新教材高中数学必修一第一章 122 全称量词命题与存在量词命题的否定.docx
《新教材高中数学必修一第一章 122 全称量词命题与存在量词命题的否定.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材高中数学必修一第一章 122 全称量词命题与存在量词命题的否定.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
新教材高中数学必修一第一章122全称量词命题与存在量词命题的否定
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
学习目标 1.掌握命题的否定的概念，能够对一个命题进行否定.2.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
知识点一 命题的否定
1．定义：
一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“綈p”，读作“非p”或“p的否定”．
2．命题p与其否定綈p的真假关系．
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．
知识点二 含量词的命题的否定
p
綈p
结论
全称量词命题∀x∈M，q（x）
∃x∈M，綈q（x）
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题∃x∈M，p（x）
∀x∈M，綈p（x）
存在量词命题的否定是全称量词命题
思考 用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
答案 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
1．命题与命题的否定的真假相反．（ √ ）
2．∃x∈M，p（x）与∀x∈M，綈p（x）的真假性相反．（ √ ）
3．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．（ √ ）
4．“∃x∈R，|x|＝x”是假命题．（ × ）
一、全称量词命题的否定
例1 写出下列全称量词命题的否定：
（1）任何一个平行四边形的对边都平行；
（2）任何一个圆都是轴对称图形；
（3）∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
（4）可以被5整除的整数，末位是0.
解
（1）其否定为：
存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
（2）其否定为：
存在一个圆不是轴对称图形．
（3）其否定为：
∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
（4）其否定为：
存在被5整除的整数，末位不是0.
反思感悟 全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的命题可补上全称量词后进行否定．
跟踪训练1 写出下列全称量词命题的否定：
（1）p：
每一个三角形的三个顶点共圆；
（2）q：
所有自然数的平方都是正数；
（3）s：
任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
（4）r：
对任意实数x，x2＋5≥0.
解
（1）綈p：
存在一个三角形，它的三个顶点不共圆．
（2）綈q：
有些自然数的平方不是正数．
（3）綈s：
存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
（4）綈r：
存在实数x，使得x2＋5<0.
二、存在量词命题的否定
例2 写出下列命题的否定：
（1）有些四边形有外接圆；
（2）某些平行四边形是菱形；
（3）∃x∈R，x2＋1<0.
解
（1）所有的四边形都没有外接圆；
（2）所有平行四边形都不是菱形；
（3）∀x∈R，x2＋1≥0.
反思感悟 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．
跟踪训练2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：
（1）有些实数的绝对值是正数；
（2）∃x，y∈Z，使得
x＋y＝3.
解
（1）命题的否定：
“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．
（2）命题的否定：
“∀x，y∈Z，
x＋y≠3”．
∵当x＝0，y＝3时，
x＋y＝3，
∴命题的否定是假命题．
三、全称量词命题、存在量词命题的否定的综合应用
例3 已知命题p：
∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围．
解 因为綈p为假命题，所以命题p：
∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，即二次函数y＝x2－2x＋m＋5的图像恒在x轴上方，所以Δ＝（－2）2－4（m＋5）<0，即m>－4，故实数m的取值范围为{m|m>－4}．
延伸探究
如果把本例改成：
已知命题p：
∃x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围．
解 因为綈p为假命题，所以命题p：
∃x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，即二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图像的最高点在x轴上方，即图像与x轴有两个交点，所以Δ＝22＋4（m－5）>0，即m>4，故实数m的取值范围为{m|m>4}．
反思感悟
（1）注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化．
（2）对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题．
跟踪训练3 已知命题p：
∃x∈R，x2＋2（a－1）x＋a2≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 方法一 若命题p：
∃x∈R，x2＋2（a－1）x＋a2≤0是真命题，得Δ＝4（a－1）2－4a2≥0，
即－2a＋1≥0，∴a≤
.，若命题p是假命题，则a>
.
方法二 依题意，命题綈p：
∀x∈R，x2＋2（a－1）x＋a2>0是真命题，得Δ＝4（a－1）2－4a2<0，即a>
.
1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0
C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0
答案 C
解析 量词∀x∈R改为∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”．
2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是（ ）
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
答案 C
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．
3．对下列命题的否定说法错误的是（ ）
A．p：
能被2整除的数是偶数；綈p：
存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：
有些矩形是正方形；綈p：
所有的矩形都不是正方形
C．p：
有的三角形为正三角形；綈p：
所有的三角形不都是正三角形
D．p：
∃n∈N,2n≤100；綈p：
∀n∈N,2n>100.
答案 C
解析 “有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：
“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．
4．命题“存在x∈R,3x≥0”的否定是________．
答案 对任意的x∈R,3x<0
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，故“存在x∈R,3x≥0”的否定是“对任意的x∈R,3x<0”．
5．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________________________________．
答案 存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
解析 由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．
1．知识清单：
（1）全称量词命题、存在量词命题的否定．
（2）全称量词命题、存在量词命题的否定的综合应用．
2．方法归纳：
转化法、分离参数法．
3．常见误区：
否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．
1．设命题p：
∀x∈R，x2＋1>0，则綈p为（ ）
A．∃x∈R，x2＋1>0B．∃x∈R，x2＋1≤0
C．∃x∈R，x2＋1<0D．∀x∈R，x2＋1≤0
答案 B
解析 命题p：
∀x∈R，x2＋1>0，是一个全称量词命题，
∴綈p：
∃x∈R，x2＋1≤0.
2．（多选）对下列命题的否定，其中说法正确的是（ ）
A．p：
∀x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：
∃x≥3，x2－2x－3<0
B．p：
存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：
每一个四边形的四个顶点共圆
C．p：
有的三角形为直角三角形；p的否定：
有的三角形不是直角三角形
D．p：
∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：
∀x∈R，x2＋2x＋2>0
答案 ABD
解析 若p：
有的三角形为直角三角形，则p的否定：
所有的三角形都不是直角三角形．
3．命题p：
∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为（ ）
A．∀x∈N，x3≤x2B．∃x∈N，x3>x2
C．∃x∈N，x3答案 D
解析 命题p：
∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题，
∴綈p：
“∃x∈N，x3≤x2”．
4．（多选）下列命题的否定为真命题的是（ ）
A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
B．∀x∈R，x3<1
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．某些梯形的对角线互相平分
答案 ABCD
解析 对于选项A，因为x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1>0，所以∃x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；
对于选项B，因为当x≥1时，x3≥1，所以∀x∈R，x3<1是假命题，故其否定为真命题；
对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；
对于选项D，任意一个梯形的对角线都不互相平分，所以这是假命题，因此其否定是真命题．
5．命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，＋∞），则实数a的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案 B
解析 由题意知原命题的否定是真命题，即∀x∈R，都有x2＋2x＋m>0是真命题．由Δ＝4－4m<0，得m>1，∴a＝1.
6．“至少有2个人”的否定为__________，“至多有2个人”的否定为_____．
答案 至多有1人 至少有3个人
解析 “至少有2个人”意思是多于或等于两个人，所以它的反面是有一个或者零个，也就是至多1人．“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有2个人”的否定为“至少有3个人”．
7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________________．
答案 对任意x∈R，x2＋2x＋5≠0
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．
8．若命题“∃x<2020，x>a”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 [2020，＋∞）
解析 由于命题“∃x<2020，x>a”是假命题，因此其否定“∀x<2020，x≤a”是真命题，所以a≥2020.
9．写出下列命题的否定，并判断否定的真假．
（1）∀x∈R，x2>0；
（2）∃x∈R，x2＝1；
（3）∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；
（4）等腰梯形的对角线垂直．
解
（1）命题的否定：
∃x∈R，使x2≤0，
因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．
（2）命题的否定：
∀x∈R，使x2≠1，
因为x＝1时，x2＝1，
所以命题的否定为假．
（3）命题的否定：
∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假．
（4）命题的否定：
存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．
10．已知命题p：
∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且綈p是假命题，求实数a的取值范围．
解 因为綈p是假命题，所以p是真命题，
又∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，
所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}，
则
解得－3≤a≤1，
即实数a的取值范围是－3≤a≤1.
11．（多选）下列命题的否定是真命题的为（ ）
A．p1：
每一个合数都是偶数
B．p2：
两条平行线被第三条直线所截内错角相等
C．p3：
有些实数的绝对值是正数
D．p4：
所有平行四边形都是菱形
答案 AD
解析 因为p1为全称量词命题，且是假命题，则綈p1是真命题．命题p2，p3均为真命题，所以綈p2，綈p3都是假命题，p4是全称量词命题，是假命题，綈p4为真命题．
12．已知命题“∃x∈R，使4x2＋（a－2）x＋
＝0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，0）B．[0,4]
C．[4，＋∞）D．（0,4）
答案 D
解析 ∵命题“∃x∈R，使4x2＋（a－2）x＋
＝0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2＋（a－2）x＋
≠0”是真命题，
即判别式Δ＝（a－2）2－4×4×
<0，
即Δ＝（a－2）2<4，则－2即013．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2（a－1）x＋2a＋6＝0”的否定是_____________
____________.
答案 所有正实数x都不满足方程x2＋2（a－1）x＋2a＋6＝0
解析 把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．
14．已知命题p：
任意x∈R，x2＋2ax＋a2＋a＋1>0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是____________．
答案 （－∞，－1]
解析 若命题p为假命题，则綈p：
∃x∈R，x2＋2ax＋a2＋a＋1≤0为真命题，则Δ＝4a2－4（a2＋a＋1）≥0，
∴a的取值范围是a≤－1.
15．某中学开展小组合作学习模式，高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：
若命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：
若命题“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？
________.（填“是”“否”中的一种）
答案 是
解析 ∵命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”的否定是“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”．
而命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”是假命题，则其否定“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”为真命题．
∴两位同学题中m的取值范围是一致的．
16．已知命题p：
∀x∈[1,3]，都有m≥x，命题q：
∃x∈[1,3]，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围．
解 由题意知命题p，q都是真命题．
由∀x∈[1,3]，都有m≥x成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由∃x∈[1,3]，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．
升级会员 