﹣2，

∴x＝﹣10，

∴C在数轴上对应的数为﹣10，

设点P对应的数为y，由题意可知，点P不可能位于点A的左侧，

所以存在以下两种情况：

①点P在点B的右侧，

∴（y﹣8）+[y﹣（﹣2）]＝y﹣（﹣10），

∴y＝16，

②当点P在A、B之间，

∴（8﹣y）+[y﹣（﹣2）]＝y﹣（﹣10），

∴y＝0，

综上所述，点P对应的数是16或0；

（3）证明：

设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是﹣2﹣8t，点N对应的数是8+5t，

∵P是ME的中点，

∴P点对应的数是

＝﹣1﹣

t，

又∵Q是ON的中点，

∴Q点对应的数是

＝4+

t，

∴MN＝（8+5t）﹣（﹣2﹣8t）＝10+13t，OE＝t，PQ＝（4+

t）﹣（﹣1﹣

t）＝5+6t，

∴

＝

＝

＝2（定值）．

∴在运动过程中，

的值不变，这个值是2．

7．解：

（1）AB＝﹣5﹣（﹣12）＝﹣5+12＝7，BC＝5﹣（﹣5）＝5+5＝10，AC＝5﹣（﹣12）＝5+12＝17．

故答案为：

7，10，17；

（2）设甲、乙行驶x秒时相遇，

根据题意得：

2x+3x＝17，

解得：

x＝3.4，

﹣12+2×3.4＝﹣5.2．

答：

甲、乙在3.4秒后在数轴上相遇，该相遇点在数轴上表示数是﹣5.2．

（3）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为22个单位，

B点距A，C两点的距离为7+10＝17＜20，A点距B、C两点的距离为7+17＝24＞20，C点距A、B的距离为17+10＝27＞20，

故甲应位于AB或BC之间．

①AB之间时：

2y+（7﹣2y）+（7﹣2y+10）＝22，

解得：

y＝1；

②BC之间时：

2y+（2y﹣7）+（17﹣2y）＝22，

解得：

y＝6．

答：

1秒或6秒后甲到A，B，C三点的距离之和为22个单位．

8．解：

（1）∵C表示的数为6，BC＝4，

∴OB＝6﹣4＝2，

∴B点表示2．

∵AB＝12，

∴AO＝12﹣2＝10，

∴A点表示﹣10．

故点A对应的数是﹣10，点B对应的数是2；

（2）①AP＝6t，CQ＝3t，如图1所示：

∵M为AP的中点，N在CQ上，且CN＝

CQ，

∴AM＝

AP＝3t，CN＝

CQ＝t，

∵点A表示的数是﹣10，点C表示的数是6，

∴点M表示的数是﹣10+3t，点N表示的数是6+t；

②∵OM＝|﹣10+3t|，BN＝BC+CN＝4+t，OM＝2BN，

∴|﹣10+3t|＝2（4+t）＝8+2t，

∴﹣10+3t＝±（8+2t），

当﹣10+3t＝8+2t时，t＝18；

当﹣10+3t＝﹣（8+2t）时，t＝

．

∴当t＝18或t＝

时，OM＝2BN．

9．解：

（1）∵AB＝15，OA：

OB＝2

∴AO＝10，BO＝5

∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5，

故答案为：

﹣10、5．

（2）画图如下：

∵点E、F分别为BP、AO的中点

∴OF＝

AO，BE＝

BP

∴EF＝OF+OB+BE＝

AO+OB+

BP

∴

＝

＝

＝2．

（3）设运动时间为t秒，则点P对应的数：

5+4t；点A对应的数：

﹣10+2t；点B对应的数：

5+5t；

∴AP＝5+4t﹣（﹣10+2t）＝2t+15；OP＝5+4t；BP＝t．

∴3AP+2OP﹣mBP＝3（2t+15）+2（5+4t）﹣mt＝（14﹣m）t+55．

∴当m＝14时，为定值55．

10．解：

（1）如图所示：

线段AB的长度是9﹣（﹣6）＝9+6＝15，

故答案为：

15；

（2）设AP＝3t，则BP＝6t，可得3t+6t＝15，

∴t＝

；

（3）∵AP＝3t，

∴BP＝15﹣3t，

∵点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点，

∴MP＝

AP＝

t，PN＝

（15﹣3t），

则MN＝MP+PN＝

t+

（15﹣3t）＝

，

∴MN＝

AB；

（4）设BQ＝2t，

当Q在AB上时，①15﹣2t﹣3t＝5，解得t＝2；

②2t+3t﹣15＝5，解得t＝4；

当Q在AB外时，2t+（15﹣3t）＝5，解得t＝4；此时，点P不在线段AB外（舍去）

综上所述，当2秒或4秒时，线段PQ的长度等于5．