平均数.docx
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平均数
五年级上学期奥数教案
第二讲平均数数问题
第一课时
教学内容:
平均数的概念及基本关系式
教学目的:
通过教学使学生进一步掌握平均数的概念,并掌握平均数问题的基本关系式。
且能运用关系式解题。
教学重点:
三个基本关系式
教学难点:
灵活运用三个基本关系式解题。
教学过程:
一、理解平均数的概念
1、用演示法,通过教具的演示,让学生感知平均数的概念。
2、强调“总数不变,移多补少”。
3、概念:
把几个不相等的数,在总数不变的条件下,通过“移多补少”使它们完全相等,求得的数就是平均数。
4、小明有20元钱,小华有10元钱,小彬有24元钱,他们三人平均每人有多少元钱?
二、推导三个关系式
1、平均数=总数量÷总份数
2、总数量=平均数×总份数
3、总份数=总份量÷平均数
三、讲授例题
例1第一小组在一次考试中,5个男生的平均成绩是92分,3个女生的平均成绩是96,第一小组这次考试的平均分是多少?
让学生分析已知条件和要求的问题。
紧扣关系式。
例2把5个数从小到大排列,其平均数是38,前三个数的平均数是27,后三个数的平均数是48。
中间一个数是多少?
本题先让学生尝试做,再在学生的思路上进行小结。
四、课堂小结
解平均数问题应用题,一定要找准三个量:
总数、总份数、平均数。
然后根据三个量的关系式去解题。
五、练习作业
1、甲、乙、丙三有的平均年龄是22岁,如果甲、乙的平均年龄是18岁,乙、丙的平均年龄是25岁,那么乙的年龄是多少岁?
2、十名参赛队员平均分为82分,前6人的平均分是83分,后6人的平均分是80分,那么第五名和第六名的平均分是多少分?
课后小记
第二课时
教学内容:
求所改变的数的大小
教学目的:
通过教学,使学生能抓住平均数的数量关系,掌握解答改变其中一个数使平均数发生变化一类的平均数问题。
教学重点:
抓住平均数的数量关系。
学会解题思路。
教学难点:
灵活运用已知条件,抓住关系式进行解题。
教学过程:
一、复习平均数问题的三个数量关系式。
二、探索新知
例3五个数的平均数是18,把其中的一个数改为6以后,这五个数的平均数是16,这个改动的数原来是多少?
本题重在抓住两次的平均数,求出两次的总数,然后比较两次总数的差。
难点在于求出差后是在改后的数字上加差还是减差。
原来这五个数的总和是18×5=90
改动后五个数的总和是16×5=80
改支后五个数的总和少了90—80=10
改动的数原来是6+10=16
答:
这个改动的数原来是16。
例4一位同学在其中测试中,除了数学外,其它几门功课的平均成绩是94分,如果数学成绩算在内,平均成绩是95分,已知他数学得100分。
问这位同学一共考了多少门功课?
本题重在抓住“移多补少”。
数学“移出”多少分,每门功课分了几分,然后再求出有几门功课。
数学移出了100—95=5(分)
每门功课提高了85—94=1(分)
除数学外有几门功课5÷1=5(门)
一共有几门功课5+1=6(门)
答:
这位同学一共考了6门功课。
三、课堂小结(略)
四、练习作业
1、某三个数的平均数是2,如果把其中一个数改为4,平均数就变成了3。
被改动的数原来是多少?
2、甲、乙、丙、丁四位同学,在一次考试中四人的平均成绩是90分。
可是,甲在抄分数时,把自己的分数错抄成了87分,因此算得四人的平均分为88分。
求甲在这次考试中得了多少分?
3、五
(1)班同学数学考试的平均成绩是91.5分,事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作了89分计算了。
经重新计算后,全班的平均成绩是91。
7分。
五
(1)班有几名同学?
4、小明前几天数学测试平均成绩是84分,这次要考100分才能把平均成绩提高到86分,问,这是他第几次测试?
5、老师带着几个同学在做花,老师做了21朵,同学平均每人做了5朵。
如果师生合起来算,正好平均每人做7朵,求有多少个同学在做花?
6、小明前五次数学考试的平均成绩是88分。
为了使平均成绩达到92.5分,小明要连续考多少次满分?
课后小记
第三课时
教学内容:
求部分数的平均数应用题
教学目的:
使学生进一步灵活运用平均数问题的数量关系解决实际问题.提高学生的解题能力。
教学重点:
培养学生灵活运用知识的能力。
教学难点:
培养学生灵活运用知识的能力。
教学过程:
一、回顾已学过的平均数应用题的有关知识。
二、探索新知
例5一次数学测试,全班平均数是91.2分,已知男生的平均分是90.5分,女生21人,平均分是92分。
求这个班的男生人数。
女生平均每人比全班平均每人高92-91.2=0.8(分)
女生移出了0.8×21=16.8(分)
男生平均每人提高91.2—90.5=0.7(分)
男生有16.8÷0.7=24(人)
答:
这个班男生有24人。
三、课堂小结
一个总体由两个部分组成,知道总体的平均数,又知道其中一个部分的份数与平均数,还知道另一个部分的份数或平均数,求另一个部分的平均数或者份数。
拿总的平均数作为参照,“移多”的部分与“补少”的部分是相同的。
四、练习作业
1、两组学生进行跳绳比赛,平均每人152下。
甲组有6人,平均每人跳140下,乙组平均每人跳160下,乙组有多少人?
2、有两块棉田,平均每公亩产量是92。
5千克,已知一块田是5公亩,平均每公亩的产量是101。
5千克,另一块田平均每公亩产量是85千克。
另一块田是多少公亩?
3、把甲级和乙级糖混在一起,平均每千克卖7元。
已知甲级糖有4千克,平均每千克8元,乙级糖有2千克,平均每千克多少元?
课后小记
第四课时
教学内容:
用和差方法解的平均数应用题
教学目的:
通过教学,使学生能结合和差问题的解题方法,解平均数应用题。
巩固和差问题的解题方法。
教学重点:
结合和差问题的解题方法解题
教学难点:
利用题中已知条件,找出和差关系。
教学过程:
一、复习和差问题的应用题。
甲、乙两数的和是27,甲、乙两数的差是9,甲乙两数分别是多少?
二、巩固和差问题的解题的几个关系式
(和+差)÷2=较大数
(和-差)÷2=较小数
三、学习新知
例6有4箱水果,已知苹果、梨、桔子平均每箱42个,梨、桔子、桃平均每箱36个。
苹果和桃平均每箱37个。
求一箱苹果多少个?
一箱桃多少个?
把条件娈成算式:
1箱苹果+1箱梨+1箱桔子=42×3=126(个)
1箱桃+1箱梨+1箱桔子=36×3=108(个)
1箱苹果+1箱桃=37×2=74(个)
从前面两个条件中可以得:
1箱苹果-1箱桃=126-108=18(个)
用和差问题解题,求出苹果和桃每箱的重量。
让学生列算式解答。
四、练习作业
1、一次考试,甲、乙、丙三人平均分91分,乙、丙、丁三人平均分89分,甲、丁两人的平均分95分。
问:
甲、乙各得多少分?
2、甲、乙、丙、丁四人称体重,乙、丙、丁三人共重120千克,甲、丙、丁三人共重126千克,丙、丁二人的平均体重40千克。
求四人的平均体重是多少千克?
3、甲、乙、丙三个小组的同学去植树,甲、乙两组平均每组植树18棵,甲、丙两组平均每组植树17棵,乙、丙两组平均每组植树19棵。
三个小组各植树多少棵?
五、课堂小结(略)
课后小记
第五课时
教学内容:
用假设方法解的平均数应用题
教学目的:
通过教学,使学生能结合用假设法解平均数应用题。
巩固用假设法解题的解题方法。
教学重点:
结合假设法解平均数应用题
教学难点:
假设的方法。
即在什么情况下用假设法解题。
教学过程:
一、探究新知
例7一段山路,一辆汽车山脚往山顶,每小时行30千米,到从山顶后又沿原路返回,每小时行40千米。
这辆汽车走这段路的平均速度是多少?
学生尝试解题。
平均速度能不能是(30+40)÷2=35千米/小时?
为什么?
紧紧扣住:
平均速度=总路程÷总时间
假设,从山脚到山顶为120千米,
总路程是120×2=240(千米)
总时间是120÷30+120÷4=7(小时)
平均速度240÷7=34
(千米/小时)
答:
这辆汽车走这段路的平均速度是每小时34
千米。
把路程另外改成一个数看得数。
推广到任何数:
改设从山脚到山顶为X千米,
总路程是2X千米
总时间是X÷30+X÷40=
(小时)
平均速度2X÷
=2X×
=34
(千米/小时)
4、王强从A地到B地,先骑自行车行完全程的一半,每小时行12千米,剩下的步行,每小时走4千米。
王强行完全程的平均速率是多少千米?
学生尝试做。
本题的解题关键在何处。
让学生自己找出。
解略
二、练习作业
1、小明去爬山,上山时每小时行3千米,原路返回每小时行5千米。
求小时往返的平均速度?
2、运动员进行长跑训练,他在前一半的路程中每分钟跑150米,后一半路程中每分钟跑100米,求他在整个长跑过程中的平均速度。
3、把一份书稿平均分给甲、乙二人打,甲每分钟打30个字,乙每分钟打20个字。
打这份书稿平均每分钟打多少个字?
三、课堂小结
用假设法解平均数问题应用题,一是要抓住平均数问题的数量关系式,二是要能巧妙地假设一个数。
如果用设数法来解,这个数最好是两个数的公倍数,以利于解题。
课后小记
第六课时
教学内容:
与流水问题结合的平均数应用题
教学目的:
通过教学,使学生能结合解流水问题的方法,解平均数应用题。
巩固流水问题应用题的解题方法。
教学重点:
结合流水问题解平均数应用题
教学难点:
灵活运用知识的能力
教学过程:
一、复习流水问题
1、流水问题的几个名词及关系
水速船速(静水速度)逆水速度顺水速度
逆水速度=船速+水速
顺水速度=船速-水速
2、例题
一艘汽船在静水中的速度是每小时30千米,现在这艘船在水速为每小时8千米的河中逆水航行。
问这艘船现在的速度是每小时多少千米?
二、探究新知
例8两地相距360千米,一艘汽艇顺水行全程需要10小时。
已知这条河的水流速度是每小时6千米。
这艘汽艇往返两地的平均速度是每小时多少千米?
要求往返的平均速度,必须知道总路程与总时间。
总路程为360×2千米
顺水行全程的时间已经知道是10小时,逆水行全程的时间不知道。
要求逆水行全程的时间,知道路程,还要知道速度。
可以通过先求出顺水速度再求出逆水速度。
解:
汽艇的顺水速度360÷10=36(千米)
汽艇的静水速度36-6=30(千米)
汽艇的逆水速度30-6=24(千米)
汽艇的逆水时间360÷24=15(小时)
往返的平均速度360×2÷(10+15)
=720÷25
=28.8(千米)
答:
这艘汽艇往返两地的平均速度是每小时28.8千米。
三、练习作业
1、甲、乙两个码头相距144千米,汽船从乙码头逆水行驶8小时到达甲码头,已知汽船在静水中每小时航行21千米。
求汽船从甲码头顺流航行几小时可以到达乙码头?
2、一艘客轮从甲港驶向乙港,全程要行165千米。
已知客轮的静水速度是每小时30千米,水速每小时3千米。
现在正好是顺流而行,行完全程要几小时?
3、甲船逆水航行300千米需要15小时,返回原地需要10小时;乙船逆水航行同样一段水路需要20小时,返回原地需要多少小时?
四、课堂小结(略)
课后小记
第七课时
教学内容:
与等差数列结合的平均数应用题
教学目的:
通过教学,使学生能结合等差数列的有关知识,解平均数应用题。
巩固等差数列的有关知识。
教学重点:
结合等差数列的知识解平均数应用题
教学难点:
灵活运用知识的能力
教学过程:
一、复习等差数列有关知识
什么叫等差数列?
等差数列的求和公式和=(首项+末项)×项数÷2
求末项末项=首项+公差×(项数-1)
等差数列的平均数=(首项+末项)÷2
二、探究新知
例9下面一串数是一个等差数列:
2,5,8,……,212。
这串数的平均数是多少?
(2+212)÷2=107
答:
这串数的平均数是107。
例10以5为首的连续50个奇数的平均数是多少?
先求末项5+2×(50-1)=93
再求平均数(5+83)÷2=44
答:
以5为首的连续50个奇数的平均数是44。
三、练习作业
1、求等差数列3,7,11,……,643的平均数。
2、以2为首的连续52个自然数的平均数是多少?
3、有四个数,从第二个数起,每个都比前一个数大3。
已知这四个数的平均数是24.5。
其中最大的一个数是多少?
四、课堂小结(略)
说明:
新生没有学过等差数列的。
这一节课只能讲这些。
对于等差数列过关的学生(班级),上面的题除第3题外其余很简单。
可做《举一反三》A版的第8页到第9页上的习题。
课后小记
第八课时
教学内容:
综合性的平均数应用题
教学目的:
通过教学提高学生解平均数应用题能力。
教学重点:
解平均数应用题的能力
教学难点:
灵活运用知识的能力
教学过程:
一、铺垫引新
二、探究新知
例11小芳与四名同学一起参加一次数学竞赛,那四位同学的成绩分别是78分、91分、82分、79分,小芳的成绩比五人的平均成绩高6分。
求小芳的数学成绩。
四位同学的平均分是 (78+91+82+79)÷4=82.5(分)
小芳拿出6分,每人提高6÷4=1.5(分)
五人的平均成绩是82.5+1.5=84(分)
小芳的成绩是84+6分=90(分)
答:
小芳的数学成绩是90分。
例12小亮在期末考试中,政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89分,政治、数学的平均成绩是91.5分,语文、英语两余的平均成绩是84分,政治、英语两科的平均成绩是是86分,英语比语文多10分。
小亮的各科成绩是多少分?
语文与英语的和84×2=168(分)
语文与英语的差10分
语文(168-10)÷2=79(分)
英语(168+10)÷2=89(分)
政治与英语的和86×2=172(分)
政治172-89=83(分)
政治与数学的和91.5×2=183(分)
数学183-83=100(分)
自然89×5-79-89-83-100=94(分)
或89×5-(79+89+83+100)=94(分)
答:
小亮的语文79分,英语89分,政治83分,数学100分。
三、练习作业
1、一个技术工带5个普通工人完成一项任务,每个普通工人各得120元,这位技术工的收入比他们6人的平均收入还多20元,问这位技术员得多少元?
2、小华读一本书,第一天读83页,第二天读74页,第三天读71页,第四天读64页,第五天读的页数比这五天的平均数多3。
2页。
小华第五天读多少页?
3、甲、乙、丙三个数的平均数是82,甲、乙两数的平均数是86,乙丙两数的平均数是77。
乙数是多少?
甲、丙两数的平均数是多少?
4、小华的前几次数学测试的平均数是80,这一次得了100分,正好把前几次的平均数提高到85分。
这一次是他第几次测验?
四、课堂小结(略)
五、拓展练习
1、两组同学跳绳,第一组有25人,平均每人跳80下,第二组有20人,平均每人比两组同学跳的平均数多5下,两组同学平均每人跳多少下?
2、五个数排成一排,平均数是9,如果前四个数的平均数是7,后四个数的平均数是10,那么,第一个数和第五个数的平均数是多少?
课后小记