数理逻辑考试题及答案.docx
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数理逻辑考试题及答案
“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案
时间:
2021.03.07
创作:
欧阳德
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一、命题逻辑基本知识(5分)
1、将下列命题符号化(总共4题,完成的题号为学号尾数取4的余,完成1题。
共2分)
(0)小刘既不怕吃苦,又爱钻研。
解:
Øp∧q,其中,P:
小刘怕吃苦;q:
小刘爱钻研。
(1)只有不怕敌人,才能战胜敌人。
解:
q→Øp,其中,P:
怕敌人;q:
战胜敌人。
(2)只要别人有困难,老张就帮助别人,除非困难已经解决了。
解:
Ør→(p→p),其中,P:
别人有困难;q:
老张帮助别人;r:
困难解决了。
(3)小王与小张是亲戚。
解:
p,其中,P:
小王与小张是亲戚。
2、判断下列公式的类型(总共5题,完成的题号为学号尾数取5的余,完成1题。
共1分)
(0)A:
(Ø(p«q)®((pÙØq)Ú(ØpÙq)))Úr
(1)B:
(pÙØ(q®p))Ù(rÙq)
(2)C:
(p«Ør)®(q«r)
(3)E:
p®(pÚqÚr)
(4)F:
Ø(q®r)Ùr
解:
用真值表判断,A为重言式,B为矛盾式,C为可满足式,E为重言式,F为矛盾式。
3、判断推理是否正确(总共2题,完成的题号为学号尾数取2的余,完成1题。
共2分)
(0)设y=2|x|,x为实数。
推理如下:
如y在x=0处可导,则y在x=0处连续。
发现y在x=0处连续,所以,y在x=0处可导。
解:
设y=2|x|,x为实数。
令P:
y在x=0处可导,q:
y在x=0处连续。
由此,p为假,q为真。
本题推理符号化为:
(p®q)Ùq®p。
由p、q的真值,计算推理公式真值为假,由此,本题推理不正确。
(1)若2和3都是素数,则6是奇数。
2是素数,3也是素数。
所以,5或6是奇数。
解:
令p:
2是素数,q:
3是素数,r:
5是奇数,s:
6是奇数。
由此,p=1,q=1,r=1,s=0。
本题推理符号化为:
((pÙq)→s)ÙpÙq)→(rÚs)。
计算推理公式真值为真,由此,本题推理正确。
二、命题逻辑等值演算(5分)
1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式(总共3题,完成的题号为学号尾数取3的余,完成1题。
共2分)
(0)求公式p→((q∧r)∧(p∨(Øq∧Ør)))的主析取范式。
解:
p→((q∧r)∧(p∨(Øq∧Ør)))ÛØp∨(q∧r∧p)∨(q∧r∧Øq∧Ør)
ÛØp∨(q∧r∧p)∨0Û(p∧q∧r)∨Û(Øp∧1∧1)∨(q∧r∧p)
Û(Øp∧(q∨Øq)∧(r∨Ør))∨(q∧r∧p)Û(Øp∧(q∨Øq)∧(r∨Ør))∨m7
Û(Øp∧Øq∧Ør)∨(Øp∧Øq∧r)∨(Øp∧q∧Ør)∨(Øp∧q∧r)∨m7
Ûm0∨m1∨m2∨m3∨m7.
(1)求公式Ø(Ø(p→q))∨(Øq→Øp)的主合取范式。
解:
Ø(Ø(p→q))Ú(Øq→Øp)Û(p→q)Ú(p→q)Û(p→q)
ÛØpÚqÛM2.
(2)求公式(p→(p∨q))∨r的主析取范式。
解:
(p→(pÚq))ÚrÛØpÚ(pÚq)ÚrÛ(ØpÚpÚqÚr)Û1
Ûm0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7.
2、应用分析(总共2题,完成的题号为学号尾数取2的余,完成1题。
共3分)
(0)某村选村委,已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委,三村民甲、乙、丙预言:
甲预言:
赵炼玉为村长,钱谷王为村支书。
乙预言:
孙竹湾为村长,赵炼玉为村支书。
丙预言:
钱谷王为村长,赵炼玉为村妇女主任。
村委分工公布后发现,甲乙丙三人各预测正确一半。
赵炼玉、钱谷王、孙竹湾各担任什么职务?
解:
设P1:
赵炼玉为村长,p2:
钱谷王为村长,p3:
孙竹湾为村长,
q1:
赵炼玉为村支书,q2:
钱谷王为村支书,r1:
赵炼玉为村妇女主任。
判断公式FÛ((p1ÙØq2)Ú(Øp1Ùq2))Ù((p3ÙØq1)Ú(Øp3Ùq1))Ù((p2ÙØr1)Ú(Øp2Ùr1))
ÛØp1Ùq2Ùp3ÙØq1ÙØq2Ùr1Û1Ûq2Ùp3ÙÙr1,
由此,钱谷王为村支书,孙竹湾为村长,赵炼玉为村妇女主任。
说明:
p1、p2、p3有且仅有一个为真,q1、q2有且仅有一个为真。
一个人不能担任两职,一个职务不可由两人同时担任。
(1)某公司派赵、钱、孙、李、周五人出国学习。
选派条件是:
①若赵去,钱也去。
②李、周两人必有一人去。
③钱、孙两人去且仅去一人。
④孙、李两人同去或同不去。
⑤如周去,则赵、钱也同去。
如何选派他们出国?
解:
①设p:
派赵去,q:
派钱去,r:
派孙去,s:
派李去,u:
派周去。
②
(1)(p®q)
(2)(sÚu)(3)((qÙØr)Ú(ØqÙr))
(4)((rÙs)Ú(ØrÙØs))(5)(u®(pÙq))
③
(1)~(5)构成的合取式为:
A=(p®q)Ù(sÚu)Ù((qÙØr)Ú(ØqÙr))Ù((rÙs)Ú(ØrÙØs))Ù(u®(pÙq))
Û(ØpÙØqÙrÙsÙØu)Ú(pÙqÙØrÙØsÙu)
由此可知,A的成真赋值为00110与11001,
因而派孙、李去(赵、钱、周不去),或派赵、钱、周去(孙、李不去)。
三、命题逻辑推理(5分)
在自然推理系统中,构造下列推理过程(总共3题,完成的题号为学号尾数取3的余,完成1题。
共5分)
(0)如果张老师出国,则若李老师出国,王老师出国。
现在的情况是张老师与李老师都要出国。
所以,王老师不出国,则孙老师出国。
解:
形式化:
p:
张老师出国;q:
李老师出国;r:
王老师出国;s:
孙老师出国。
前提:
p®(q®r),pÙq
结论:
Ør®s
证明:
①p®(q®r)【前提引入】
②ØpÚ(ØqÚr)ÛpÙq®r【①置换】
③pÙq【前提引入】
④r【②③假言推理】
⑤rÚs【④附加规则】
⑥ØØr∨s【⑤置换】
⑦Ør®s【⑥置换】证毕。
(1)若张同学与李同学是乐山人,则王同学是雅安人,若王同学是雅安人,则他喜欢吃雅鱼,然而,王同学不喜欢吃雅鱼,张同学是乐山人。
所以,李同学不是乐山人。
解:
形式化:
p:
张同学是乐山人;q:
李同学是乐山人;r:
王同学是雅安人;s:
王同学喜欢吃雅鱼。
前提:
(pÙq)®r,r®s,Øs,p
结论:
Øq
证明:
①(pÙq)®r【前提引入】
②r®s【前提引入】
③(pÙq)®s【①②假言三段论】
④Øs【前提引入】
⑤Ø(pÙq)【③④拒取式】
⑥ØpÚØq【⑤置换】
⑦p【前提引入】
⑧Øq【⑥⑦析取三段论】
证毕。
(2)若n是偶数并且大于5,则m是奇数。
只有n是偶数,m才大于6。
现有n大于5。
所以,若m大于6,则m是奇数。
解:
形式化:
p:
n是偶数;q:
n大于5;r:
m是奇数;s:
m大于6。
前提:
(pÙq)®r,s®p,q
结论:
s®r
证明:
①q【前提引入】
②ØsÚq【①附加规则】(这是证明的关键)
③s®q【②置换】
④s®p【前提引入】
⑤(s®q)Ùq(s®p)【③④合取】
⑥s®(pÙq)【⑤置换】
⑦(pÙq)®r【前提引入】
⑧s®r【⑥⑦假言三段论】
证毕。
四、一阶逻辑的基本概念(5分)
1、一阶逻辑命题形式化(总共6题,完成的题号为学号尾数取6的余,完成1题。
共2分)
(0)人人都生活在地球上。
解:
"x(F(x)→G(x)),其中,F(x):
x是人,G(x):
x生活在地球上。
(1)有的人长着金色的头发。
解:
$x(F(x)ÙG(x)),其中,F(x):
x是人,G(x):
x长着金色的头发。
(2)没有能表示成分数的无理数。
解:
Ø$x(F(x)ÙG(x)),其中,F(x):
x是无理数,G(x):
x能表示成分数。
(3)说所有的男人比所有的女人力气大是不正确的。
解:
Ø"x"y(F(x)ÙG(y)→S(x,y)),其中,F(x):
x是男人,G(x):
x是女人,S(x,y):
x比y力气大。
(4)有的学生不住在校内。
解:
$x(F(x)ÙØG(x)),其中,F(x):
x是学生,G(x):
x住在校内。
(5)说有的男人比所有的女人力气大是正确的。
。
解:
$x(F(x)Ù"y(G(x)→S(x,y))),
其中,F(x):
x是男人,G(x):
x是女人,S(x,y):
x比y力气大。
2、给出下列公式的一个成真解释和一个成假解释(总共3题,完成的题号为学号尾数取3的余,完成1题。
共3分)
(0)"x(F(x)ÚG(x))
解:
取解释I1:
个体域为人的集合,F(x):
x是男人,G(x):
x是女人。
则在I1解释下,"x(F(x)ÚG(x))为真命题。
取解释I2:
个体域为人的集合,F(x):
x是中国人,G(x):
x是美国人。
则在I2解释下,"x(F(x)ÚG(x))为假命题。
(1)$x(F(x)ÙG(x)ÙH(x))
解:
取解释I1:
个体域为人的集合,F(x):
x是教师,G(x):
x是党员,H(x):
x是班主任。
则在I1解释下,$x(F(x)ÙG(x)ÙH(x))为真命题。
取解释I2:
个体域为人的集合,F(x):
x是男人,G(x):
x是女人,H(x):
x是班主任。
则在I2解释下,$x(F(x)ÙG(x)ÙH(x))为假命题。
(2)$x(F(x)Ù"y(G(y)ÙH(x,y)))
解:
取解释I1:
个体域为整数集合,F(x):
x是正整数,G(x):
x是负整数,H(x,y):
x比y大。
则在I1解释下,$x(F(x)Ù"y(G(y)ÙH(x,y)))为真命题。
取解释I2:
个体域为自然数集合,F(x):
x是奇数,G(x):
x是偶数,H(x,y):
x比y大。
则在I2解释下,$x(F(x)Ù"y(G(y)ÙH(x,y)))为假命题。
五、一阶逻辑等值演算(5分)
1、证明等值式(总共2题,完成的题号为学号尾数取2的余,完成1题。
共1分)
(0)证明等值式:
"x(A(x)®B)Û$xA(x)®B。
证明:
"x(A(x)®B)Û"x(ØA(x)ÚB)Û"xØA(x)ÚB
ÛØ$xA(x)ÚBÛ$xA(x)→B。
(1)证明等值式:
$x(A(x)®B)Û"xA(x)®B。
解:
$x(A(x)®B)Û$x(ØA(x)ÚB)Û$xØA(x)ÚB
ÛØ"xA(x)ÚBÛ"xA(x)→B
2、给出下列公式的前束范式(总共4题,完成的题号为学号尾数取4的余,完成1题。
共2分)
(0)Ø"x(F(x)→G(x))
解:
Ø"x(F(x)→G(x))Û$xØ(ØF(x)ÚG(x))Û$x(F(x)ÙØG(x))
(1)Ø$x(F(x)ÙG(x))
解:
Ø$x(F(x)ÙG(x))Û"xØ(F(x)ÙG(x))Û"x(ØF(x)ÚØG(x))Û"x(F(x)→ØG(x))
(2)$yF(x,y)Ù"xG(x,y,z)
解:
$yF(x,y)Ù"xG(x,y,z)Û$yF(u,y)Ù"xG(x,v,z)Û$y"x(F(u,y)ÙG(x,v,z))
(3)"xF(x)→$y(G(x,y)ÙH(x,y))
解:
"xF(x)→$y(G(x,y)ÙH(x,y))Û"zF(z)→$y(G(x,y)ÙH(x,y))
Û"z(F(z)→$y(G(x,y)ÙH(x,y)))Û"z$y(F(z)→(G(x,y)ÙH(x,y)))
3、例证(总共2题,完成的题号为学号尾数取2的余,完成1题。
共2分)
(0)举例说明“"对Ú无分配律”。
解:
"对Ú无分配律指:
不存在等价关系"x(A(x)ÚB(x))Û"xA(x)Ú"xB(x)。
例如,取解释I:
个体域为人的集合,F(x):
x是男人,G(x):
x是女人。
"x(A(x)ÚB(x))的真值为真,而"xA(x)Ú"xB(x)的真值为假。
(1)举例说明“$对Ù无分配律”。
解:
$对Ù无分配律指:
不存在等价关系$x(A(x)ÙB(x))Û$xA(x)Ù$xB(x)。
例如,取解释I:
个体域为人的集合,F(x):
x是男人,G(x):
x是女人。
$x(A(x)ÙB(x))的真值为假,而$xA(x)Ù$xB(x))的真值为真。
六、一阶逻辑推理(5分)
在自然推理系统中,构造下列推理过程(总共2题,完成的题号为学号尾数取2的余,完成1题。
共5分)
(0)每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车,每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车,有的人不喜欢乘汽车。
所以,有的人不喜欢步行。
(个体域为人类集合)
解:
形式化:
F(x):
x喜欢步行;G(x):
x喜欢骑自行车;H(x):
x喜欢乘汽车。
前提:
"x(F(x)→ØG(x)),"x(G(x)ÚH(x)),$xØH(x)
结论:
$xØF(x)
证明:
①"x(F(x)→ØG(x))【前提引入】
②F(y)→ØG(y)【"-】
③"x(G(x)ÚH(x))【前提引入】
④G(y)ÚH(y)【"-】
⑤ØG(y)→H(y)【④置换】
⑥F(y)→H(y)【②⑤假言三段论】
⑦ØH(y)→ØF(y)【⑥置换】
⑧ØH(y)→$xØF(x)【⑦$+】
⑨$xØH(x)→$xØF(x)【⑧$+】
⑩$xØH(x)【前提引入】
⑾$xØF(x)【⑨⑩假言推理】
证毕。
(1)每个科学工作者都是刻苦钻研的,每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。
王大海是科学工作者,并且聪明。
所以,王大海在他的事业中将获得成功。
(个体域为人类集合)
解:
形式化:
F(x):
x是科学工作者;G(x):
x刻苦钻研;H(x):
x聪明;I(x):
x事业成功;a:
王大海。
前提:
"x(F(x)→G(x)),"x(G(x)ÙH(x)→I(x)),F(a),H(a)。
结论:
I(a)
证明:
①F(a)【前提引入】
②"x(F(x)→G(x))【前提引入】
③F(a)→G(a)【②"-】
④G(a)【①③假言推理】
⑤H(a)【前提引入】
⑥"x(G(x)ÙH(x)→I(x))【前提引入】
⑦G(a)ÙH(a)→I(a)【⑥"-】
⑧G(a)ÙH(a)【④⑤合取】
⑨I(a)【⑦⑧假言推理】
证毕。
时间:
2021.03.07
创作:
欧阳德