集合的概念与运算教学讲义.docx
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集合的概念与运算教学讲义
集合的概念与运算教学讲义
1.集合与元素
一组对象的全体构成一个集合.
(1)集合中元素的三大特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)集合中元素与集合的关系:
对于元素a与集合A,__a∈A__或__a∉A__,二者必居其一.
(3)常见集合的符号表示.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*
Z
Q
R
(4)集合的表示法:
列举法、描述法、Venn图法、区间表示法.
(5)集合的分类:
集合按元素个数的多少分为有限集、无限集,有限集常用列举法表示,无限集常用描述法表示.
2.集合之间的基本关系
关系
定义
表示
相等
集合A与集合B中的所有元素都__相同__
A__=__B
子集
A中的任意一个元素都是__B中的元素__
A__⊆__B
真子集
A是B的子集,且B中至少有一个元素__不属于A__
A____B
注意:
(1)空集用__∅__表示.
(2)若集合A中含有n个元素,则其子集个数为__2n__,真子集个数为__2n-1__,非空真子集的个数为__2n-2__.
(3)空集是任何集合的子集,是任何__非空集合__的真子集.
(4)若A⊆B,B⊆C,则A__⊆__C.
3.集合的基本运算
符号
语言
交集A∩B
并集A∪B
补集∁UA
图形
语言
意义
A∩B={x|x∈A且x∈B}
A∪B={x|x∈A或x∈B}
∁UA={x|x∈U且x∉A}
1.A∩A=A,A∩∅=∅.
2.A∪A=A,A∪∅=A.
3.A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
4.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅.
1.已知集合A={x∈N|0≤x≤4},则下列表述正确的是( D )
A.0∉A B.1⊆A
C.
⊆A D.3∈A
[解析] 集合A={x∈N|0≤x≤4},所以0∈A,1∈A,
∉A,3∈A.
2.若A={x|x=4k-1,k∈Z},B={x=2k-1,k∈Z},则集合A与B的关系是( B )
A.A=B B.AB
C.AB D.A⊆B
[解析] 因为集合B={x|x=2k-1,k∈Z},A={x|x=4k-1,k∈Z}={x|x=2(2k)-1,k∈Z},集合B表示2与整数的积减1的集合,集合A表示2与偶数的积减1的集合,所以AB,故选B.
3.设集合M={2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N的子集的个数为( B )
A.2 B.4
C.7 D.128
[解析] ∵M={2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},∴M∩N={2,6},即M∩N中元素的个数为2,子集22=4个,故选B.
4.已知集合A={x|x>0},B={x|-1≤x≤2},则A∪B=( A )
A.{x|x≥-1} B.{x|x≤2}
C.{x|0[解析] 根据题意,作图可得,
则A∪B={x|x≥-1},故选A.
5.(文)已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(∁RA)∩B( A )
A.{-2,-1} B.{-2}
C.{-2,0,1} D.{0,1}
(理)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=( B )
A.[2,3] B.(-2,3]
C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
[解析] (文)∵A={x|x+1>0}={x|x>-1},∴∁RA={x|x≤-1},∴(∁RA)∩B={x|x≤-1}∩{-2,-1,0,1}={-2,-1}.
(理)∵Q={x∈R|x2≥4}={x∈R|x≥2或x≤-2},∴∁RQ={x∈R|-2[方法技巧] (文)集合基本运算的方法技巧
(1)当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算,也可借助Venn图运算.
(2)当集合是用不等式表示时,可运用数轴求解.对于端点处的取舍,可以单独检验.
6.2∈{x2+x,2x}则x=__-2__;-2∉{x2+x,2x},则x≠__0且x≠1,且x≠-1__.
[解析] x2+x=2得x=-2或1(舍去),2x=2得x=1(舍去),综上x=-2;不属于按属于处理,-2=x2+x无解.-2=2x,得x=-1,又x2+x与2x不同,∴x≠0,1.
7.(文)(2018·山西吕梁期中)已知集合M={x||x|≤1},N={y|y=x2,x∈R},则M∩N=( D )
A.[-1,1] B.∅
C.(0,1] D.[0,1]
(理)(2018·江西宜春月考)设全集I=R,集合A={y|y=log2x,x>2},B={x|y=
},则( A )
A.A⊆B B.A∪B=A
C.A∩B=∅ D.A∩(∁IB)≠∅
[解析] (文)∵集合M={x||x|≤1}={x|-1≤x≤1},N={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0},∴M∩N={0|0≤x≤1}=[0,1].故选D.
(理)由题意,A={y|y=log2x,x>2}=(1,+∞),B={x|y=
}=[1,+∞),∴A⊆B.故选A.
[方法技巧] 判断集合间关系的三种方法
(1)列举法:
把元素一一列举观察.
(2)集合元素特征法:
首先确定集合中的元素是什么,弄清集合中元素的特征,再利用集合中元素的特征判断关系.
(3)数形结合法:
利用数轴或Venn图.
8.(文)(2018·北京东城区月考)已知集合M={x|x≤a},N={x|-2A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-∞,-2]
(理)(2018·吉林长春检测)已知集合A={x|ax-1=0},B={x|1A.∅ B.{
}
C.{
,
} D.{0,
,
}
[解析] (文)因为M={x|x≤a},N={x|-2(理)由A∩B=A,得A⊆B.∵B={x|1.要使A⊆B,则
=3或
=4,即a=
或
.综上所述,a的所有可能取值组成的集合是{0,
,
}.故选D.
考点1 集合的基本概念——自主练透
例1
(1)已知集合A={x|x=3k+1,k∈Z},则下列表示不正确的是( C )
A.-2∈A B.2019∉A
C.3k2+1∉A D.-35∈A
(2)(2018·课标Ⅱ,2)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( A )
A.9 B.8
C.5 D.4
(3)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a= 0或
.
(4)已知a∈R,b∈R,若{a,
,1}={a2,a+b,0},则a2019+b2019=__-1__.
[解析]
(1)当-2=3k+1时,k=-1∈Z,故A正确;当2019=3k+1时,k=672
∉Z,故B正确;当-35=3k+1时,k=-12∈Z,故D正确.故选C.
(2)本题主要考查集合的含义与表示.由题意可知A={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)},故集合A中共有9个元素,故选A.
(3)若a=0,则A={
},符合题意;
若a≠0,则由题意得Δ=9-8a=0,解得a=
.
综上,a的值为0或
.
(4)由已知得
=0,∴b=0,∴{a,0,1}={a2,a,0},∴a2=1,a=-1或1(舍),∴a2019+b2019=-1,故填-1.
名师点拨 ☞
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合;
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中元素是否满足互异性.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
考点2 集合间的关系——师生共研
例2
(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0A.B⊆A B.A=B
C.AB D.BA
(2)(2018·云南第一次检测)设集合A={x|-x2-x+2<0},B={x|2x-5>0},则集合A与B的关系是( A )
A.BA B.BA
C.B∈A D.A∈B
(3)(文)(2018·江西八校联考)集合M={x|x=
+1,n∈Z},N={y|y=n+
,n∈Z},则两集合M,N的关系为( D )
A.M∩N=∅ B.M=N
C.MN D.NM
(理)(2018·广西梧州临川期中)设集合M={x|x=
+
,k∈Z},N={x|x=
+
,k∈Z},则( B )
A.M=N B.MN
C.NM D.M∩N=∅
(4)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}≠∅,若A∩B=B,则实数m的取值范围为__[2,3]__.
[解析]
(1)A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},B={x|0(2)A={x|-x2-x+2<0}={x|x>1或x<-2},B={x|2x-5>0}={x|x>
}.
∴BA,故选A.
(3)(文)解法一:
(列举法)
由题意知:
M={…,0,
,1,
,2,…},N={…,-
,
,
,
,…},显然NM,故选D.
解法二:
(描述法)
M={x|x=
,n∈Z},
N={y|y=
,n∈Z}.
∵n+2表示所有整数,而2n+1表示所有奇数,∴NM,故选D.
(理)解法一:
(列举法),由题意知
M={…-
,-
,
,
,
,
,……}
N={…-
,0,
,
,
,
,
,…}
显然MN,故选B.
解法二:
(描述法)
M={x|x=
,k∈Z},N={x|x=
,k∈Z}
∵2k+1表示所有奇数,而k+4表示所有整数(k∈Z)
∴MN,故选B.
(4)由A∩B=B知,B⊆A.
又B≠∅,则
解得2≤m≤3,
则实数m的取值范围为[2,3].
[引申1]本例(4)中若B={x|m+1≤x≤2m-1}情况又如何?
[解析] 应对B=∅和B≠∅进行分类.
①若B=∅,则2m-1②若B≠∅,由例得2≤m≤3.
由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为(-∞,3].
[引申2]本例(4)中是否存在实数m,使A⊆B?
若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
[解析] 由A⊆B得
即
不等式组无解,故不存在实数m,使A⊆B.
[引申3]本例(4)中,若B={x|m+1≤x≤1-2m},AB,则m的取值范围为__(-∞,-3]__.
[解析] 由题意可知
解得m≤-3.
名师点拨 ☞
判断集合间关系的3种方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来,然后比较集合元素的异同,从而找出集合之间的关系.(如第1、2题)
结构法
从元素的结构特点入手,结合通分、化简、变形等技巧,从元素结构上找差异进行判断.(如第3题)
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合,比较端点之间的大小关系,从而确定集合与集合之间的关系.(如第4题)
〔变式训练1〕
(1)(2018·辽宁锦州质检
(一))集合M={x|x=3n,n∈N},集合N={x|x=3n,n∈N},则集合M与集合N的关系是( D )
A.M⊆N B.N⊆M
C.M∩N=∅ D.MN且NM
(2)(文)(2018·辽宁葫芦岛一中月考)已知集合M={x|y=lg(2-x)},N={y|y=
+
},则( B )
A.M⊆N B.N⊆M
C.M=N D.N∈M
(理)(2018·湖北省部分重点中学联考)已知集合M={x|y=
,x∈R},N={x|x=m2,m∈M},则集合M,N的关系是( B )
A.MN B.NM
C.M⊆∁RN D.N⊆∁RM
(3)已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|mx+10>0},若A⊆B,则m的取值范围是__(-2,5)__.
[解析]
(1)因为1∈M,1∉N,6∈N,6∉M,所以MN且NM,故选D.
(2)(文)∵集合M={x|y=lg(2-x)}=(-∞,2),N={y|y=
+
}={0},∴N⊆M.故选B.
(理)依题意知,M={x|y=
,x∈R}={x|-1≤x≤1},N={x|x=m2,m∈M}={x|0≤x≤1},所以NM.故选B.
(3)化简A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5},当m>0时,x>-
,因为A⊆B,所以-
<-2,解得m<5,所以0,因为A⊆B,所以-
>5,解得m>-2,所以-2考点3 集合的基本运算——多维探究
角度1 集合的运算
例3
(1)(2018·课标全国Ⅰ,1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( A )
A.{0,2} B.{1,2}
C.{0} D.{-2,-1,0,1,2}
(2)(2018·天津,1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( C )
A.{-1,1} B.{0,1}
C.{-1,0,1} D.{2,3,4}
(3)(2018·天津,1)设全集为R,集合A={x|0A.{x|0C.{x|1≤x<2} D.{x|0[解析]
(1)本题主要考查集合的基本运算.
∵A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={0,2},故选A.
(2)本题主要考查集合的运算.
由题意得A∪B={1,2,3,4,-1,0},∴(A∪B)∩C={1,2,3,4,-1,0}∩{x∈R|-1≤x<2}={-1,0,1}.故选C.
(3)本题主要考查集合的基本运算.
由B={x|x≥1},得∁RB={x|x<1},借助于数轴,可得A∩(∁RB)={x|0角度2 利用集合的运算求参数
例4
(1)(2018·河北邢台联考)已知全集U={x∈Z|0A.(6,7] B.[6,7)
C.[6,7] D.(6,7)
(2)(2018·江西鹰潭一中模拟)已知集合A={x|1<2x≤16},B={x|xA.(4,+∞) B.[4,+∞)
C.[0,+∞) D.(0,+∞)
[解析]
(1)若∁UA中的元素的个数为4,则∁UA={1,2,7,8},∴6(2)由题意知A={x|0名师点拨 ☞
集合的基本运算的关注点
1.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.
2.有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决.
3.注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.
4.根据集合运算结果求参数,先把符号语言译成文字语言,然后应用数形结合求解.
〔变式训练2〕
(1)(角度1)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( C )
A.{1} B.{1,2}
C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
(2)(角度1)(2018·课标Ⅰ,2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( B )
A.{x|-1C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
(3)(角度2)集合M={x|-1≤x<2},N={y|yA.a≤-1 B.a<-1
C.a≥-1 D.a>-1
(4)(角度1)(文)(2018·山西太原阶段性测评)设集合A={-1,0,1,2,},B={x|y=
},则图中阴影部分所表示的集合为( B )
A.{1} B.{0}
C.{-1,0} D.{-1,0,1}
(角度1)(理)(2018·四川资阳模拟)设全集U=R,集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为( D )
A.{x|x≤-1或x≥3}
B.{x|x<1或x≥3}
C.{x|x≤1}
D.{x|x≤-1}
[分析]
(1)求解一元二次不等式得集合B,然后根据并集的定义求得A∪B的结果.
(2)本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法.
[解析]
(1)由(x+1)(x-2)<0⇒-1(2)化简A={x|x<-1或x>2},∴∁RA={x|-1≤x≤2}.故选B.
(3)∵M={x|-1≤x<2},N={y|y-1即可.故选D.
(4)(文)由题意得图中阴影部分表示的集合为A∩(∁RB).∵B={x|y=
}={x|x2-1≥0}={x|x≥1或x≤-1},∴∁RB={x|-1(理)由题意可知A={x|-1[易错警示]
(1)对于集合B,容易忽略x∈Z的条件而导致错误,注意养成严谨、细心的审题习惯.