届高考理科数学知识点题组训练题48.docx
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届高考理科数学知识点题组训练题48
题组层级快练（五十八）
1．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ）
A．21种 B．315种
C．143种D．153种
答案 C
解析 可分三类：
一类：
语文、数学各1本，共有9×7＝63种；
二类：
语文、英语各1本，共有9×5＝45种；
三类：
数学、英语各1本，共有7×5＝35种；
∴共有63＋45＋35＝143种不同选法．
2．（2018·武汉市二中月考）从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是（ ）
A．10B．15
C．20D．25
答案 D
解析 当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×5＝25（种）．
3．5名应届毕业生报考3所高校，每人报且仅报1所院校，则不同的报名方法的种数是（ ）
A．35B．53
C．A32D．C53
答案 A
4．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．24种B．30种
C．36种D．48种
答案 D
解析 共有4×3×2×2＝48（种），故选D.
5．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为（ ）
A．42B．30
C．20D．12
答案 A
解析 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42（种）．
6．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）
A．16种B．18种
C．37种D．48种
答案 C
解析 自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37种．
7．某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）
A．1205秒B．1200秒
C．1195秒D．1190秒
答案 C
解析 要实现所有不同的闪烁且需要的时间最少，只要所有闪烁连续地、不重复地依次闪烁一遍．而所有的闪烁共有A55＝120个；因为在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，即每个闪烁的时长为5秒，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，所以要实现所有不同的闪烁，需要的时间至少是120×（5＋5）－5＝1195秒．
8．（2018·邯郸一中模拟）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（ ）
A．18个B．15个
C．12个D．9个
答案 B
解析 依题意知，这四个位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4，0，0组成有3个数，分别为400，040，004；由3，1，0组成有6个数，分别为310，301，130，103，013，031；由2，2，0组成有3个数，分别为220，202，022；由2，1，1组成有3个数，分别为211，121，112，共3＋6＋3＋3＝15个．
9．（2018·江南十校）已知I＝{1，2，3}，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有数的和大于B中所有数的和，则集合A，B共有（ ）
A．12对B．15对
C．18对D．20对
答案 D
解析 依题意，当A，B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A，B均有两个元素时，有3对；共20对，选择D.
10．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有________个．
答案 162
解析 一位数8个，两位数8×9＝72个．
1
×
×
3位数
有9×9＝81个，
2
×
×
另外
1个（即200），
共有8＋72＋81＋1＝162个．
11．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中任取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．
答案 22
解析 分成三类：
A＝0，B≠0；A≠0，B＝0和A≠0，B≠0，前两类各表示1条直线；第三类先取A有5种取法，再取B有4种取法，故5×4＝20种．
所以可以表示22条不同的直线．
12.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共________种．（用数字作答）
答案 480
思路
→
→
解析 从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法．由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480（种）涂色方法．
13．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．
（1）若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？
（2）若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？
答案
（1）11
（2）4
解析
（1）若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或A，C袋中各取一个，或B，C袋中各取一个．
∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．
（2）若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．
∴应有1＋3＝4种．
14．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？
答案 20种
解析 由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．
第一类：
从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3（种），此时共有6×3＝18（种）；第二类：
不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2（种）；所以根据分类加法计数原理知共有18＋2＝20（种）选法．
15．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？
答案 36个
解析 设较小的两边长为x、y且x≤y，
则
当x＝1时，y＝11；
当x＝2时，y＝10，11；
当x＝3时，y＝9，10，11；
当x＝4时，y＝8，9，10，11；
当x＝5时，y＝7，8，9，10，11；
当x＝6时，y＝6，7，8，9，10，11；
当x＝7时，y＝7，8，9，10，11；
……
当x＝11时，y＝11.
所以不同三角形的个数为
1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．
1．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12种B．10种
C．9种D．8种
答案 A
解析 2名教师各在1个小组，给其中1名教师选2名学生，有C42种选法，另2名学生分配给另1名教师，然后将2个小组安排到甲、乙两地，有A22种方案，故不同的安排方案共有C42A22＝12种，故选A.
2．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，若从三名工人中选2名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有（ ）
A．6种B．5种
C．4种D．3种
答案 C
解析 若选甲、乙2人，则包括甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙2人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙2人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法．
∴共有2＋1＋1＝4种不同的选派方法．
3．在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形（个人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）
A．6种B．12种
C．18种D．20种
答案 D
解析 分三种情况：
恰好打3局（一人赢3局），有2种情形；恰好打4局（一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢），共有2C32＝6种情形；恰好打5局（一个前4局中赢2局，输2局，第5局输），共有2C42＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．
4．若m，n均非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位（例如：
134＋3802＝3936），则称（m，n）为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对（m，n）的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是________．
答案 300
解析 第1步，1＝1＋0，1＝0＋1，共2种组合方式；
第2步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；
第3步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，共5种组合方式；
第4步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共3种组合方式．
根据分步乘法计数原理，值为1942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3＝300.
5．在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着2件学习用品，2件生活用品，1件娱乐用品，若他可抓其中的两件物品，则他抓的结果有________种．
答案 10
解析 设学习用品为a1，a2；生活用品为b1，b2，娱乐用品为c，则结果有：
（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c），（b1，b2），（b1，c），（b2，c），共10种．
6．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________．
答案 6
7．（2018·湖南十二校联考）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案 108
解析 把区域分为三部分，第一部分1，5，9，有3种涂法．第二部分4，7，8，当5，7同色时，4，8各有2种涂法，共4种涂法，当5，7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法，第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步乘法计数原理，可得共有3×6×6＝108种涂法．
8．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．
解析 方法一：
可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．
当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1，2，3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染色；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S，A，B已染好时，C，D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420种．
方法二：
以S，A，B，C，D顺序分步染色．
第一步，S点染色，有5种方法；
第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；
第三步，B点染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；
第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3（1×3＋2×2）＝420种．
方法三：
按所用颜色种数分类．
第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；
第二类，只有4种颜色，则必有某两个顶点同色（A与C，或B与D），共有2×A54种不同的方法；
第三类，只有3种颜色，则A与C，B与D必定同色，共有A53种不同的方法．
由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A54＋A53＝420种．
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