集合的概念与运算教学讲义.docx
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集合的概念与运算教学讲义
集合的概念与运算教学讲义
1．集合与元素
一组对象的全体构成一个集合．
（1）集合中元素的三大特征：
确定性、互异性、无序性．
（2）集合中元素与集合的关系：
对于元素a与集合A，__a∈A__或__a∉A__，二者必居其一．
（3）常见集合的符号表示.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*
Z
Q
R
（4）集合的表示法：
列举法、描述法、Venn图法、区间表示法．
（5）集合的分类：
集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示．
2．集合之间的基本关系
关系
定义
表示
相等
集合A与集合B中的所有元素都__相同__
A__＝__B
子集
A中的任意一个元素都是__B中的元素__
A__⊆__B
真子集
A是B的子集，且B中至少有一个元素__不属于A__
A____B
注意：
（1）空集用__∅__表示．
（2）若集合A中含有n个元素，则其子集个数为__2n__，真子集个数为__2n－1__，非空真子集的个数为__2n－2__.
（3）空集是任何集合的子集，是任何__非空集合__的真子集．
（4）若A⊆B，B⊆C，则A__⊆__C．
3．集合的基本运算
符号
语言
交集A∩B
并集A∪B
补集∁UA
图形
语言
意义
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.
2．A∪A＝A，A∪∅＝A．
3．A∩（∁UA）＝∅，A∪（∁UA）＝U，∁U（∁UA）＝A．
4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩（∁UB）＝∅.
1．已知集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，则下列表述正确的是（ D ）
A．0∉A B．1⊆A
C．
⊆A D．3∈A
[解析] 集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，所以0∈A,1∈A，
∉A,3∈A．
2．若A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，B＝{x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是（ B ）
A．A＝B B．AB
C．AB D．A⊆B
[解析] 因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}＝{x|x＝2（2k）－1，k∈Z}，集合B表示2与整数的积减1的集合，集合A表示2与偶数的积减1的集合，所以AB，故选B．
3．设集合M＝{2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，则M∩N的子集的个数为（ B ）
A．2 B．4
C．7 D．128
[解析] ∵M＝{2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，∴M∩N＝{2,6}，即M∩N中元素的个数为2，子集22＝4个，故选B．
4．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝（ A ）
A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}
C．{x|0[解析] 根据题意，作图可得，
则A∪B＝{x|x≥－1}，故选A．
5．（文）已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则（∁RA）∩B（ A ）
A．{－2，－1} B．{－2}
C．{－2,0,1} D．{0,1}
（理）已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（ B ）
A．[2,3] B．（－2,3]
C．[1,2） D．（－∞，－2]∪[1，＋∞）
[解析] （文）∵A＝{x|x＋1>0}＝{x|x>－1}，∴∁RA＝{x|x≤－1}，∴（∁RA）∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．
（理）∵Q＝{x∈R|x2≥4}＝{x∈R|x≥2或x≤－2}，∴∁RQ＝{x∈R|－2[方法技巧] （文）集合基本运算的方法技巧
（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．
（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
6．2∈{x2＋x,2x}则x＝__－2__；－2∉{x2＋x,2x}，则x≠__0且x≠1，且x≠－1__.
[解析] x2＋x＝2得x＝－2或1（舍去），2x＝2得x＝1（舍去），综上x＝－2；不属于按属于处理，－2＝x2＋x无解．－2＝2x，得x＝－1，又x2＋x与2x不同，∴x≠0,1.
7．（文）（2018·山西吕梁期中）已知集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，x∈R}，则M∩N＝（ D ）
A．[－1,1] B．∅
C．（0,1] D．[0,1]
（理）（2018·江西宜春月考）设全集I＝R，集合A＝{y|y＝log2x，x>2}，B＝{x|y＝
}，则（ A ）
A．A⊆B B．A∪B＝A
C．A∩B＝∅ D．A∩（∁IB）≠∅
[解析] （文）∵集合M＝{x||x|≤1}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，∴M∩N＝{0|0≤x≤1}＝[0,1]．故选D．
（理）由题意，A＝{y|y＝log2x，x>2}＝（1，＋∞），B＝{x|y＝
}＝[1，＋∞），∴A⊆B．故选A．
[方法技巧] 判断集合间关系的三种方法
（1）列举法：
把元素一一列举观察．
（2）集合元素特征法：
首先确定集合中的元素是什么，弄清集合中元素的特征，再利用集合中元素的特征判断关系．
（3）数形结合法：
利用数轴或Venn图．
8．（文）（2018·北京东城区月考）已知集合M＝{x|x≤a}，N＝{x|－2A．（0，＋∞） B．[0，＋∞）
C．（－∞，－2） D．（－∞，－2]
（理）（2018·吉林长春检测）已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|1A．∅ B．{
}
C．{
，
} D．{0，
，
}
[解析] （文）因为M＝{x|x≤a}，N＝{x|－2（理）由A∩B＝A，得A⊆B．∵B＝{x|1.要使A⊆B，则
＝3或
＝4，即a＝
或
.综上所述，a的所有可能取值组成的集合是{0，
，
}．故选D．
考点1 集合的基本概念——自主练透
例1
（1）已知集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，则下列表示不正确的是（ C ）
A．－2∈A B．2019∉A
C．3k2＋1∉A D．－35∈A
（2）（2018·课标Ⅱ，2）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ A ）
A．9 B．8
C．5 D．4
（3）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝ 0或
.
（4）已知a∈R，b∈R，若{a，
，1}＝{a2，a＋b,0}，则a2019＋b2019＝__－1__.
[解析]
（1）当－2＝3k＋1时，k＝－1∈Z，故A正确；当2019＝3k＋1时，k＝672
∉Z，故B正确；当－35＝3k＋1时，k＝－12∈Z，故D正确．故选C．
（2）本题主要考查集合的含义与表示．由题意可知A＝{（－1,0），（0,0），（1,0），（0，－1），（0,1），（－1，－1），（－1,1），（1，－1），（1,1）}，故集合A中共有9个元素，故选A．
（3）若a＝0，则A＝{
}，符合题意；
若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝
.
综上，a的值为0或
.
（4）由已知得
＝0，∴b＝0，∴{a,0,1}＝{a2，a,0}，∴a2＝1，a＝－1或1（舍），∴a2019＋b2019＝－1，故填－1.
名师点拨 ☞
（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；
（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
考点2 集合间的关系——师生共研
例2
（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．B⊆A B．A＝B
C．AB D．BA
（2）（2018·云南第一次检测）设集合A＝{x|－x2－x＋2<0}，B＝{x|2x－5>0}，则集合A与B的关系是（ A ）
A．BA B．BA
C．B∈A D．A∈B
（3）（文）（2018·江西八校联考）集合M＝{x|x＝
＋1，n∈Z}，N＝{y|y＝n＋
，n∈Z}，则两集合M，N的关系为（ D ）
A．M∩N＝∅ B．M＝N
C．MN D．NM
（理）（2018·广西梧州临川期中）设集合M＝{x|x＝
＋
，k∈Z}，N＝{x|x＝
＋
，k∈Z}，则（ B ）
A．M＝N B．MN
C．NM D．M∩N＝∅
（4）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}≠∅，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为__[2,3]__.
[解析]
（1）A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{1,2}，B＝{x|0（2）A＝{x|－x2－x＋2<0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|2x－5>0}＝{x|x>
}．
∴BA，故选A．
（3）（文）解法一：
（列举法）
由题意知：
M＝{…，0，
，1，
，2，…}，N＝{…，－
，
，
，
，…}，显然NM，故选D．
解法二：
（描述法）
M＝{x|x＝
，n∈Z}，
N＝{y|y＝
，n∈Z}．
∵n＋2表示所有整数，而2n＋1表示所有奇数，∴NM，故选D．
（理）解法一：
（列举法），由题意知
M＝{…－
，－
，
，
，
，
，……}
N＝{…－
，0，
，
，
，
，
，…}
显然MN，故选B．
解法二：
（描述法）
M＝{x|x＝
，k∈Z}，N＝{x|x＝
，k∈Z}
∵2k＋1表示所有奇数，而k＋4表示所有整数（k∈Z）
∴MN，故选B．
（4）由A∩B＝B知，B⊆A．
又B≠∅，则
解得2≤m≤3，
则实数m的取值范围为[2,3]．
[引申1]本例（4）中若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}情况又如何？
[解析] 应对B＝∅和B≠∅进行分类．
①若B＝∅，则2m－1②若B≠∅，由例得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3]．
[引申2]本例（4）中是否存在实数m，使A⊆B？
若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析] 由A⊆B得
即
不等式组无解，故不存在实数m，使A⊆B．
[引申3]本例（4）中，若B＝{x|m＋1≤x≤1－2m}，AB，则m的取值范围为__（－∞，－3]__.
[解析] 由题意可知
解得m≤－3.
名师点拨 ☞
判断集合间关系的3种方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．（如第1、2题）
结构法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．（如第3题）
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．（如第4题）
〔变式训练1〕
（1）（2018·辽宁锦州质检
（一））集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系是（ D ）
A．M⊆N B．N⊆M
C．M∩N＝∅ D．MN且NM
（2）（文）（2018·辽宁葫芦岛一中月考）已知集合M＝{x|y＝lg（2－x）}，N＝{y|y＝
＋
}，则（ B ）
A．M⊆N B．N⊆M
C．M＝N D．N∈M
（理）（2018·湖北省部分重点中学联考）已知集合M＝{x|y＝
，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是（ B ）
A．MN B．NM
C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM
（3）已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|mx＋10>0}，若A⊆B，则m的取值范围是__（－2,5）__.
[解析]
（1）因为1∈M,1∉N,6∈N,6∉M，所以MN且NM，故选D．
（2）（文）∵集合M＝{x|y＝lg（2－x）}＝（－∞，2），N＝{y|y＝
＋
}＝{0}，∴N⊆M.故选B．
（理）依题意知，M＝{x|y＝
，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM.故选B．
（3）化简A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，当m>0时，x>－
，因为A⊆B，所以－
<－2，解得m<5，所以0，因为A⊆B，所以－
>5，解得m>－2，所以－2考点3 集合的基本运算——多维探究
角度1 集合的运算
例3
（1）（2018·课标全国Ⅰ，1）已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝（ A ）
A．{0,2} B．{1,2}
C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
（2）（2018·天津，1）设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则（A∪B）∩C＝（ C ）
A．{－1,1} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{2,3,4}
（3）（2018·天津，1）设全集为R，集合A＝{x|0A．{x|0C．{x|1≤x<2} D．{x|0[解析]
（1）本题主要考查集合的基本运算．
∵A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，∴A∩B＝{0,2}，故选A．
（2）本题主要考查集合的运算．
由题意得A∪B＝{1,2,3,4，－1,0}，∴（A∪B）∩C＝{1,2,3,4，－1,0}∩{x∈R|－1≤x<2}＝{－1,0,1}．故选C．
（3）本题主要考查集合的基本运算．
由B＝{x|x≥1}，得∁RB＝{x|x<1}，借助于数轴，可得A∩（∁RB）＝{x|0角度2 利用集合的运算求参数
例4
（1）（2018·河北邢台联考）已知全集U＝{x∈Z|0A．（6,7] B．[6,7）
C．[6,7] D．（6,7）
（2）（2018·江西鹰潭一中模拟）已知集合A＝{x|1<2x≤16}，B＝{x|xA．（4，＋∞） B．[4，＋∞）
C．[0，＋∞） D．（0，＋∞）
[解析]
（1）若∁UA中的元素的个数为4，则∁UA＝{1,2,7,8}，∴6（2）由题意知A＝{x|0名师点拨 ☞
集合的基本运算的关注点
1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．
〔变式训练2〕
（1）（角度1）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）<0，x∈Z}，则A∪B＝（ C ）
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
（2）（角度1）（2018·课标Ⅰ，2）已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝（ B ）
A．{x|－1C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
（3）（角度2）集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|yA．a≤－1 B．a<－1
C．a≥－1 D．a>－1
（4）（角度1）（文）（2018·山西太原阶段性测评）设集合A＝{－1,0,1,2，}，B＝{x|y＝
}，则图中阴影部分所表示的集合为（ B ）
A．{1} B．{0}
C．{－1,0} D．{－1,0,1}
（角度1）（理）（2018·四川资阳模拟）设全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x－1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（ D ）
A．{x|x≤－1或x≥3}
B．{x|x<1或x≥3}
C．{x|x≤1}
D．{x|x≤－1}
[分析]
（1）求解一元二次不等式得集合B，然后根据并集的定义求得A∪B的结果．
（2）本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法．
[解析]
（1）由（x＋1）（x－2）<0⇒－1（2）化简A＝{x|x<－1或x>2}，∴∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B．
（3）∵M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y－1即可．故选D．
（4）（文）由题意得图中阴影部分表示的集合为A∩（∁RB）．∵B＝{x|y＝
}＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴∁RB＝{x|－1（理）由题意可知A＝{x|－1[易错警示]
（1）对于集合B，容易忽略x∈Z的条件而导致错误，注意养成严谨、细心的审题习惯．
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