习题课第23章静电场中的导体和电介质精.docx

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习题课第23章静电场中的导体和电介质精

第2、3章静电场中的导体和电介质（习题课）

一、本章内容提要要求：

理解和掌握各种物理量（概念）的定义和物理含义，掌握各种物理定理（律）的成立条件和基本的运用方法。

1.导体—“微观带电结构”—自由电子q0

2.导体静电平衡条件和性质

E=0E⊥表面内，表

等势体、等势面，净电荷分布在导体表面上。

3.有导体存在时电场和电势分布的计算

（A）电场的基本规律（第1章）

（B）导体静电平衡条件和性质

（C）电荷守恒定律

处理“三种对称性”情况，可得到解析表达式。

4.用电场线概念讨论导体的静电平衡问题

5.有导体时静电场的唯一性定理和电像法

电场空间V，由若干边界面Si包围而成，

每个Si都是导体表面（或S∞），若给定每个导体的：

a）电势Ui，或者b）总电量Qi，则空间V内的电场E唯一确定。

电像法处理“点电荷与导体板”和“点电荷与导体球”问题。

6.导体空腔内外的电场与静电屏蔽

Q3

腔内电场：

由腔内带电体q1和S内（-q1）唯一决定。

腔外电场：

由腔外带电体q3和S外（q2=q0+q1+q感-q感）唯一决定。

接地导体空腔可隔绝空腔内外电场之间的相互影响。

7.电介质—“分子等效电偶极子”—束缚电荷qs

8.电介质的极化

位移极化、取向极化，及伴存现象（电致伸缩，压电效应等）

极化强度

（宏观量）

介质中的极化场:

（P线：

发自于负束缚电荷，终至于正束缚电荷）

9.极化电荷（束缚电荷）

（极化场P的高斯定理）

ˆ：

介质表面外法线方向的单位矢量）（n

电介质极化产生附加电场Es

10.介质的极化规律

各向同性线性电介质

（宏观电场力和微观束缚力相平衡的状态）电极化率χe>0

总场强E=E0+Es

各向异性线性电介质

（普遍）,极化率张量[χei]j

非线性电介质电滞现象

11.电位移矢量定义

电位移矢量场:

（D线：

发自于正自由电荷，终至于负自由电荷）各向同性线性电介质

D=ε0E+P=ε0E+ε0χeE=ε0εrE=εE

相对介电常数（电容率）

介电常数

12.电位移的高斯定理（普遍）

εr=1+χe>1ε=ε0εr

（积分形式）

（微分形式）

13.有电介质存在时电场和电势分布的计算D⋅dS=Q0⇒D⇒E⇒P⇒qs,σs

s

处理特定问题，如“三种对称性”问题

qq+∆q∆q

14.孤立导体的电容C=U=U+∆U=∆UqC=15.电容器的电容UAB

三种简单电容器平行板C0=d，ε0S

2πε0LC=C=4

πε0R0圆柱形，球形lnR2R1

极板间充满电介质时

16.电荷在外电场中的静电势能

（W是指q与场源电荷∑Qi之间的相互作用能）

17.带电体系的静电能

⎛电能（静电能W）⎫⎛分散的、⎫⎪⎪⇑⎪相距无穷⎪⇒[带电体]⇐⎪⎪外力反抗电场力做功⎪远的状态⎝⎭⎝⎭

18.电荷的相互作用能（点电荷组）

Ui是qi所在点的电势（除qi以外电荷产生的）

19.电荷的固有能（自能）

20.计算带电体系静电能的一般公式

U是dq所在点的电势（由所有电荷共同产生的）

●带电面

●带电等势面●电容器带电时

21.电场的能量

112w=εE⋅E=εE00真空中电场的能量e122

（单纯电场能量密度）电介质中电场能量密度

111

we=2D⋅E=2ε0E⋅E+2P⋅E极化分子增加的内能

112w=P⋅E=（ε-1）εEr0e222

（电介质的极化能密度）各向同性线性电介质

22.计算电场能量的一般公式

23.静电场的基本方程

L

sE⋅dl=0,∇⨯E=0（静电场的环路定理）VD⋅dS=⎰⎰⎰ρcdV,∇⋅D=ρ（D的高斯定理）c

∂U∂U∂Uρc∆U=2+2+2=-（有介质的泊松方程）∂x∂y∂zεi222

∂2U∂2U∂2U∆U=2+2+2=0（拉普拉斯方程）∂x∂y∂z

24.电介质分界面的边值关系

E1t=E2t，D1n=D2n

∂U∂UUi=Uj，εi（）i=εj（）j∂n∂n

25.静电问题的唯一性定理

电场空间V，划分为若干区域Vi，每个Vi中充满均匀电介质εi，若

（1）给定各个区域Vi内的自由电荷分布；（常见情况是电荷处处为零）

（2）在整个电场空间V的边界S上给定：

（常见情况是以无限远处为边界）

∂Ui）电势US，或者ii）电势的法向导数∂nS

（3）有导体时，给定每个导体的：

i）电势Ui，或者ii）总电量Qi。

则各个区域Vi内的电场Ei唯一确定。

各个区域Vi内的电势Ui有唯一的解，满足泊松方程或拉普拉斯方程、满足边值关系、满足边界条件。

二、基本结果

要求：

熟练掌握计算方法，能够借用基本结果处理其他问题。

1.有导体存在时电场和电势分布的计算

（1）

（2）两块平行金属板金属板接地的含义

（3）同心金属球壳、金属圆筒

2.有电介质存在时电场和电势分布的计算

（1）

（2）真空→充满电介质电介质中均匀带电球面

（3）同心电介质球壳、平行板、圆筒

3.计算电容C

（1）

（2）平行板、球形和圆柱形电容器充满/一半空间充有电介质

（3）同心金属球壳（电容串并联）

4.计算电荷相互作用能、静电能和电场能量

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

三、典型问题电荷处在外电场中的静电势能点电荷组的相互作用能均匀带电球体均匀带电球面带电等势面的静电能电容器带电时的静电能

例1.有一半径为R1、带电量为q的金属导体球，其外是一同心金属导体球壳，内外半径分别为R2和R3，带电量为Q，求：

空间电场分布和两导体的电势。

另外，如果

（1）用导线将内球和外球壳连在一起；

（2）将外球壳接地；（3）外球壳离地很远，且将内球接地；在上述三种情况下空间电场分布和两导体的电势又如何？

解：

三个均匀带电球面，R1：

q，R2：

-q，R3：

q+Q，金属导体内场强为零，等电势。

内球与外壳之间：

qˆE=r24πεr0外壳以外：

q+QˆE=r24πεr0

外壳：

无限远处为电势零点。

∞∞q+Qq+QU2=⎰E⋅dr=⎰Edr=⎰dr=2R3R3R34πεr4πεR003∞

内球：

U1=⎰

∞R1R2∞R2E⋅dr=⎰Edr+⎰Edr=⎰R1R3R1q4πε0r2dr+U2

q11q+QU1=（-）+4πε0R1R24πε0R3

（1）三球面，R1：

O，R2：

O，R3：

q+Q，金属导体内、内球与外壳之间，场强都为零，等电势。

（2）三球面，R1：

q，R2：

-q，R3：

O，金属导体内、外壳以外，场强都为零，外壳电势为零。

（3）三球面，R1：

q，R2：

-q，R3：

q+Q，金属导体内场强为零，内球电势为零，与无穷远处等电势。

，，，

q'11q'+QU1=（-）+=04πε0R1R24πε0R3

先求出q，再代入前面的公式即可。

例2.有一半径为R1、带电量为Q的金属导体球，球外有一同心电介质球壳，内外半径分别为R2和R3，相对介电常数为εr，求：

（1）空间电位移D和电场E分布；

（2）电介质球壳内、外表面上的极化电荷qs。

解：

（1）三个均匀带电球面，

R1：

Q自由电荷，

，R2：

-qs2，束缚电荷,

R3：

qs3，束缚电荷,

电位移D和电场E具有球对称性，

取同心球面计算D的通量：

sD⋅dS=D⋅4πr2

金属内球以外：

QˆD=r2空气和电介质中:

4πrDQˆE==r2空气中：

ε04πε0r

DQˆE==r2电介质球壳中：

ε0εr4πε0εrr

金属内球内:

电位移D和电场E都为零。

（2）电介质球壳内表面（r=R2）

E2=q

4πε0εrR22ˆr，

）E2P2=ε0（εr-1

ˆσs2=P2⋅n2=P2⋅（-r）=-P2（方向相反）

εr-1qs2=σs2⋅4πR2=-（）Qεr2

电介质球壳外表面（r=R3）

E3=q

4πε0εrR32ˆr，

P）E33=ε0（εr-1

ˆσs3=P夹角0度）3⋅n3=P3⋅r=P3（方向相同，

例3.有一平行板电容器，极板间为真空，使两极板分别带电±Q，这时极板间电压为U0，如果保持极板上带电量不变，将极板间一半空间充以各向同性均匀电介质εr，忽略边缘效应，且极板的线度远大于极板间距，S〉〉d，求：

（1）极板间电压变为多少？

（2）电介质表面极化电荷面密度。

解：

（1）充入电介质前，极板均匀带电±Q，εr-1qs3=σs3⋅4πR3=（）Qεr2σ0Qσ0=，E0=ε0S，U0=E0d

左半边充入电介质后，极板上自由电荷±Q的分布改变。

左、右半边自由电荷按均匀分布处理，设面密度分别为σ1、σ2。

电介质极化后，电介质的上、下表面出现极化电荷。

左半边：

按照无穷大均匀带电平面处理，

取一圆柱面，计算D的通量，D⋅dS=s介底⎰⎰D⋅dS=D1∆S由D的高斯定理：

D1∆S=σ1∆SD1=σ1

D1σ1E1==ε0εrε0εr①

右半边：

D2=σ2

σ2E2==ε0ε0②D2

左、右两半边电势差相等：

E1d=E2d③

电荷守恒：

S（σ1+σ2）=σ0S④2

四个方程联立求解可得：

2εrσ=σ>σ010，εr+1

2σ=σ<σ020εr+1

σ22σ0E1=E2==⋅

εr-1P⋅2σ01=ε0（εr-1）E1=εr+1

（2）电介质上、下表面的极化电荷

ˆ上表面：

σs上=P1⋅n上=-P1（方向相反）

ˆ下表面：

σs下=P1⋅n下=P1（方向相同）

例4.A是半径为R1的金属导体球；B是一同心金属导体球壳，内外半径分别为R2和R3；C是半径为R4的同心金属导体球面。

求

（1）A、C之间的电容CAC；

（2）如果将半径为R1的金属导体球接地，CAC又如何？

解：

（1）由定义式计算

A（R1）：

+Q；C（R4）：

-QR2：

-Q；R3：

+Q四个均匀带电球面

金属导体内、球面C以外，场强都为零。

R1和R2之间、R3和R4之间

CE=Q4πε0r2ˆrR2R4Q1111UAC=⎰E⋅dr=⎰Edr+⎰Edr=（-+-）AR1R34πε0R1R2R3R4Q11111CAC==[（-+-）UAC4πε0R1R2R3R4

由电容串并联计算

CAC是两个球形电容器CAB和CBC的串联]-1

CAB4πε0R3R44πε0R1R2=CBC=，R2-R1R4-R3

11111111=+=（-+-）CACCABCBC4πε0R1R2R3R4

（2）由定义式计算或电容串并联计算均可。

内球A接地，内球A与无穷远处电势都为零。

因此，A和无穷远处作为电容一极，C作为电容另一极。

这时C与无穷远之间有电场存在，因此有电容CC∞，按照孤立导体球的电容计算，

CC∞=4πε0R4，

CAC是CAB和CBC串联后再与CC∞并联，即上一问，

中的CAC与CC∞并联。

CAC=CAC+CC∞，

例5.有两个带有等量异号电荷±Q的同心球面，半径分别为R1和R2，求：

（1）每个球面看作一个子系统，其自能是多少？

（2）两个带电球面之间的

相互作用能；（3）

两个带电球面的

总静电能。

解：

（1）子系统的自能，

就是其单独存在时的总静电能或总的电场能量。

方法①W=⎰⎰⎰wedV=⎰⎰⎰VV

2

∞12εEdV2

R1：

W1=⎰R121⎛Q⎫Q2⎪ε04πrdr=2⎪2⎝4πε0r⎭8πε0R1

2⎛⎫1-QQ2⎪4πrdr=ε02⎪2⎝4πε0r⎭8πε0R22R2：

W2=⎰∞

R2

11W=⎰⎰⎰⋅Ud，q等势面：

W=∑iUi方法②22V

11QW=QU=QR1：

1224πε0R1

11-QW=（-Q）U=（-Q）2R2：

224πε0R2

自能总大于零。

（2）两种计算方法

1

方法①W=∑2iUiUi是除qi以外电荷产生

11Q-Q-QQ-Q2W12=QU1+（-Q）U2=⋅+⋅=2224πε0R224πε0R24πε0R2

方法②计算外力做功

设先有均匀带电+Q内球面，再从无穷远将-Q移到外球面上，外力做的功为：

W12=A外=（-Q）U=（-Q）Q4πε0R2<0，

电荷之间互能，同号电荷互能大于零，异号电荷互能小于零。

（3）三种计算方法

Q211W=W1+W2+W12=（-）>0方法①8πε0R1R2

方法②计算电场能量

21⎛Q⎫Q112⎪4πrdr=ε0（-）2⎪2⎝4πε0r⎭8πε0R1R22W=⎰R2R1

方法③计算总静电能

1111,,W=⎰⎰⎰⋅Udq=QU1+（-Q）U2=Q∆U2222V

1Q11=Q（-）24πε0R1R2

带电系统的静电能或电场能量总大于零。

四、小测验

1.平行板电容器，极板面积为S，极板间距为d，极板间充满均匀电介质（相对电容率为εr），现将电容器接上电源充电，设两个极板间电压为U，求：

（1）电容器的电容；

（2）电容器极板上的电量；

（3）极板间的电位移D和场强E；

（4）介质表面的极化电荷面密度；

（5）带电电容器的总电能；

（6）切断电源，把电介质从极板间抽出外力所做的功；

（7）不切断电源，把电介质从极板间抽出外力所做的功。