2.已知(-1+3i)(2-i)=4+3i(其中i是虚数单位,是z的共轭复数),则z的虚部为()
A.1B.-1C.iD.-i
3.已知命题p:
∃x∈(-∞,0),2x<3x;命题q:
∀x∈π2,tanx>sinx,则下列命题为真命题的是()
A.p∧qB.p∨(
q)C.(
p)∧qD.p∧(
q)
4.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点,则OA→+OB→+OC→+OD→等于()
A.OM→B.2OM→C.3OM→D.4OM→
5。
.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是()
A.2,-π3B.2,-π6
C.4,-π6D.4,π3
6.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:
①y与x负相关且
=2。
347x-6.423;②y与x负相关且
=-3。
476x+5。
648;
③y与x正相关且
=5。
437x+8.493;④y与x正相关且
=-4.326x-4。
578.
其中一定不正确的结论的序号是()
A.①②B.②③
C.③④D.①④
7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥外接球的表面积是
A.
B.
C.
D.
8.设x,y满足x-y≥1,x-2y≤2,则z=x+y()
A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值
C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值
9.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,则S10的值为().
A.-110B.-90C.90D.110
10.某程序框图如图所示,若输出的k的值为3,则输入的x的取值范围为()
A.[15,60)B.(15,60]C.[12,48)D.(12,48]
11。
若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是()
A。
32B。
3,+∞C.12D。
1,+∞
12.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,S1,S2,S4成等比数列,且a3=-52,则数列1an的前n项和Tn=()
A.-n2n+1B。
n2n+1C.-2n2n+1D.2n2n+1
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题~23题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.双曲线Γ:
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10,焦点到渐近线的距离为3,则Γ的实轴长等于________.
14.已知
则不等式
的解集为
15。
设a>b>1,
,给出下列三个结论:
1
>
;②
<
;③
,其中所有的正确结论的序号是(填上所有正确答案的序号。
)
16.已知
圆
上存在点
,满足条件
,则实数
的取值范围为__________.
三。
解答题
17.(本小题满分12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2B+cosB=1-cosAcosC.
(1)求证:
a,b,c成等比数列;
(2)若b=2,求△ABC的面积的最大值.
18.(本小题满分12分)某高校共有学生15000人,其中男生10500人,女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:
小时).
(1)应收集多少位女生的样本数据?
(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图14所示),其中样本数据的分组区间为:
[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.
图14
(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
P(K2≥k0)
0.10
0。
05
0.010
0.005
k0
2.706
3。
841
6.635
7.879
附:
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.
(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
(2)设
(1)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1QC1D的体积.(锥体体积公式:
V=13Sh,其中S为底面面积,h为高)
20。
(本小题满分12分)已知椭圆C:
x2+2y2=4.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.
21。
(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+52x2+ax+b(a,b为常数),其图象是曲线C.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;
(2)设函数f(x)的导函数为f′(x),若存在唯一的实数x0,使得f(x0)=x0与f′(x0)=0同时成立,求实数b的取值范围.
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得曲线Γ.
(1)写出Γ的参数方程;
(2)设直线l:
3x+2y-6=0与Γ的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
23.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|。
(1)若f(x)<b的解集为{x|-1<x<2},求实数a、b的值;
(2)若a=2时,不等式f(x)+m≥f(x+2)对一切实数x均成立,求实数m的取值范围.
天水市一中2015级2017—2018学年度第二学期第一次模拟考试
数学答案
1.解:
图中阴影部分表示集合∁UM与集合N的交集,∵∁UM={x|x≤2},N={x|1<x<3},∴(∁UM)∩N={x|1<x≤2}.故选C。
2.解析:
选A。
因为=4+3i2-i+1-3i=(4+3i(2-i+1-3i=1+2i+1-3i=2-i,所以z=2+i,z的虚部为1,故选A。
3.解析:
选C。
根据指数函数的图象与性质知命题p是假命题,则綈p是真命题;根据单位圆中的三角函数线知命题q是真命题,故选C.
4.解析:
选D.因为M是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点,所以OA→+OC→=2OM→,OB→+OD→=2OM→,所以OA→+OB→+OC→+OD→=4OM→,故选D。
5。
解:
由图可知,T2=11π12-5π12=π2,T=π,ω=2πT=2。
∵点5π,2在图象上,∴2·5π12+φ=π2+2kπ,φ=-π3+2kπ,k∈Z。
又-π2<φ<π2,∴φ=-π3。
故选A。
6.解:
当y与x正相关时,应满足斜率大于0;当y与x负相关时,应满足斜率小于0,故①④一定不正确.故选D.
7案:
B提示:
四棱锥的底面垂直与水平面。
8。
解:
画出不等式表示的平面区域,如图,由z=x+y,得y=-x+z,令z=0,画出y=-x的图象,当它的平行线经过A(2,0)时,z取得最小值为zmin=2+0=2,由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区域,y=-x+z向右上方移动时,z=x+y也趋于无穷大,所以z=x+y无最大值,故选B.
9.D.解析[a7是a3与a9的等比中项,公差为-2,所以a27=a3·a9,所以a27=(a7+8)(a7-4),所以a7=8,所以a1=20,所以S10=10×20+10×92×(-2)=110。
]
10.解析:
选B.根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果,可得不等式组x-3≤3,解得15<x≤60,故选B.
11。
解:
∵f′(x)=4x-1x=(2x-1)(2x+1)x(x>0),∴当x∈12时,f(x)单调递减;当x∈1,+∞时,f(x)单调递增.由题意知1,解得1≤k<32.故选A。
12.解析:
选C。
设{an}的公差为d,S1=a1,S2=2a1+d=2a1+a3-a12=32a1-54,S4=3a3+a1=a1-152,因为S1,S2,S4成等比数列,所以542=152a1,
整理得4a21+12a1+5=0,所以a1=-52或a1=-12。
当a1=-52时,公差d=0不符合题意,舍去;当a1=-12时,公差d=a3-a12=-1,
所以an=-12+(n-1)×(-1)=-n+12=-12(2n-1),
所以1(2n+1=-2(2n-1=-12n+1,所以其前n项和
Tn=-12n+1=-12n+1=-2n2n+1,故选C.
13.解析:
双曲线的焦点(0,5)到渐近线y=abx,即ax-by=0的距离为|5b|a2+b2=5bc=b=3,所以a=4,2a=8。
答案:
8
14.【解析】
因为
所以
是偶函数。
所以
所以
变形为:
又
所以
在
单调递增,在
单调递减。
所以
等价于
15.【解析】由不等式及a>b>1知
,又
,所以
>
,①正确;由指数函数的图像与性质知②正确;由a>b>1,
知
,由对数函数的图像与性质知③正确。
填①。
②。
③
16。
【答案】
【解析】设
,因为
,圆
上存在点
,满足条件
,所以
即
,
所以点
在圆心为
半径为
的圆上,又点
在圆
上,所以圆
与圆
有公共点,
因为圆
的圆心
,半径为
,所以
所以
,
解得
或
,所以实数
的取值范围为
。
17.解:
(1)在△ABC中,cosB=-cos(A+C).由已知,得(1-sin2B)-cos(A+C)=1-cosAcosC,∴-sin2B-(cosAcosC-sinAsinC)=-cosAcosC,
化简,得sin2B=sinAsinC.由正弦定理,得b2=ac,∴a,b,c成等比数列.
(2)由
(1)及题设条件,得ac=4。
则cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac≥2ac-ac2ac=12,
当且仅当a=c时,等号成立.∵0<B<π,∴sinB=≤12=32。
∴S△ABC=12acsinB≤12×4×32=.∴△ABC的面积的最大值为。
18.。
解:
(1)300×450015000=90,所以应收集90位女生的样本数据.
(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1-2×(0。
100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0。
75。
(3)由
(2)知,300位学生中有300×0。
75=225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得K2=300×(165×30-45×60)275×225×210×90=10021≈4。
762〉3.841.
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
19。
解:
(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,∵l⊄平面A1BC,BC⊂平面A1BC,∴l∥平面A1BC.∵AB=AC,D是BC的中点,∴BC⊥AD.∴l⊥AD.∵AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥l.又∵AD∩AA1=A。
∴直线l⊥平面ADD1A1.
(2)过D作DE⊥AC于E,∵AA1⊥平面ABC,∴DE⊥AA1。
又∵AC,AA1⊂平面AA1C1C,且AC∩AA1=A,∴DE⊥平面AA1C1C.由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°.在△ACD中,DE=32AD=32,又S△A1QC1=12A1C1·AA1=1,∴VA1QC1D=VDA1QC1=13DE·S△A1QC1=13×32×1=36。
因此三棱锥A1QC1D的体积是36
20。
解:
(1)由题意,椭圆C的标准方程为x24+y22=1。
∴a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=。
故椭圆C的离心率e=ca=22.
(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:
设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.∵OA⊥OB,∴OA→·OB→=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0.当x0=t时,y0=-t22,代入椭圆C的方程,得t=±,
故直线AB的方程为x=±.圆心O到直线AB的距离d=,此时直线AB与圆x2+y2=2相切.
当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=y0-2x0-t(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0,
圆心O到直线AB的距离d=|2x0-ty0|(y0-2)2+(x0-t)2。
又x20+2y20=4,t=-2y0x0,故
d=
=
=,此时直线AB与圆x2+y2=2
21.解:
(1)当a=-2时,f′(x)=3x2+5x-2=(3x-1)(x+2).
令f′(x)<0,解得-2<x<13,所以f(x)的单调递减区间为13。
(2)f′(x)=3x2+5x+a,由题意知2030202+ax0+b=x0,
消去a,得2x30+52x20+x0-b=0有唯一解.令g(x)=2x3+52x2+x,则
g′(x)=6x2+5x+1=(2x+1)(3x+1),
所以g(x)在区间12,1,+∞上是增函数,在13上是减函数,
又g12=-18,g13=-754,故实数b的取值范围是754∪1,+∞。
22.解:
(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为Γ上的点(x,y),依题意,得x=2x1y=3y1,即y3.由x21+y21=1,得x22+y32=1.即曲线Γ的方程为x24+y29=1.故Γ的参数方程为x=2costy=3sint(t为参数).
(2)由=13x+2y-6=0,解得x=2y=0,或x=0y=3。
不妨设P1(2,0),P2(0,3),则线段P1P2的中点坐标为32,所求直线的斜率k=23。
于是所求直线方程为y-32=23(x-1),即4x-6y+5=0。
化为极坐标方程,得4ρcosθ-6ρsinθ+5=0。
23.解:
(1)∵|2x-a|<b,∴a-b2<x<a+b2,∵f(x)<b的解集为{x|-1<x<2},∴a+b=2,∴a=1b=3。
(2)由已知,得m≥f(x+2)-f(x)=|2x+2|-|2x-2|对一切实数x均成立,
又|2x+2|-|2x-2|≤|(2x+2)-(2x-2)|=4,∴m≥4.