几何画板的尺规作图与非尺规作图.docx

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几何画板的尺规作图与非尺规作图

第四讲授课提纲

主题：

几何画板的尺规作图与非尺规作图

第一部分：

几何画板的尺规作图

一、基础知识

尺规作图即仅利用一把无刻度的直尺和一只圆规进行的作图。

因而所作出的图形不外乎点、线（线段、射线与直线）和圆（圆周、圆弧）。

许多几何图形无法仅用尺规完成作图，比如：

三角函数曲线、二次曲线以及三等分一个任意角等问题。

这里主要介绍几何画板的尺规作图，利用工具框中的作图工具和作图菜单中的命令进行尺规作图。

它是几何画板的最基本的应用。

1．工具框中的作图工具

工具框中的作图工具在前面已作过介绍，这里再作些补充。

图4.1

图4.1是选择/移动工具的全景图。

在绘图窗口中，用鼠标按住该工具并向右拖动，即可看到此图案。

左起第二格为“选择/平移”工具（默认状态），第三格为“选择/旋转”工具，第四格为“选择/缩放”工具。

改变工具的方法是：

用鼠标按住该工具并向右拖动，将鼠标停在某一格上即为选中该工具。

图4.1下图是直尺工具的全景图。

在绘图窗口中，用鼠标按住该工具并向右拖动，即可看到此图案。

左起第二格为线段工具（默认状态），第三格为射线工具，第四格为直线工具。

改变工具的方法是：

用鼠标按住该工具并向右拖动，将鼠标停在某一格上即为选中该工具。

2．作图菜单中的命令

为叙述方便，我们再次列出可作的图形的类型及其前提条件，如表4.1所示。

表4.1

作图的类型

作图的前提条件

对象上的点

一个和一个以上的对象

交点

两条路径

中点

一条或多条线段

线段（射线、直线）

两个或更多个点

垂线

一直线型对象和一个或更多个点

平行线

一个点和一个或更多个直线型对象

角平分线

三个点，其中第二点为角的顶点

以圆心和圆周上一点划圆

两个点，其中第一点为圆心

以圆心和半径划圆

一个点和一条线段

圆上的弧

圆周及两个点（逆时针方向）或圆心、圆上的两个点（逆时针方向）

过三点的弧

三个点

（圆、扇形、弓形、多边形的）内部

一个圆、一段弧或多边形顶点（需顺次选择）

轨迹

一个对象和路径上的一个点

几点说明：

1．作图的前提条件是指要作出某个图形对象，必须由哪些对象作为前提。

这里涉及到几何画板的一个重要概念——对象的层次性。

几何画板中的点、线、圆对象不是始终处于同一个层次的。

对某一个对象而言，那些派生它的对象被称为该对象的父母对象，而由该对象进一步派生出的对象则被称为该对象的子女对象。

在一个绘图窗口中，可以“三代同堂”、“四代同堂”，甚至“几十代同堂”。

举两个简单的例子，在图4.2中：

（1）对线段AB而言，其父母对象为点A、B，而其子女对象为线段的中点C，此图为“三代同堂”；

（2）对圆的半径DF而言，其父母对象为点D、F，而其子女对象为过F与线段DF相垂直的（切）线；对圆DE而言，其父母对象为点D、E，而其子女对象为点F。

此图为“四代同堂”。

图4.2

2．作图的前提对象必须适当，不能弄错前提。

比如：

作一个角的平分线必须选择构成该角的三个点，而不是构成该角的两条边；作一个三角形的内部必须选择构成该三角形的三个点，而不是构成该三角形的三条边。

3．作图的前提对象不能多，也不能少。

比如：

作线段AB的垂直平分线，必须而且只须选中线段中点C和线段AB本身。

4．由于作已知线段的中点、过已知点作已知直线的垂线、过已知点作已知直线的平行线、作已知角的平分线、作过不在同一条直线上三个点的弧都可以仅利用尺规完成作图，因此本章在讲述几何画板的尺规作图时，将利用这些命令所作的图，均称为尺规作图，而不再回复到仅利用尺规的最原始的作法。

二、实例

例1：

作同底等高的两个三角形，且使它们的另一个顶点在底边的同一侧。

并验证它们的面积相等。

[简要步骤]：

（1）将直尺工具改为“直线”，用Shift配合（用Shift配合可画出一些特殊角度的线：

0、15、30、45、…、90、…、165等），在绘图窗口中画一条水平的直线AB；

（2）在直线AB外任取一点C，选中点C和直线AB，过点C作直线AB的平行线，用点工具分别在直线AB及平行线上任取两点D、E和F、G；

（3）选中点F和直线AB，过点F作直线AB的垂线，交直线AB于点I；

（4）选中点G和直线AB，过点G作直线AB的垂线，交直线AB于点J；

（5）隐藏上述两条垂线、直线AB以及点A、B、C；

（6）将直尺工具改为“线段”，分别连接FI、ID、IE、GJ、JD、JE，得到6条线段，可利用显示菜单中“线型”，将这6条线段改为虚线；

（7）选中点F、D、E，利用作图菜单中“多边形内部”，构造△FDE的内部，利用显示菜单中“颜色”，将△FDE的内部改为红色；

（8）同样，选中点G、D、E，利用作图菜单中“多边形内部”，构造△GDE的内部，利用显示菜单中“颜色”，将△GDE的内部改为绿色，如图4.3。

图4.3

△FDE与△GDE就是同底等高的三角形。

下面验证△FDE与△GDE的面积相等。

（9）分别选择△FDE、△GDE的内部，利用度量菜单中“面积”，得到不同颜色和形状的两个三角形的面积。

随意拖动两个三角形的任意一个顶点，观察它们的面积的变化，从而可以验证：

同底等高的三角形的面积相等。

例2：

将已知线段三等分；

[简要步骤]：

（1）打开一个新的绘图窗口，用线段工具作一条水平线段AB；

（2）选择左端点A，作一条射线AC；在射线AC上任取一点J，以J为圆心，A为圆周上的点作圆，交AC于K；

（3）以K为圆心，J为圆周上的点作圆，交AC于L；

（4）连接LB，分别过点K、J作线段LB的平行线，交线段AB于M、N，如图4.4所示。

隐藏一些不需要的线、圆，M、N为已知线段AB的三等分点。

图4.4

本题还可以使用非尺规作图的方法，用缩放得到已知线段AB的三等分点。

（1）打开一个新的绘图窗口，用线段工具作一条水平线段AB；

（2）双击左端点A，将点A标识为缩放中心。

选择右端点B，在变换菜单中选择缩放命令，弹出对话框，在框条中输入“1”和“3”，按确定，得点M；

（3）选择点B，在变换菜单中选择缩放命令，在框条中输入“2”和“3”，按确定，得点N，则M、N为已知线段AB的三等分点。

例3：

已知线段MN为定长，且端点M、N分别为x轴、y轴上的自由点。

在此基础上作出MN中点的轨迹。

[简要步骤]：

（1）作线段AB，建立坐标系，以原点C为圆心，以线段AB为半径，作圆C；

（2）在圆C上任取一点E，选择点E，作动画按钮；

（3）过点E分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N；

（4）连接MN，如图4.5。

单击动画按钮，可以看到点M、N分别在整个x轴、y轴上运动，且线段MN的长始终不变。

图4.5

（5）作线段MN的中点P，选中点P和点E，利用作图菜单中“轨迹”，得点P的轨迹。

例4：

已知两圆内切，求作一圆，使它与大圆内切、与小圆外切，并作出该圆的圆心轨迹。

[简要步骤]：

（1）作射线AB，在射线AB上取一点C，以点A为圆心，点C为圆周上一点作圆AC；

（2）在线段AC上任选一点D，以点D为圆心，点C为圆周上一点作圆DC；

（3）以点C为圆心，点D为圆周上一点作圆与射线AB相交于点E；

（4）以点A为圆心，点E为圆周上一点作圆AE；

（5）在圆AE上任取一点F，连接FA、FD，线段FA与圆AC相交于点G；

（6）作FD的中点H，过点H作线段FD的垂线，交线段FA于点I；

（7）以点I为圆心，点G为圆周上一点作圆IG，如图4.6。

隐藏不需要的点、线、圆，圆HF就是所求作的圆。

（8）选择点I和点F，利用作图菜单中“轨迹”，得点I的轨迹。

图4.6

选择点F，作动画按钮，跟踪圆IG，你发现了什么？

第二部分：

几何画板的非尺规作图

一、基础知识

非尺规作图，是指不能用尺规作图直接完成的作图。

本章主要介绍几何画板的非尺规作图功能，它是几何画板的极富魅力的内容。

非尺规作图除了用到工具框中的作图工具和作图菜单中的命令以外，更多地用到了变换菜单、度量菜单、数据菜单、绘图菜单、显示菜单以及编辑菜单中的各种按钮。

变换菜单中的命令可以按指定值、计算值和动态值进行变换（平移、旋转、缩放、反射和迭代）。

利用度量、绘图和作图菜单将把你带入解析几何的王国，你能探索各种几何轨迹问题，也可在直角坐标系或极坐标系中作出许多不能用尺规直接作出的函数图像。

二、实例

例1：

将已知角三等分。

[简要步骤]：

（1）任意作A、B、C三点，由点B与点A确定射线BA，由点B与点C确定射线BC，则点B为∠ABC的顶点；

（2）依次选择点A、B、C，利用度量菜单，度量∠ABC的值；

（3）利用度量菜单，计算得到∠ABC的值的

，选中计算值，将它标识为“标识角度”；

（4）双击点B，将点B标识为旋转中心，选中点A与射线BA，利用变换菜单中“旋转”，将点A与射线BA绕点B按标识角度测算旋转，得到射线BA；

（5）同样，将点A与射线BA绕点B按标识角度测算旋转，得到射线BA。

则射线BA、射线BA三等分∠ABC，如图5.1。

图5.1

例1中的角的范围为0~180，如果要三等分0~360的角，可以按如下方法进行：

（1）任意作A、B、C三点，由点B与点A确定射线BA，由点B与点C确定射线BC；以点B为圆心，点A为圆上一点作圆，交射线BC于点D；

（2）依次选中点B、A、D，作圆上的弧AD，并利用度量菜单，度量弧AD的弧度值（与角度单位无关，角度单位可以是角度单位，也可以是弧度单位）；

（3）利用度量菜单，计算得到弧AD的弧度值的

，选中计算值，将它标识为“标识角度”；

以下同例1的（4）、（5）。

例2：

作函数

的图像；

[简要步骤]：

（1）显示坐标轴AB，利用绘图菜单中“绘制点”命令，在对话框中分别输入6.28（

）和0，并确认，得点C（

，0），（也可以利用计算器算得数值

和0，依次选中

和0，利用绘图菜单中“绘制点”，得点C（

，0）；）连接原点A与C，得线段AC；

（2）在线段AC上任取一点D（注意在线段AC呈高亮时取点D，这里的点D的横坐标xD满足

，这一点十分关键），再显示坐标轴AB；

（3）利用度量菜单，度量点D的横坐标。

（4）将角度单位设置成“弧度”状态，利用计算器计算出sin（xD）（注意观察图5.2的计算器示例，留意其中的若干函数，了解其作用是十分有益的）；

图5.2

（5）依次选取横坐标xD、sin（xD）（注意：

切不可颠倒次序），利用绘图菜单中“绘制点”，得轨迹点E；

（6）选取主动点D和轨迹点E，利用作图菜单中“轨迹”命令，即得y=sinx，

的图像。

例3：

作函数

的图像，要求其中a、h、k的大小及其符号能随时改变。

[简要步骤]

（1）显示坐标轴，在坐标轴x的负半轴上任取两点C、D，过此两点分别作x轴的垂线；

（2）类似地，在坐标轴y的负半轴上任取一点E，过此点作y轴的垂线；

（3）分别在三条垂线上各取一点F、G、H，并与坐标轴上的点连接成三条线段FC、GD、HE，显示线段的标签，并分别将标签改为a、h、k，隐藏三条垂线；

（4）在x轴上任取一点M，度量点H、M的横坐标和F、G的纵坐标yF、yG，将度量值的标签相应地修改为h、x、a、k；

（5）选中度量a、k、h、x，利用计算器计算出a（x-h）2+k；

（6）依次选中度量x和a（x-h）2+k，利用绘图菜单中的“绘制（x，y）”，绘制点P（x，a（x-h）2+k）；

（7）选中点P、M，利用作图菜单中“轨迹”，即得图5.3所示的抛物线；

（8）过点G作辅助虚线平行于x轴，过点H作辅助虚线平行于y轴；

（9）隐藏不必要的度量和点线，即得图5.3。

图5.3

拖动点F（上下拖动，以改变a的值），可见抛物线的开口变化；

拖动点G（上下拖动，以改变k的值），可见抛物线的顶点在垂直方向上的变化；

拖动点H（左右拖动，以改变h的值），可见抛物线的顶点在水平方向上的变化。

例4：

作神奇的参数方程

（

，a、b、c、d为非负整数）的图像。

形如

（

，a、b、c、d为非负整数）的参数方程具有许多特别的性质，当a、b、c、d取不同的非负整数组合时，方程所代表的图像各式各样，让人倍感参数方程的神奇魅力。

比如：

（1）当

时，对应的图像是一条线段；

（2）当

时或

时，对应的图像是一个圆；

（3）当

时，对应图像是一条抛物线；

（4）当a、b、c、d中仅有一个为0，其它三个相等时，对应的图像是一个椭圆；

（5）当

时，对应的图像好象是一朵紫荆花；

（6）当

时，方程对应的图像好象是一架直升飞机；

图5.4

如图5.4,……

这样的例子我们还可以举出许多。

为了进一步探索，我们先作出该参数方程的图像。

[简要步骤]

（1）将角度单位设置成“弧度”状态，先作一个圆AB，在圆上任意取一点C，依次选中B、圆AB、C，构造弧AC，度量弧AC的弧度角，将度量的标签改为t，从而构造了一个任意角t，

；

（2）打开“数据”菜单的“新建参数”命令，新建四个参数

（4）利用参数值a、b、c、d和t进行计算，算得

；

（5）依次选中度量值

，在平面上绘制点U（x，y）；

（6）选择点U和点C，利用作图菜单中“轨迹”，得参数方程的图像，如图5.5。

为了观察图像的周期性，可将点U设为轨迹跟踪点，且选择点C，构造动画按钮。

图5.5

改变参数a、b、c、d的值，根据以下不同的非负整数值观察图像的变化，看看与括号里的“名称”是否吻合（必要时可改变单位长度）：

[1]a=b=c=1，d=5[2]a=5，b=d=2，c=3[3]a=7，b=8，c=3，d=2

（水波）；（海豚）；（龙卷风）；

[4]a=6，b=3，c=4，d=1[5]a=6，b=8，c=5，d=1[6]a=5，b=7，c=2，d=6

（蝴蝶结）；（大嘴钳）；（七品官）；

分别拖动点a、b、c、d，根据以下不同的非负整数值观察图像的变化，能否给图像以适当的名称？

[1]a=4，b=3，c=5，d=2（）；[2]a=5，b=2，c=2，d=3（）；

[3]a=12，b=0，c=11，d=0（）；[4]a=d=6，b=c=9（）。

讨论上述图像的周期性、对称性、封闭性。

这里还可以通过数据菜单的“新建函数”命令，构造出参数方程的两个解析式，然后利用绘图菜单的“绘制参数曲线”命令，直接画出参数方程的曲线。

例5：

作极坐标方程r=6cos（a

）的图像。

[简要步骤]

（1）新建参数a；

（2）打开“绘图”菜单，选择“绘制新函数”命令，在“方程”下拉菜单中选“

”；

（3）绘制图像r=6cos（a

）；

（4）打开“显示”菜单中的“显示运动控制台”，做参数a的动画。

按动画按钮，便可看到漂亮的极坐标方程r=6cos（a

）的图像。

图5.6

例6:

利用“绘图”菜单中的“绘制新函数”画函数y＝ax2当a=1,a=2,a=3,…,a=30时的图像。

[简要步骤]

（1）打开“绘图”菜单中的“绘制新函数”命令，单击“数值”选项，单击“新建参数”，把“名称”中的t[1]改为a,单击“确定”，屏幕上出现a＝1.00，同时函数式编辑栏出现a；

（2）再接着单击*、x、^、2，在预览框中出现f（x）＝ax2，单击“确定”立即得到函数f（x）＝ax2在a＝1时的图像；

（3）选择参数a，单击右键，选择“属性”，“范围”选择“0”到“30”，键盘调节选择“1”个单位，这样不断按键盘上的“＋”号（或者“－”号），显示函数y＝x2、y＝2x2，y＝30x2…的图像；。

（4）选中f（x）＝ax2的函数图像，然后选择“显示”菜单的“追踪”，再改变参数a的大小，如图5.7，可以观察到在a变化时函数图像分布的情况。

图5.7

例7绘制带参数的正弦函数图像。

[简要步骤]

（1）单击“绘图”菜单中的“定义坐标系”命令。

在x轴上绘制出2个点C、D；

（2）过C、D两点做x轴的垂线。

在两条垂线上任取两点E、F。

隐藏两条垂线，绘制线段EC、FD；

（3）选中点E、F，然后单击“度量”菜单的“纵坐标”，度量点E、F的纵坐标；

（4）右键单击度量值“yE=2.28”，选择“属性”菜单项，弹出对话框，在标签选项卡中标签框中输入“A”，单击“确定”按钮；

（5）右键单击度量值“yF=1.90”，选择“属性”菜单项，弹出对话框，鼠标单击标签选项卡的空白栏，单击鼠标右键，选择“打开软键盘”，输入“ω”（这时只能用键盘，不能用鼠标），关闭软键盘，单击确定；

（6）以点A为圆心，B为圆上的点绘制出单位圆。

单击工具箱上的“点”工具，移动光标至圆上，当圆呈现高亮度时，单击鼠标左键，在圆上绘制一点G；

（7）度量角GAB，然后依次单击“编辑”菜单的“参数选项”菜单命令，在“单位”选项卡的下拉列表中选择“弧度”单位。

右键单击操作区中显示的度量值“m∠GAB=-0.40π弧度”，单击“属性”菜单项，弹出“属性”对话框，在标签选项卡中的标签栏中输入“φ”，单击“确定”按钮；

（8）选中操作区中显示的3个度量值，依次单击“绘图”菜单的“绘制新函数”命令，在对话框中输入如图5.8的函数解析式。

单击“确定”，在操作区得到正弦函数的图像。

如图5.9。

图5.8

图5.9