普通高等学校招生全国统一考试.docx

普通高等学校招生全国统一考试.docx

《普通高等学校招生全国统一考试.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《普通高等学校招生全国统一考试.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

普通高等学校招生全国统一考试

2015年普通高等学校招生全国统一考试

数学理科预测试题（江西卷）

（满分150分，考试时间120分）

第I卷

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1•设集合A={（x,y）|x+y=1},B={（x,y）|x—y=3}，则满足M?

（AAB）的集合M的个数是（）

C.2D.3

解析：

选C由题中集合可知，集合A表示直线x+y=1上的点，集合B表示直线x—

r

x+y—1

y=3上的点，联立F'可得AAB—{（2,—1）},M为AAB的子集，可知M可能为

lx—y—3

{（2,—1）},?

，所以满足M?

（AAB）的集合M的个数是2,故选C.

A.m>1，且n<1

C.m>0，且n<0

解析：

选B因为y——mx+1经过第

nn

=2X

C.2D.4

解析：

选A输入一1,满足xw0,所以f（—1）—4X（—1）——4;输入2,不满足x<0，所以f

（2）—22—4,

即f（—1）+f

（2）—0•故选A.

3.—次函数y=—m^x+n的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是（）

B.mn<0

D.m<0，且*0

三、四象限，故—m>0,'<0,即m>0,n<0,

n'n'''

4•某市A,B,C,D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示:

中学

A

B

C

D

人数

30

40

20

10

为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四

所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查，则A,B,C,D四所中学，抽取学生数分别是多少名（）

A.10,20,15,5B.15,20,10,5

C.10,15,20,5D.3,4,2,1

解析：

选B由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100,

5..（2015广州一模）任取实数a,b€[—1,1]，贝Ua,b满足|a—2b|w2的概率为（

1

B.1

37

c・4D.8

解析：

选D如图所示，则事件|a—2b|w2所表示的区域为图中的阴影部分所表示的区

域，易知直线a—2b=—2分别交直线a=—1与y轴于点E—1,1,F（0,1）.

所以|BE|=2，|BF|=1.

1111

所以sabef=2be||bf|=2x2x1=4,

易得△DHGBABEF.

P==霁7X1=

S四边形ABCD224

6•若命题“?

xo€R,x0+（a—1）x°+1v0”是真命题，则实数a的取值范围是（

A•[—1,3]B.（-1,3）

C.（—s,—1]U[3,+s）D.（—s,—1）U（3,+s）

解析：

选D因为命题“？

x°€R,x0+（a—1）xo+1v0”等价于x2+（a—1风+1=0有两个不等的实根，所以△=（a—1）2—4>0,即卩a2—2a—3>0,解得av—1或a>3,故选D.

n

7•已知△ABC中，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若A=3,b=2acosB,c=1,

则厶ABC的面积等于（）

C.

D.

解析：

选B由正弦定理得sinB=2sinAcosB，故tanB=2sinA=2sinn=3，又B€（0,

3

n,所以B=n又A=B=扌，则厶ABC是正三角形，所以&abc=*bcsinA=*x1x1X爭=

__3

才.

a—2<0,

于是有

|a—2X2<

由此解得a<

8

即实数a的取值范围是-S,7.

9.将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个•若该商品每个涨价1元,

其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个（）

B.105元

A.115元

解析：

选C设售价定为（90+x）元，卖出商品后获得利润为：

y=（90+x—80）（400—20x）=20（10+x）（20—x）=20（—x2+10x+200）=—20（x2—10x—200）=—20[（x—5）2—225],•••当x=5时，y取得最大值，即售价应定为：

90+5=95（元），选C.

2—1,xw0,

10.已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）―若方程f（x）=x+a有两个不

f（x—1卜x>0,

同实根，贝Ua的取值范围为（）

A.（―汽1）B.（―汽1]

C.（0,1）D.（—m,+m）

解析：

选Axw0时，

\:

J

1V—]

f（x）=2—x—1,

V

vcv

0

o

1231

—（X—1）

f（x）=f（x—1）=2—1.

故x>0时，f（x）是周期函数，

如图所示.

若方程f（x）=x+a有两个不同的实数根，则函数f（x）的图象与直线y=x+a有两个不同

交占

故a<1,即a的取值范围是（一g,1），故选A.

第n卷

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分。

22

11.已知双曲线話=1（a>0,b>0）的两个焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆

与双曲线渐近线的一个交点是（4,3）.则此双曲线的方程为.

22

解析：

卷—話=1由题意，c=-J42+32=5,

•-a2+b2=c2=25.①

又双曲线的渐近线为y=±x,.・.b=3.②则由①②解得a=3,b=4，•双曲线方程

22

为匸x2=1.

12.

O的球面上，则该圆

一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球锥的体积与球O的体积的比值为

解析：

设等边三角形的边长为2a,则V圆锥=1-n•3a=^na3；又R2=a2+（,3a—R）2,

33

13.在数列｛a*｝中，ai=1,an+2+（—1）nan=1，记Sn是数列｛a*｝的前n项和，则=

解析：

依题意得，当n是奇数时，an+2—an=1,即数列｛a.｝中的奇数项依次形成首项为

30x29

1、公差为1的等差数列，a1+a3+a5+-+859=30x1+盯x1=465;当n是偶数时，

an+2+an=1，即数列｛an｝中的相邻的两个偶数项之和均等于1,a2+a4+比+a8+…+a58+

a60=（a2+a4）+（a6+ag）+…+（a58+a6o）=15.因此，该数列的前60项和S6o=465+15=480.

答案：

480

z=OAOP=x+2y,显然在B（0,1）处Zmax=2.

x

14.已知函数f（x）=X+2（X>0）.如下定义一列函数：

f1（x）=f（x）,f2（x）=f（f1（x））,f3（x）=

f（f2（X））,…，fn（x）=f（fn-1（X）），…，n€N*，那么由归纳推理可得函数fn（X）的解析式是fn（X）=

X

3x+4xx

f3（x）=x+2=7x+8=23—1X+23，…,

3x+4

x

由此归纟内可得fn（x）=2*_1x+2“（x>0）.

［答案］

（1）12—22+32—42+-+（—1）n+1n2=（—1）n+1njn+±

（2）2n—1Xx+2n（x>0）

三、选做题：

请在下列两题中任选一题作答。

若两题都做，则按第一题评阅计分。

本题

共5分15.

（1）若|x—1|<1,|y—2|<1，则|x—2y+1|的最大值为.

解析：

X—2y+1|=|（x—1）—2（y—2）—2|<|x—1|+2|y—2|+2=5.

答案：

5

222

2te2t2f1+1L2

=4—3X2=4—3x.又x=2=

1+t1+t1+t

=2—备€[0,2）,•••x€[0,2）.

•••所求的普通方程为3x+y—4=0（x€[0,2））.

答案：

3x+y—4=0（x€[0,2）

四、解答题：

本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.在厶ABC中，角A，B，

C所对的边分别为a,b,c,cos2C+22cosC+2=0.

（1）求角C的大小;

厂V2

⑵若b=,2a,△ABC的面积为qsinAsinB,求sinA及c的值.

解：

（1）•/cos2C+22cosC+2=0,

•2cos2c+2.2cosC+1=0,

即^2cosC+1）2=0,「.cosC=-^2.

⑵•/c2=a2+b2—2abcosC=3a2+2a2=5a2,

•c=5a，即sinC=5sinA,•sinA=15sinC=/）°

©1「亞

-Saabc=?

absinC,且&ABc=ysinAsinB,

12

…2absinC=~sinAsinB,

sinAsinBsinC=2,由正弦定理得：

sinCsinC=2,

解得c=1.

16.已知数列｛an｝满足a1=5,a2=5,a+1=an+6an-1（n》2）.

（1）求证：

｛an+1+2an｝是等比数列；

⑵求数列｛an｝的通项公式.

解：

（1）证明：

.an+1=an+6an-1（n》2）,

•-an+1+2an=3an+6an-1=3（an+2an-1）（n》2）.

又a〔=5,a2=5,

••a?

+2a〔15,

--an+2an-1工0（n》2）,

•••数列｛an+1+2an｝是以15为首项，3为公比的等比数列.

（2）由

（1）得an+1+2an=153=5X3,

则an+1=—2an+5x3n,

•an+1—3"1=—2（an—3"）.

又a1—3=2,•an—3丰0,

•-｛an—3n｝是以2为首项，—2为公比的等比数列.

•an—3n=2X（—2）n—1,

即an=2x（—2）n—1+3n（n€N*）.

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC丄底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB丄AD,AB//CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.

（1）求证：

平面EAC丄平面PBC;

（2）若二面角P-AC-E的余弦值为-3，求直线FA与平面EAC所成角的正弦值.

解：

（1）证明：

TPC丄底面ABCD,•PC丄AC,

•••底面ABCD是直角梯形，且AB=2AD=2CD=2,

•AC=飞）2,BC=叮2.

•AB2=AC2+BC2,

•AC丄BC,

•/PCnBC=C,.・.AC丄平面PBC,

•/AC?

平面EAC,

•平面EAC丄平面PBC.

⑵建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设PC=a,则A（0,0,0）,

（13a）

C（1,1,0）,E2，2，2，P（1,1，a）,B（0,2,0）.

—13a—

•AC=（1,1,0）,AE=2,2,2，AP=（1,1,a）,BC=（1,—

1,0）.

设平面EAC的法向量为v=（x,y,z）,

则v=“,—1,2],

•/BC丄平面PAC,

•••平面PAC的一个法向量为u=BC=（1,-1,0）,

设二面角P-AC-E的大小0,

2

1x1+—1x—1+0x-

2x2+

a

解得a=2,

•直线PA与平面EAC所成角的正弦值为

—v•AP1x1+1X—1+2X12

cos〈v,AP>==；=—.

|v||AP|V3XJ63

19.某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：

全市100000名男生的身高服从正

态分布N（168,16）.现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生

身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：

第1组［160,164）,

第2组［164,168）,…，第6组［180,184］，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（1）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;

⑵求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；

⑶在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为X,求X的数学期望.

参考数据：

若X〜N（（1,（T）,贝U

P（1一o

P（i-2（

P（i-3（

解：

（1）由频率分布直方图，经过计算得该校高三年级男生平均身高为162X100+

78221

166x而+170x云+174x而+178x而+182x忒4=16872,

高于全市的平均值168.

（2）由频率分布直方图知，后3组频率为（0.02+0.02+0.01）X4=0.2，人数为0.2X50=

10,即这50名男生身高在172cm以上洽172cm）的人数为10.

（3）•/P（168—3X4

•••P（X>180）=1—缪974=0.0013,

0.0013X100000=130.

•全市前130名的身高在180cm以上，这50人中180cm以上的有2人.

随机变量X可取0,1,2，于是

C828»八加16

P（X=0）=C20=45,P（X=1）^^=45,

2

20.已知椭圆方程为2+x2=1,斜率为k（kz0）的直线I过椭圆的上焦点且与椭圆相交于

P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0,m）.

（1）求m的取值范围；

⑵求△MPQ面积的最大值.

解：

（1）设直线l的方程为y=kx+1,

y=kx+1,

I22

由v22可得（k2+2）x2+2kx—1=0.

y2+x=1,

设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,

—2k1

贝UX1+X2=2丄,X1x2=—2丄。

.

k十2k十2

设线段PQ的中点为N，则点N的坐标为k—+k2,皋,

\k+2k+2丿

11

可得m=d，又kz0，所以0

k+22

故m的取值范围为0,f.

21

（2）设椭圆的焦点为F，由

（1）可得k=m—2,

小1

则S^mpq=2|FM||x1—X2|

12

=尹-mI寸（Xi+x22—4X!

X2

122k2+1

=1|1—m|k

=2m1—m3,

所以△MPQ的面积为2m1—m

^[0

设f（m）=m（1—m）3，贝Uf'（m）=（1—m）2（1—4m）.

所以，当m=中时，f（m）有最大值f£=256.

即当m=丁时，△MPQ的面积有最大值穿^6.

21已知f（x）=eX（x3+mx2—2x+2）.

（1）假设m=—2,求f（x）的极大值与极小值;

m的取值范围；如

⑵是否存在实数m,使f（x）在［—2,—1］上单调递增？

如果存在，求

果不存在，请说明理由.

解：

（1）当m=—2时，

f（x）=ex（x3—2x2—2x+2），其定义域为（—°°,+°°）.

则f'（x）=ex（x3—2x2—2x+2）+ex（3x2—4x—2）

=xex（x2+x—6）

=（x+3）x（x—2）ex,

•••当x€（—^,—3）或x€（0,2）时，f'（x）<0;

当x€（—3,0）或x€（2,+^）时，f'（x）>0;

f'（—3）=f'（0）=f'

（2）=0,

•f（x）在（—a,—3）上单调递减，在（—3,0）上单调递增;在（0,2）上单调递减，在（2,+a）上单调递增，

•••当x=—3或x=2时，f（x）取得极小值；

当x=0时，f（x）取得极大值，

—32

•f（x）极小值=f（—3）=—37e—3,f（x）极小值

f（x）极大值=f（0）=2.

⑵f'（x）=ex（x3+mx2—2x+2）+ex（3x2+2mx—2）=xex[x2+im+3x+2m—2].

•••f（x）在[—2,—1]上单调递增，

•••当x€[—2,—1]时，f'（x）>0.

又•••当x€[—2,—1]时，xex<0,

.•.当x€［—2,—1］时，x2+（m+3）x+2m—2<0,

2

尸（—2）—2（m+3户2m—2<0,=—12—m+3+2m—2<0,

•••当m€（—I4］时,f（x）在［—2,—1］上单调递增.