中考数学平行四边形专题复习导学案.docx

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中考数学平行四边形专题复习导学案

2017年中考数学平行四边形专题复习导学案

2017年中考数学专题练习22《平行四边形》

【知识归纳】

一、多边形

．多边形的性质：

n边形的内角和为

；任意多边形的外角和为

；对角线条数为

。

2．正多边形的定义及性质：

定义：

各个角

，各条边

的多边形叫做正多边形；

性质：

每一个内角的度数为

；

正多边形是轴对称图形，边数为偶数的正多边形也是

图形

3．平面图形的密铺：

密铺的条件：

围绕一个点拼在一起的所有角度之和为

常见的密铺图形：

等边三角形，正方形，正六边形

平行四边形

、平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫做

。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的

互补，

相等。

（2）平行四边形的对边

。

推论：

夹在两条平行线间的平行线段

。

（3）平行四边形的对角线互相

。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是

形

（2）定理1：

两组对角分别

的四边形是平行四边形

（3）定理2：

两组对边分别

的四边形是平行四边形

（4）定理3：

对角线互相

的四边形是平行四边形

（5）定理4：

一组对边

且

的四边形是平行四边形

4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的

。

5平行线间的距离处处

。

【基础检测】

．（2016•益阳）下列判断错误的是（　　）

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B．四个内角都相等的四边形是矩形

．四条边都相等的四边形是菱形

D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

2．（2016•内江）下列命题中，真命题是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

．对角线互相平分的四边形是平行四边形

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

3．（2016•广安）下列说法：

①三角形的三条高一定都在三角形内

②有一个角是直角的四边形是矩形

③有一组邻边相等的平行四边形是菱形

④两边及一角对应相等的两个三角形全等

⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

其中正确的个数有（　　）

A．1个B．2个．3个D．4个

4（2016•黑龙江龙东•3分）如图，在平行四边形ABD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，E，DB请你添加一个条件　　，使四边形DBE是矩形．

5（2016•四川泸州）如图，▱ABD的对角线A、BD相交于点，且A+BD=16，D=6，则△AB的周长是（　　）

A．10

B．14

．20

D．22

6（2016河南）如图，在▱ABD中，BE⊥AB交对角线A于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为　

．

7（2016•黑龙江齐齐哈尔•3分）如图，平行四边形ABD的对角线A，BD相交于点，请你添加一个适当的条件　

使其成为菱形（只填一个即可）．

8（2016•贵州安顺•10分）如图，在▱ABD中，B=2AB=4，点E、F分别是B、AD的中点．

（1）求证：

△ABE≌△DF；

（2）当四边形AEF为菱形时，求出该菱形的面积．

【达标检测】

一．选择题

若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（　　）

A．

3

B．

4

．

5

D．16

2，9，4分）如图，在平行四边形ABD中，点E在AD上，连接E并延长与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，D＝3，则AF的长为（

）

A．5

B．6

．7

D．8

5．（2013•泰安，19，3分）如图，在平行四边形ABD中，AB＝4，∠BAD的平分线与B的延长线交于点E，与D交于点F，且点F为边D的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为（　　）

A．2

B．4

．4

D．8

二．填空题

6（2016•青海西宁）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　　．

7．（2016河南）如图，在▱ABD中，BE⊥AB交对角线A于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为　　．

8（2016•山东省东营）如图，在Rt△AB中，∠B＝90°，AB＝4，B＞AB，点D在B上，以A为对角线的所有平行四边形ADE中，DE的最小值是_____________．

9如图，先将一平行四边形纸片ABD沿AE，EF折叠，使点E，B′，′在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG=　　度．

0如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的__________&rd;

三．解答题

1（2013•鞍山）如图，E，F是四边形ABD的对角线A上两点，AF＝E，DF＝BE，DF∥BE．

求证：

（1）△AFD≌△EB；

（2）四边形ABD是平行四边形．

2如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的三个顶点均落在格点上．

（1）以三角形的其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，，D；

（2）证明四边形ABD是平行四边形．

3如图，在ABD中，点E在边B上，点F在B的延长线上，且BE=F。

求证：

∠BAE=∠DF

14（2016•吉林）

（1）如图1，在Rt△AB中，∠AB=90°，以点B为中心，把△AB逆时针旋转90°，得到△A1B1；再以点为中心，把△AB顺时针旋转90°，得到△A2B1，连接1B1，则1B1与B的位置关系为　　；

（2）如图2，当△AB是锐角三角形，∠AB=α（α≠60°）时，将△AB按照

（1）中的方式旋转α，连接1B1，探究1B1与B的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

（3）如图3，在图2的基础上，连接B1B，若1B1=B，△1BB1的面积为4，则△B1B的面积为　　．

【知识归纳答案】

一、多边形

．多边形的性质：

n边形的内角和为（n-2）•180°；任意多边形的外角和为360°；对角线条数为

2．正多边形的定义及性质：

定义：

各个角

相等

，各条边

相等

的多边形叫做正多边形；

性质：

每一个内角的度数为；

正多边形是轴对称图形，边数为偶数的正多边形也是轴对称图形

3．平面图形的密铺：

密铺的条件：

围绕一个点拼在一起的所有角度之和为360°

常见的密铺图形：

等边三角形，正方形，正六边形

平行四边形

、平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：

夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

【基础检测答案】

．（2016•益阳）下列判断错误的是（　　）

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B．四个内角都相等的四边形是矩形

．四条边都相等的四边形是菱形

D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：

A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；

B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；

、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；

D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．

故选D．

【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．

2．（2016•内江）下列命题中，真命题是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

．对角线互相平分的四边形是平行四边形

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

【分析】A、根据矩形的定义作出判断；

B、根据菱形的性质作出判断；

、根据平行四边形的判定定理作出判断；

D、根据正方形的判定定理作出判断．

【解答】解：

A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；

、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；

D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；

故选．

【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．

3．（2016•广安）下列说法：

①三角形的三条高一定都在三角形内

②有一个角是直角的四边形是矩形

③有一组邻边相等的平行四边形是菱形

④两边及一角对应相等的两个三角形全等

⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

其中正确的个数有（　　）

A．1个B．2个．3个D．4个

【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题．

【解答】解：

①错误，理由：

钝角三角形有两条高在三角形外．

②错误，理由：

有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形．

③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

④错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等．

⑤错误，理由：

一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形．

正确的只有③，

故选A．

【点评】本题考查三角形高，菱形、矩形、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

4（2016•黑龙江龙东）如图，在平行四边形ABD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，E，DB请你添加一个条件　EB=D　，使四边形DBE是矩形．

【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．

【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．

【解答】解：

添加EB=D．理由如下：

∵四边形ABD是平行四边形，

∴AD∥B，且AD=B，

∴DE∥B，

又∵DE=AD，

∴DE=B，

∴四边形DBE为平行四边形．

又∵EB=D，

∴四边形DBE是矩形．

故答案是：

EB=D．

5（2016•四川泸州）如图，▱ABD的对角线A、BD相交于点，且A+BD=16，D=6，则△AB的周长是（　　）

A．10B．14．20D．22

【考点】平行四边形的性质．

【分析】直接利用平行四边形的性质得出A=，B=D，D=AB=6，再利用已知求出A+B的长，进而得出答案

【解答】解：

∵四边形ABD是平行四边形，

∴A=，B=D，D=AB=6，

∵A+BD=16，

∴A+B=8，

∴△AB的周长是：

14．

故选：

B．

6（2016河南）如图，在▱ABD中，BE⊥AB交对角线A于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为　110°　．

【考点】平行四边形的性质．

【分析】首先由在▱ABD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．

【解答】解：

∵四边形ABD是平行四边形，

∴AB∥D，

∴∠BAE=∠1=20°，

∵BE⊥AB，

∴∠ABE=90°，

∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．

故答案为：

110°．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对边互相平行．

7（2016•黑龙江齐齐哈尔•3分）如图，平行四边形ABD的对角线A，BD相交于点，请你添加一个适当的条件　A⊥B或∠AB=90°或AB=B　使其成为菱形（只填一个即可）．

【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．

【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．

【解答】解：

如图，平行四边形ABD的对角线A，BD相交于点，添加一个适当的条件为：

A⊥B或∠AB=90°或AB=B使其成为菱形．

故答案为：

A⊥B或∠AB=90°或AB=B

8（2016•贵州安顺）如图，在▱ABD中，B=2AB=4，点E、F分别是B、AD的中点．

（1）求证：

△ABE≌△DF；

（2）当四边形AEF为菱形时，求出该菱形的面积．

【分析】第

（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．

第

（2）要求菱形的面积，在第

（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．

【解答】

（1）证明：

∵在▱ABD中，AB=D，

∴B=AD，∠AB=∠DA．

又∵BE=E=B，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△DF．

（2）解：

∵四边形AEF为菱形时，∴AE=E．

又∵点E是边B的中点，

∴BE=E，即BE=AE．

又B=2AB=4，∴AB=B=BE，

∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，（6分）

▱ABD的B边上的高为2×sin60°=，（7分）

∴菱形AEF的面积为2．（8分）

【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．

（1）用SAS证全等；

（2）若四边形AEF为菱形，则AE=E=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．

【达标检测答案】

一．选择题

若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（　　）

A．

3

B．

4

．

5

D．16

【答案】

【解析】∵一个正多边形的每个内角都为156°，

∴这个正多边形的每个外角都为：

180°-156°=24°，

∴这个多边形的边数为：

360°÷24°=15，

故选．

2，9，4分）如图，在平行四边形ABD中，点E在AD上，连接E并延长与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，D＝3，则AF的长为（

）

A．5

B．6

．7

D．8

【答案】B．

【解析】由平行四边形ABD，得AF∥D，所以∠F＝∠ED，∠FAE＝∠D，则有△AFE∽△DE，从而得到＝＝2，即＝2，解得AF＝6．故答案选B．

【方法指导】本题考查平行四边形的性质，相似三角形．本题图形中蕴涵两个相似三角形基本图：

1“X”型，即△AFE∽△DE．2“A”型，即△FAE∽△FB．

5．（2013•泰安，19，3分）如图，在平行四边形ABD中，AB＝4，∠BAD的平分线与B的延长线交于点E，与D交于点F，且点F为边D的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为（　　）

A．2

B．4

．4

D．8

【解析】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

：

由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD＝DF，由F为D中点，AB＝D，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形EF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．

【解答】解：

∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，

∵D∥AB，∴∠BAE＝∠DFA，∴∠DAE＝∠DFA，∴AD＝FD，

又F为D的中点，∴DF＝F，∴AD＝DF＝D＝AB＝2，

在Rt△ADG中，根据勾股定理得：

AG＝，则AF＝2AG＝2，

在△ADF和△EF中，

，

∴△ADF≌△EF（AAS），∴AF＝EF，则AE＝2AF＝4．

【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．　

二．填空题

6（2016•青海西宁•2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　6　．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．

【解答】解：

∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，

则内角和是720度，

720÷180+2=6，

∴这个多边形是六边形．

故答案为：

6．

7．（2016河南）如图，在▱ABD中，BE⊥AB交对角线A于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为　110°　．

【考点】平行四边形的性质．

【分析】首先由在▱ABD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．

【解答】解：

∵四边形ABD是平行四边形，

∴AB∥D，

∴∠BAE=∠1=20°，

∵BE⊥AB，

∴∠ABE=90°，

∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．

故答案为：

110°．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对边互相平行．

8（2016•山东省东营市•3分）如图，在Rt△AB中，∠B＝90°，AB＝4，B＞AB，点D在B上，以A为对角线的所有平行四边形ADE中，DE的最小值是_____________．

【知识点】直线射线和线段——垂线段最短、图形的相似——平行线分线段成比例定理、平行四边形——平行四边形的性质、

【答案】4

【解析】根据“垂线段最短”，可知：

当D⊥B时，D最短，DE的值最小

当D⊥B时，D∥AB∴DBD＝A＝1∴D是△AB的中位线∴D＝12AB＝2∴DE的最小值＝2D＝4

【点拨】将求DE的最小值转化为求D的最小值，D的最小值就是点D到B的距离，由此可解

9如图，先将一平行四边形纸片ABD沿AE，EF折叠，使点E，B′，′在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG=　　度．

【答案】45

【解析】根据沿直线折叠的特点，△ABE≌△AB′E，△EF≌△′EF，

∴∠AEB=∠AEB′，∠EF=∠′EF，

∵∠AEB+∠AEB′+∠EF+∠′EF=180°，

∴∠AEB′+∠′EF=90°，

∵点E，B′，′在同一直线上，

∴∠AEF=90°，

∵将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，

∴∠AEG=∠GEA′=∠AEF=45°

0如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的__________&rd;

【答案】67

【解析】∵正八边形的每个内角为，且该图案由8个全等的等腰梯形拼成，

∴

三．解答题

1（2013•鞍山，22，6分）如图，E，F是四边形ABD的对角线A上两点，AF＝E，DF＝BE，DF∥BE．

求证：

（1）△AFD≌△EB；

（2）四边形ABD是平行四边形．

【解析】平行四边形的判定；全等三角形的判定．

（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△EB．

（2）由△AFD≌△EB，容易证明AD＝B且AD∥B，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

解答：

证明：

（1）∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF．

又∵AF＝E，DF＝BE，∴△AFD≌△EB（SAS）．

（2）由

（1）知△AFD≌△EB，∴∠DA＝∠BA，AD＝B，

∴AD∥B．∴四边形ABD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

点评：

此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

2如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的三个顶点均落在格点上．

（1）以三角形的其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，，D；

（2）证明四边形ABD是平行四边形．

【答案】

（1）答案见解析；

（2）证明见解析．

【解析】

（1）如图，四边形ABD为平行四边形；

（2）∵AB=D，AB∥D，∴四边形ABD为平行四边形．

3如图，在ABD中，点E在边B上，点F在B的延长线上，且BE=F。

求证：

∠BAE=∠DF

【答案】证明见解析

【解析】∵四边形ABD是平行四边形，

∴AB=D，AB∥D，

∴∠B=∠DF，

在△ABE和△DF中，

，

∴△ABE≌△DF（SAS），

∴∠BAE=∠DF．

4（2016•吉林）

（1）如图1，在Rt△AB中，∠AB=90°，以点B为中心，把△AB逆时针旋转90°，得到△A1B1；再以点为中心，把△AB顺时针旋转90°，得到△A2B1，连接1B1，则1B1与B的位置关系为　平行　；

（2）如图2，当△AB是锐角三角形，∠AB=α（α≠60°）时，将△AB按照

（1）中的方式旋转α，连接1B1，探究1B1与B的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

（3）如图3，在图2的基础上，连接B1B，若1B1=B，△1BB1的面积为4，则△B1B的面积为　6　．

【考点】几何变换综合题．

【分析】

（1）根据旋转的性质得到∠1B=∠B1B=90°，B1=B=B1，根据平行线的判定得到B1∥B1，推出四边形BB11是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；

（2）过1作1E∥B1于E，于是得到∠1EB=∠B1B，由旋转的性质得到B1=B=B1，∠1B=∠B1B，等量代换得到∠1B=∠1EB，根据等腰三角形的判定得到1B=1E，等量代换得到1E=B1，推出四边形1EB1是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；

（3）设1B1与B之间的距离为h，由已知条件得到=，根据三角形的面积公式得到=，于是得到结论．

【解答】解：

（1）平行，

∵把△AB逆时针旋转90°，得到△A1B1；再以点为中心，把△AB顺时针旋转90°，得到△A2B1，

∴∠1B=∠B1B=90°，B1=B=B1，

∴B1∥B1，

∴四边形BB11是平行四边形，

∴1B1∥B，

故答案为：

平行；

（2）证明：

如图②，过1作1E∥B1，交B于E，则∠1EB=∠B1B，

由旋转的性质知，B1=B=B1，∠1B=∠B1B，

∴∠1B=∠1EB，

∴1B=1E，

∴1E=B1，

∴四边形1EB1是平行四边形，

∴1B1∥B；

（3）由

（2）知1B1∥B，

设1B1与B之间的距离为h，

∵1B1=B，

∴=，

∵S=B11•h，S=