普通高等学校招生全国统一考试.docx

1、普通高等学校招生全国统一考试2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科预测试题(江西卷)(满分150分，考试时间120分)第I卷一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的。1设集合 A = (x, y)|x + y= 1 , B= (x, y)|x y= 3，则满足 M? (AA B)的集合 M 的个 数是( )C. 2 D . 3解析：选C由题中集合可知，集合 A表示直线x+ y= 1上的点，集合B表示直线x rx + y 1y= 3上的点，联立 F 可得AA B (2 , 1) , M为AA B的子集，可知 M可能为lx

2、y 3(2 , 1) , ?，所以满足 M? (A A B)的集合M的个数是2,故选C.A . m1，且 n0，且 n0解析：选B因为y mx+1经过第n n=2XC. 2 D . 4解析：选A 输入一1,满足xw0,所以f( 1) 4X ( 1) 4; 输入2,不满足x 0，所以f(2) 22 4,即 f( 1) + f(2) 0故选 A.3.次函数y=mx+n的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()B. mn0D . m0, 0, n0,即卩a2 2a 30,解得av 1或a3,故选 D.n7已知 ABC中，内角A, B, C所对边长分别为a, b, c,若A = 3, b =

3、 2acos B, c= 1,则厶ABC的面积等于（ ）C.D.解析：选 B 由正弦定理得 sin B= 2sin Acos B，故 tan B = 2sin A= 2sinn= 3，又 B (0,3n ,所以B = n又A= B=扌，则厶ABC是正三角形，所以&abc = *bcsin A = * x 1x 1 X爭=_3才.a 20,于是有| a 2 X 2由此解得a 0 ,同实根，贝U a的取值范围为( )A.(汽 1) B.(汽 1C. (0,1) D . ( m,+m )解析：选A xw 0时， :J1 Vf(x)= 2x 1,Vvcv0xw 1 时，一10时，f(x)是周期函数，如

4、图所示.若方程f(x)= x+ a有两个不同的实数根，则函数 f(x)的图象与直线y= x+ a有两个不同交占故a0 , b0)的两个焦点分别为 F1, F2,以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是 (4,3).则此双曲线的方程为 .2 2解析：卷話=1 由题意，c=-J42 + 32= 5,- a2 + b2= c2 = 25. 又双曲线的渐近线为y=x,.b= 3. 则由解得 a= 3, b= 4，双曲线方程2 2为匸x2=1.12.O的球面上，则该圆一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 锥的体积与球 O的体积的比值为解析：设等边三角形的边长为 2a,则V圆锥

5、=1 - n 3a= na3；又R2= a2+ (,3a R)2,3 313.在数列a*中，ai= 1, an+2+ ( 1)nan= 1，记Sn是数列a*的前n项和，则 =解析：依题意得，当n是奇数时，an+ 2 an= 1,即数列a.中的奇数项依次形成首项为30 x 291、公差为1的等差数列，a1+ a3 + a5+- + 859= 30x 1+ 盯 x 1 = 465;当n是偶数时，an + 2+ an= 1，即数列an中的相邻的两个偶数项之和均等于 1 , a2+ a4+比+ a8+ a58 +a60 = (a2+ a4)+ (a6+ ag) + + (a58+ a6o) = 15.

6、因此，该数列的前 60 项和 S6o = 465 + 15 = 480.答案：480z= OA OP = x+ 2y,显然在 B(0,1)处 Zmax= 2.x14.已知函数 f(x) = X+2(X 0).如下定义一列函数： f1 (x) = f(x), f2(x) = f(f1(x) , f3(x)=f(f2(X),，fn(x) = f(fn-1(X)，n N*，那么由归纳推理可得函数 fn(X)的解析式是fn(X)=X3x + 4 x xf3(x) = x + 2 = 7x+ 8= 23 1 X+ 23，,3x+ 4x由此归纟内可得 fn(x) = 2*_ 1 x+ 2“(x 0).答案

7、(1)1 2 22 + 32 42+-+ ( 1)n+1n2 = ( 1)n+1njn+ (2) 2n 1Xx+ 2n(x0)三、选做题：请在下列两题中任选一题作答。若两题都做，则按第一题评阅计分。本题共 5 分 15. (1)若 |x 1| 1, |y 2| 1，则 |x 2y+ 1|的最大值为 .解析：X 2y+ 1|= |(x 1) 2(y 2) 2| = = ； =.|v| |AP | V3XJ6 319.某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市 100 000名男生的身高服从正态分布N(168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取 50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介

8、于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成 6组：第1组160,164),第2组164,168),，第6组180,184，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数；在这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人中任意抽取 2人，将该2人中身高 排名(从高到低)在全市前130名的人数记为X,求X的数学期望.参考数据：若 XN(1, (T),贝UP( 1 一 o Xw 计 = 0.682 6,P( i- 2( X 叶 2 = 0.954 4,P( i

9、- 3( X 叶 3 = 0.997 4.解：(1)由频率分布直方图，经过计算得该校高三年级男生平均身高为 162 X 100 +7 8 2 2 1166x 而+170 x 云 +174 x 而 +178x 而+182 x 忒4=16872,高于全市的平均值 168.(2)由频率分布直方图知，后 3组频率为(0.02 + 0.02 + 0.01) X 4= 0.2，人数为0.2X 50 =10,即这50名男生身高在172 cm以上 洽172 cm)的人数为10.(3)/ P(168 3X 4 180) = 1 缪97 4 = 0.001 3 ,0. 001 3X 100 000 = 130.全

10、市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人.随机变量X可取0,1,2，于是C8 28 八加 16P(X= 0) = C20= 45, P(X= 1) = 45,220.已知椭圆方程为2 + x2= 1,斜率为k(kz 0)的直线I过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P, Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0, m).(1)求m的取值范围；求 MPQ面积的最大值.解：(1)设直线l的方程为y= kx+ 1,y= kx+1,I 2 2由 v2 2 可得(k2 + 2)x2 + 2kx 1= 0.y2 + x = 1,设 P(x1, y1), Q(x2, y2),2

11、k 1贝U X1 + X2= 2丄 , X1x2 = 2 丄。.k十2 k十2设线段PQ的中点为N，则点N的坐标为k+k2, 皋 ,k + 2 k + 2丿1 1可得m=d，又kz 0，所以0mT.k + 2 2故m的取值范围为 0, f .2 1(2)设椭圆的焦点为F，由(1)可得k = m 2,小 1则 Smpq = 2 |FM | |x1 X2|1 2 =尹-mI寸(Xi + x2 2 4X!X21 2 2 k2+ 1=1|1 m|k=2m 1 m 3,所以 MPQ的面积为 2m 1 m0m设 f(m)= m(1 m)3，贝U f (m)= (1 m)2(1 4m).所以，当m =中时，

12、f(m)有最大值f = 256.即当m= 丁时， MPQ的面积有最大值 穿6.21 已知 f(x)= eX(x3 + mx2 2x+ 2).(1)假设m= 2,求f(x)的极大值与极小值;m的取值范围；如是否存在实数 m,使f(x)在 2, 1上单调递增？如果存在，求果不存在，请说明理由.解：(1)当m= 2时，f(x)= ex(x3 2x2 2x+ 2)，其定义域为( ,+ ).则 f (x) = ex(x3 2x2 2x+ 2) + ex(3x2 4x 2)=xex(x2 + x 6)=(x+ 3)x(x 2)ex,当 x ( , 3)或 x (0,2)时，f (x)0;f ( 3)= f

13、 (0) = f (2) = 0,f(x)在(a, 3)上单调递减，在(3,0)上单调递增; 在(0,2)上单调递减，在(2, + a)上单调递增，当x= 3或x = 2时，f(x)取得极小值；当x = 0时，f(x)取得极大值，3 2f(x) 极小值 =f( 3) = 37e3, f(x) 极小值f(x)极大值=f(0) = 2.f (x) = ex(x3+ mx2 2x+ 2) + ex(3x2 + 2mx 2) =xexx2 + im + 3 x+ 2m 2. f(x)在2, 1上单调递增，当 x 2, 1时，f (x) 0.又当 x 2, 1时，xex0,.当 x 2, 1时，x2 + (m+ 3)x+ 2m 2 0,2尸(2 ) 2(m+ 3 户 2m 2 0, =1 2 m + 3 + 2m 2 0,当m ( I 4时,f(x)在2, 1上单调递增.