人教版八年级数学上册课堂练习 第十三章 133 等腰三角 第三课时.docx

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人教版八年级数学上册课堂练习第十三章133等腰三角第三课时

课时训练

1.如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=AC，则∠A的度数为（　　）

A.90°B.80°C.60°D.30°

2.如图，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（　　）

A.180°B.220°

C.240°D.300°

3.下列条件能够判断一个三角形是等边三角形的有（　　）

①有两个角是60°的三角形；

②三条边相等的三角形；

③有一个角是60°的等腰三角形；

④三条高相等的三角形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB=5，BD=3，则△ADE的周长为（　　）

A.2B.6C.9D.15

5.如图，六边形ABCDEF中，每一个内角都是120°，AB=12，BC=30，CD=8，DE=28.则这个六边形的周长为（　　）

A.125B.126C.116D.108

6.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC=60°，∠ECD=40°，则∠ABE=（　）

A.10°B.15°C.20°D.25°

7.如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D，若△BCD是等边三角形，∠A=20°，则∠1=　　.

8.如图，AD是等边△ABC的中线，E是AC上一点，且AD=AE，则∠EDC=　　.

9.一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距　　海里.

10.如图，一束平行太阳光照射到等边三角形上，若∠α=28°，则∠β=　　.

第10题图

11.如图，在△ABC中，AB=3，BC=5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为　　.

第11题图

12.如图，△ABC是等边三角形，BD为AC边上的中线，点E在BC的延长线上，连接DE，若CE=2，∠E=30°，则线段BC的长为　　.

13.如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，则下列结论：

①AE=BD；②AG=BF；③FG=CG；④∠BOC=∠EOC;⑤FG∥BE.其中结论正确的是　

　（只填序号）.

14.如图，已知等边△ABC，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P，若AE=CF.

（1）求证：

AF=BE；

（2）求∠APB的度数.

15.如图，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB，AE∥CD，交BC的延长线于点E.求证：

△ACE为等边三角形.

16.如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形.

（1）求证：

AB∥CQ.

（2）AQ与CQ能否互相垂直?

若能互相垂直，指出点P在BC上的位置，并给予证明；若不能互相垂直，请说明理由.

17.如图，已知AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E.

（1）求证：

AD=AE；

（2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由.

18.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α.以OC为一边作等边△OCD，连接AC，AD.

（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（2）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

19.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA.

（1）求证：

DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：

ME=BD.

答案：

1.C

2.C

3.D

4.B

5.C

6.C

7.40°

8.15°

9.80

10.32°

11.2

12.4

13.①②③④⑤

14.

（1）证明：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠C=∠BAC=60°，

AB=AC.

又∵AE=CF，

∴△AFC≌△BEA（SAS），

∴AF=BE.

（2）解：

由

（1）知△AFC≌△BEA，

∴∠ABE=∠CAF.

∵∠BPF=∠ABP+∠BAF，

∴∠BPF=∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°，

∴∠APB=180°-∠BPF=120°.　

15.

证明：

∵∠ACB=120°，

∴∠ACE=60°.

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD=60°.

∵AE∥CD，

∴∠CAE=∠DCA=60°，∠E=∠BCD=60°.

∴∠E=∠ACE=∠CAE=60°.

∴△ACE为等边三角形.　

16.

（1）证明：

∵△ABC，△APQ为等边三角形，

∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=∠ACB=∠B=60°，

∴∠BAP=∠CAQ，∴△ABP≌△ACQ（SAS），

∴∠ACQ=∠ABP=60°，∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=120°，

∴∠B+∠BCQ=180°，∴AB∥CQ.

（2）解：

AQ与CQ能互相垂直，点P在BC的中点处.

证明如下：

∵△ABC为等边三角形，点P是BC的中点，

∴AP⊥BC，∴∠APB=90°.

由

（1），得△ABP≌△ACQ，∴∠AQC=∠APB=90°，

∴AQ⊥CQ.　

17.

（1）证明：

如答图，∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°.

∵AE⊥AB，

∴∠E=90°=∠ADB.

∵AB平分∠DAE，

∴∠1=∠2.

在△ADB和△AEB中，

∴△ADB≌△AEB（AAS），∴AD=AE.

（2）解：

△ABC是等边三角形.理由：

∵BE∥AC，

∴∠EAC=90°.

∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴∠1=∠2=∠3=30°，

∴∠BAC=∠1+∠3=60°，

∴△ABC是等边三角形.

18.

解：

（1）△AOD是直角三角形.理由：

∵△OCD是等边三角形，∴OC=CD.

∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC.

∵∠ACB=∠OCD=60°，∴∠BCO=∠ACD.

在△BOC与△ADC中，

∴△BOC≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC.

而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，

∴∠ADO=150°-60°=90°，

∴△AOD是直角三角形.

（2）设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，

则a+b=60°，b+c=180°-110°=70°，c+d=60°，

∴b-d=10°，∴（60°-a）-d=10°，

∴a+d=50°，即∠DAO=50°.

①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，

∴190°-α=α-60°，∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，

∴α-60°=50°，∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，

∴190°-α=50°，∴α=140°.

综上，当α为110°，125°，140°时，△AOD是等腰三角形.　

19.

证明：

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠ABC=45°.

∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，

∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上.

∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，

即直线CD是AB的垂直平分线，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CDE=15°+45°=60°，

∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°，

∴∠CDE=∠BDE，

即DE平分∠BDC.

（2）如图，连接MC.

∵DC=DM，且∠MDC=60°，

∴△MDC是等边三角形，即CM=CD，

∠DMC=∠MDC=60°.

∵∠ADC+∠MDC=180°，

∠DMC+∠EMC=180°，

∴∠EMC=∠ADC.

又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM.

在△ADC与△EMC中，

∴△ADC≌△EMC（AAS），∴ME=AD=BD.