ch6 真空中的静电场 习题及答案讲解.docx
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ch6真空中的静电场习题及答案讲解
第6章真空中的静电场习题及答案
1.电荷为q+和q2-的两个点电荷分别置于1=xm和1-=xm处。
一试验电荷置于x轴上何处,它受到的合力等于零?
解:
根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定,只有试验电荷0q位于点电荷q+的右侧,它受到的合力才可能为0,所以
2
00
200
1（π41（π42-=+xqqxqqεε故23+=x
2.电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点。
试问:
（1在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡（即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零?
（2这种平衡与三角形的边长有无关系?
解:
（1以A处点电荷为研究对象,由力平衡知,q'为负电荷,所以
20
2203
（π4130cosπ412aqqaq'=︒εε
故qq3
3
-
='（2与三角形边长无关。
3.如图所示,半径为R、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环,在其轴线上放一长为l、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段,该线段的一端处于圆环中心处。
求该直线段受到的电场力。
解:
先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。
在带电圆环上取dldq1λ=,dq在带电圆环轴线上x处产生的场强大小为
（4220Rxdq
dE+=πε
根据电荷分布的对称性知,0==zyEE
22
0
（41
cosRxxdq
dEdEx+=
=πεθ
式中:
θ为dq到场点的连线与x轴负向的夹角。
+=
22
0
（4dqRxx
Exπε
2210（24RxR
x
+⋅=
πλπε2201（2Rxx
R+=
ελ下面求直线段受到的电场力。
在直线段上取dxdq2λ=,dq受到的电场力大小为
dqEdFx=dxRxx
R22021（2+=
ελλ
方向沿x轴正方向。
直线段受到的电场力大小为
⎰=dFFRxx
Rl⎰+=
022021（ελλ2⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-
=
2/1220211
1RlRRελλ2方向沿x轴正方向。
4.一个半径为R的均匀带电半圆环,电荷线密度为λ。
求:
（1圆心处O点的场强;
（2将此带电半圆环弯成一个整圆后,圆心处O点场强。
解:
（1在半圆环上取ϕλλRdldq==d,它在O点产生场强大小为
20π4RdqdEε=
ϕελ
dR
0π4=,方向沿半径向外
根据电荷分布的对称性知,0=yE
ϕϕελ
ϕdR
dEdExsinπ4sin0=
=
R
dREx000
π2sinπ4ελ
ϕϕελπ
==⎰
故R
EEx0π2ελ
=
=,方向沿x轴正向。
（2当将此带电半圆环弯成一个整圆后,由电荷分布的对称性可知,圆心处电场强度为零。
5.如图所示,真空中一长为L的均匀带电细直杆,总电量为q
试求在直杆延长线
上距杆的一端距离为d的P点的电场强度。
解:
建立图示坐标系。
在均匀带电细直杆上取dxL
q
dxdq==λ,dq在P点产生的场强大小为
2
02044x
dx
xdqdEπελπε==
方向沿x轴负方向。
故P点场强大小为⎰⎰+==Ldd
Pxdx
dEE2
04πελ
Lddq
+π=
04ε
方向沿x轴负方向。
6.一半径为R的均匀带电半球面,其电荷面密度为σ,求球心处电场强度的大小。
解:
建立图示坐标系。
将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环,应用场强叠加原理求解。
在半球面上取宽度为dl的细圆环,其带电量rdldSdqπσσ2⋅=⋅=θθπσdRsin22⋅=,dq在O点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式
220
（4rxxdqdE+=
πε,方向沿x轴负方向
利用几何关系,θcosRx=,θsinRr=统一积分变量,得
2
2
0
（4rxxdqdE+=
πε
θθπσθ
πεdRRRsin2cos41
23
0⋅=θθθεσ
dcossin20
=
因为所有的细圆环在在O点产生的场强方向均沿为x轴负方向,所以球心处电场强度的大小为
⎰=dEEθθθεσπdcossin22
/0
⎰
=
4εσ=
方向沿x轴负方向。
7.一“无限大”平面,中部有一半径为R的圆孔,设平面上均匀带电,电荷面密度为σ,如图所示。
试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强。
解:
应用补偿法和场强叠加原理求解。
若把半径为R的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成,挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为σσ-='的半径为R的带电圆盘,由场强叠加原理知,P点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。
“无限大”带电平面在P点产生的场强大小为
12εσ
=
E,方向沿x轴正方向半径为R、电荷面密度σσ-='的圆盘在P点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式
022εσ
=
E1（22x
Rx+-,方向沿x轴负方向
故P点的场强大小为
2
2
0212x
Rx
EEE+=
-=εσ
方向沿x轴正方向。
8.（1点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量;（2如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少?
解:
（1由高斯定理0
dεq
SEs
=⋅求解。
立方体六个面,当q在立方体中心时,每个
面上电通量相等,所以通过各面电通量为
6εq
e=
Φ（2电荷在顶点时,将立方体延伸为边长a2的立方体,使q处于边长a2的立方体中心,则通过边长a2的正方形各面的电通量0
6εqe=
Φ
对于边长a的正方形,如果它不包含q所在的顶点,则0
24εq
e=Φ,如果它包含q所在顶点,则0=Φe。
9.两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为1σ和2σ,试求空间各处场强。
解:
如图所示,电荷面密度为1σ的平面产生的场强大小为
1
2εσ=
E,方向垂直于该平面指向外侧电荷面密度为2σ的平面产生的场强大小为
2
2εσ=
E,方向垂直于该平面指向外侧由场强叠加原理得
两面之间,（21
210
21σσε-=
-=EEE,方向垂直于平面向右1σ面左侧,（21
210
21σσε+=
+=EEE,方向垂直于平面向左2σ面右侧,（21
210
21σσε+=
+=EEE,方向垂直于平面向右10.如图所示,一球壳体的内外半径分别为1R和2R,电荷均匀地分布在壳体内,电荷体密度为ρ（0>ρ。
试求各区域的电场强度分布。
解:
电场具有球对称分布,以r为半径作同心球面为高斯面。
由高斯定理
∑=
⋅i
S
q
SdE0
1ε得
iqrE∑=
⋅0
214επ
当1Rr<时,0=∑iq,所以0=E
当21RrR<<时,3
434（3
13Rrqiππρ-=∑,所以
2
03133
（rRrEερ-=
2σ
1σ
当2Rr>时,3
434（3
132RRqiππρ-=∑,所以
2
031323
（r
RREερ-=11.有两个均匀带电的同心带电球面,半径分别为1R和2R（12RR>,若大球面的面电荷密度为σ,且大球面外的电场强度为零。
求:
（1小球面上的面电荷密度;（2大球面内各点的电场强度。
解:
（1电场具有球对称分布,以r为半径作同心球面为高斯面。
由高斯定理
∑=
⋅i
S
q
SdE0
1ε得
iqrE∑=
⋅0
214επ
当2Rr>时,0=E,0442
12
2=⋅'+⋅=∑RRqiπσπσ,所以
σσ2
1
2RR（
-='（2当1Rr<时,0=∑iq,所以0=E
当21RrR<<时,2
22
144RRqiπσπσ-=⋅'=∑,所以
22
εσ
rRE（
-=负号表示场强方向沿径向指向球心。
12.一厚度为d的无限大的带电平板,平板内均匀带电,其体电荷密度为ρ,求板内外的场强。
解:
电场分布具有面对称性,取同轴闭合圆柱面为高斯面,圆柱面与平板垂直,设
两底面圆到平板中心的距离均为x,底面圆的面积为S∆。
由高斯定理∑=
⋅i
S
q
SdE0
1
ε得
=⋅S
SdEiqSESE∑=+∆⋅+∆⋅0
1
0ε当2
d
x<
时（平板内部,Sxqi∆⋅⋅=∑2ρ,所以0
ερxE=
当2
d
x>
（平板外部,Sdqi∆⋅⋅=∑ρ,所以0
2ερdE=
13.半径为R的无限长直圆柱体均匀带电,体电荷密度为ρ,求其场强分布。
解:
电场分布具有轴对称性,取同轴闭合圆柱面为高斯面,圆柱面高为l,底面圆半径为r,应用高斯定理求解。
iS
qrlESE∑=⋅=⋅0
1
π2dε
（1当Rr<时,
lrq
i
2πρ⋅=∑,所以
2ερrE=
（2当Rr>时,lRqi2πρ⋅=∑,所以
r
RE02
2ερ=
14.一半径为R的均匀带电圆盘,电荷面密度为σ,设无穷远处为电势零点,求圆盘中心O点的电势。
解:
取半径为r、dr的细圆环rdrdSdqπσσ2⋅==,则dq在O点产生的电势为
024εσπεdr
r
dqdV=
=
圆盘中心O点的电势为
dVVR⎰⎰
==0
02εσ0
2εσR
=
15.真空中两个半径都为R的共轴圆环,相距为l。
两圆环均匀带电,电荷线密度分别是λ+和λ-。
取两环的轴线为x轴,坐标原点O离两环中心的距离均为2
l
如图所示。
求x轴上任一点的电势。
设无穷远处为电势零点。
解:
在右边带电圆环上取dq,它在x轴上任一点P产生的的电势为
2
2
02/（4R
lxdq
dV+-=
πε
右边带电圆环在P产生的的电势为
⎰⎰+-==+dqR
lxdVV2
2
02/（41
πε
2
2
02/（2R
lxR
+-=
ελ
同理,左边带电圆环在P产生的电势为
2
2
02/（2R
lxR
V++-=
-ελ
由电势叠加原理知,P的电势为
02ελRVVV=
+=-+-+-222/（1（Rlx2/（1
22R
lx++
16.真空中一半径为R的球形区域内均匀分布着体电荷密度为ρ的正电荷,该区域内
a点离球心的距离为R31,b点离球心的距离为R3
2
。
求a、b两点间的电势差abU
解:
电场分布具有轴对称性,以O为球心、作半径为r的同心球面为高斯面。
由高斯
定理∑=
⋅i
S
q
SdE0
1
ε得
当Rr<时,30
23
41
4rrEπρεπ⋅=
⋅,所以0
3ερrE=
a、b两点间的电势差为
⎰
⋅=ba
abrdEU0
2
03/23/183ερερRdrrRR=
=⎰17.细长圆柱形电容器由同轴的内、外圆柱面构成,其半径分别为a和a3,两圆柱面间为真空。
电容器充电后内、外两圆柱面之间的电势差为U。
求:
（1内圆柱面上单位长度所带的电量λ;（2在离轴线距离ar2=处的电场强度大小。
解:
（1电场分布具有轴对称性,取同轴闭合圆柱面为高斯面,圆柱面高为l,底面圆半径为r,应用高斯定理求解。
iS
qrlESE∑=⋅=⋅0
1
π2dε
内、外两圆柱面之间,lqiλ=∑,所以
r
E02πελ
=
内、外两圆柱面之间的电势差为
drrrdEUaa
aa
⎰
⎰
=⋅=3032πελ3ln20
πελ=内圆柱面上单位长度所带的电量为
3
ln20Uπελ=
（2将λ代人场强大小的表达式得,3
lnrU
E=在离轴线距离ar2=处的电场强度大小为
3
ln2aU
E=
18.如图所示,在A,B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷,AB间距离为R2,现将另一正试验点电荷0q从O点经过半圆弧移到C点,求移动过程中电场力作的功。
解:
O点的电势为
R
qVO0π4ε=
0π40=-+
R
q
εC点的电势为
R
qVC3π40⋅=
εRq0π4ε-+
R
q
0π6ε-
=电场力作的功为
R
q
qVVqAoCO00π6（ε=
-=19.如图所示,均匀带电的细圆环半径为R,所带电量为Q（0>Q,圆环的圆心为O,一质量为m,带电量为q（0>q的粒子位于圆环轴线上的P点处,P点离O点的距离为d。
求:
（1粒子所受的电场力F
的大小和方向;
（2该带电粒子在电场力F
的作用下从P点由静止开始沿轴线运动,当粒子运动到
无穷远处时的速度为多大?
解:
（1均匀带电的细圆环在P点处产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式
22
0
（41
dRQd
Ex+=
πε,方向沿OP向右
粒子所受的电场力的大小
22
0
（4dRqQdqEFx+=
=πε,方向沿OP向
右
（2在细圆环上取dq,dq在P点产生的电势为
r
dqdV04πε=
2
2
04d
Rdq+=
πεP点的电势为
⎰⎰+==dqd
RdVV2
2041πε
2
2
04d
RQ+=
πε
由动能定理得,02
1
0（2-=
-=υmVqA2
2
02d
RmqQ+=
πευ
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