北师大版九上全部教案.docx
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北师大版九上全部教案
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）
课题
1.1、你能证明它们吗
（一）
课型
新授课
教学目标
1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学重点
了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学方法
观察法
教学内容及过程
学生活动
一、复习：
1、什么是等腰三角形？
2、你会画一个等腰三角形吗？
并把你画的等腰三角形裁剪下来。
3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？
二、新课讲解：
在《证明
（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
同学们和我一起来回忆上学期学过的公理
♦本套教材选用如下命题作为公理:
♦1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
♦2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
♦3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）
♦4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）
♦5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）
♦6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）
证明过程：
已知：
∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF
求证：
△ABC≌△DEF
证明：
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）
∠C=180°-（∠A+∠B）
∠F=180°-（∠D+∠E）
∠C=∠F（等量代换）
BC=EF（已知）
△ABC≌△DEF（ASA）
这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。
三、议一议：
（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？
等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。
定理：
等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：
等边对等角。
已知：
如图，在ABC中，AB＝AC。
求证：
∠B＝∠C
证明：
取BC的中点D，连接AD。
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABC△≌△ACD（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应边角相等）
四、想一想：
在上图中，线段AD还具有怎样的性质？
为什么？
由此你能得到什么结论？
应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。
推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
五、随堂练习：
做教科书第4页第1，2题。
六、课堂小结：
通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
探体会了反证法的含义。
七、课外作业：
教科书第5页第1，2题。
板书设计：
这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。
学生充分讨论问题1，借助等腰三角形纸片回忆有关性质
让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明
让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法
学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。
课题
1.1、你能证明它们吗
（二）
课型
新授课
教学目标
1、掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
3、结合实例体会反证法的含义。
教学重点
等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学难点
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学方法
教学后记
教学内容及过程
教师活动
学生活动
一、等腰三角形性质的探究
1．让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等的线段。
2．播放课件，结合刚才的问题讲解例1的命题，并为后面将此性质拓展埋下伏笔。
3．分别演示：
中,∠ABD=
∠ABC,∠ACE=∠ACB,k=,时,BD是否与CE相等。
引导学生探究、猜测当k为其他整数时，BD与CE的关系。
4.引导学生探究，对于上述例题，当AD=AC,AE=AB,k=,时，通过对例题的引申，培养学生的发散思维，经历探究—猜测—证明的学习过程。
5．引导学生进一步推广，把上面3、4中的k取一般的自然数后，原结论是否仍然成立?
要求学生说明理由或给出证明。
6．对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明。
7．提出新的问题，引导学生从“等角对等边”这个命题的反面思考问题，即思考它的逆命题是否成立。
适时地引导学生思考可以用哪些方法证明?
培养学生的推理能力。
8．归纳学生提出的各种证法，清楚的分析证明的思路，培养学生演绎证明的初步的推理能力。
9．启发学生思考：
在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，这个结论是否成立?
如果成立，能否证明。
这实际上是“等边对等角”的逆否命题，通过这样的表述可以提高学生的思维能力。
10．总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解。
11．小结这两个课时的内容。
作业：
1、基础作业：
P9页习题1.21、2、3。
2、拓展作业：
《目标检测》
3、预习作业：
P10-12页做一做
板书设计：
1．积极思考，回忆以前所学知识，联想新问题。
2．认真观看例1图形中线段的关系，积极思考，认真听讲。
3．对于课件的演示很感兴趣，凭直观感觉可以猜测，不管k为何值，BD=CE总成立。
基于前面例题的启发，想要给出证明。
一部分学生可以自己给出证明，一部分学生需要老师的帮助。
4．在已经探究了角的大小的改变对于BD，CE的等长性没有影响，有了一些成就感之后，又面临新的任务：
BD＝CE吗?
因此学生会满怀热情地进行这部分探究活动，而且有了前面的体验，探究也会比较顺利。
5．兴致高涨，凭直觉猜测结论仍然成立。
但有些学生给出全部证明可能会有困难。
6．认真听讲，在掌握结论的同时受到老师的鼓励，有很高的热情进行后续学习。
7．较少接触这样的命题，因此会感到新鲜，有用已知公理和定理对命题的真假性进行判断的欲望。
在老师指导下完成证明。
8，积极动脑思考，认真听讲，获得对演绎证明的初步体会。
9．可以从直观上得出结论，但是此处要求证明，体会到证明的必要性。
遇到认知上的冲突，激起学习欲望。
10．怀有强烈的求知欲听讲，对反证法有了感性认识和一定的理解。
11．体会老师的讲解，并根据小结记忆掌握知识。
（学生小结：
掌握证明的基本步骤和书写格式。
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。
等腰三角形的判定定理。
了解反证法的推理方法。
）
教学目标
1、掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明直角三角形的有关性质定理和等边三角形的判定定理。
教学重点
等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。
教学难点
能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。
教学方法
教学后记
教学内容及过程
教师活动
学生活动
一、定理：
一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
1．引导学生回忆上节课的内容，让学生思考：
等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?
让学生对普遍联系和相互转化有一个感性的认识。
2．肯定学生的回答，并让学生进一步思考：
有一个角是60°的等腰三家形是等边三角形吗?
组织学生交流自己的想法。
渗透分类讨论的思维方法。
3．关注学生得出证明思路的过程，讲评。
讲解定理：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
二、一种特殊直角三角形的性质
1．让学生拼摆事先准备好的三角尺，提问：
能拼成一个怎样的三角形?
能否拼出一个等边三角形?
并说明理由。
2．肯定学生的发现和解释，在此基础上进一步深入提问：
在直角三角形中，30°所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?
3．演示规范的证明步骤，同时引导学生意识到：
通过实际操作探索出的结论还需要给予理论证明。
4．让学生准备一张正方形纸片，，按要求动手折叠。
5．讲解P15例题，应用定理。
6．布置学生做练习。
练习：
课本12页随堂练习1
四、课堂小结：
通过这节课的学习你学到了什么知识？
了解了什么证明方法？
五、作业：
1、基础作业：
P13页习题1.31、2、3题
2、拓展作业：
《目标检测》
3、预习作业：
P15-17页读一读“勾股定理的证明”
板书设计：
1．积极地自主探索、思考等腰三角形成为等边三角形的条件。
可能会从边和角两个角度给出答案。
2．积极思考，通过老师的点拨，分类讨论当这个角分别是底角和顶角的情况。
3．认真听讲，体会分类讨论的数学思维方法，理解定理。
1．积极动手操作，并很快得到结果：
可以拼出等边三角形。
2．在拼摆的基础上继续探索，得出结论。
并在探索的过程中得到证明的思路。
3．认真听讲，体会从探索和尝试中得到结论的过程和证明方法的步骤，掌握定理。
4．很有兴趣地折叠纸片，体会定理的应用。
5．听讲，体会定理的应用。
6．认真做练习。
（学生小结：
掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理）
课题
1.2、直角三角形
（一）
课型
新授课
教学目标
1、要求学生掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）和判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
2、了解逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的含义，能结合自己的生活及学习体验举出逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的例子。
3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。
教学重点
直角三角形的性质和判定定理
教学难点
勾股定理逆定理的证明方法。
教学方法
教学后记
教学内容及过程
教师活动
学生活动
一、勾股定理
1．让学生到黑板上画出他们观察到的生活中的直角三角形，并分别说出它们的作用在哪里。
2．高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力。
可以把其中很有创意的发现以该学生名字命名，以此保护学生的积极性。
3．总结学生的“成果”，启发学生思考既然学生所找的三角形同属直角类，那么它们还有没有其他的共性?
4．启发学生回忆以前用数方格和割补图形的方法得到的关于直角三角形三边关系的结论。
让学生画出一个直角三角形并测量三边长，验证结论的正确性。
5.讲解勾股定理，讲述有关的数学史，让学生对勾股定理的发现有所了解。
二、勾股定理的逆定理
1．利用学生画在黑板上的直角三角形提出问题：
你如何证明你找的就是直角三角形呢?
2．引导学生思考勾股定理的反面：
在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是不是直角三角形?
3．让学生画三角形并测量三边长长度。
4．借此机会向学生说明命题的正确性一定要通过严格的逻辑证明来说明，不能凭直观猜测，在做题的过程中要注意监控自己的思路，做到步步有据，说理充分，培养学生的理性精神。
5．对这个比较有挑战性的问题，首先让“呼之欲出”的学生说说他们的思路；并让学生试着给出比较详细的说明。
6．表扬学生的积极发言，保护学生的积极性，并对他们的回答予以剖析，引导学生继续思考。
7．点评学生的证明，并作为和学生平等的一分子给出证明，不把自己的证明作为难一的权威和正确的答案，让学生可以继续寻找其他的证法。
8．比较勾股定理和勾股定理逆定理的表述方式有什么不同，让学生分析它们各自的条件和结论分别是什么，蕴含的因果关系分别是什么。
三、互逆命题、互逆定理
1．把准备好的卡片随机地发给学生，学生按卡片的种类被分成A、B两组，要求拿A类卡片的学生a说出自己卡片上的内容，然后寻找拿B类卡片的与自己的命题相反的同学b。
b要自己主动站起来，并说出自己卡片上的命题是什么，由学生a来判断他（她）和自己是否在一组。
（注意：
A、B类卡片上的内容要出现适量的不能构成互逆命题、互逆定理的例子，但不能太多。
这样既有利于学生分析、辨别互逆命题、互逆定理，又有利于他们从正例中归纳、总结出互逆命题、互逆定理的内涵）。
2．对学生的表现予以表扬、肯定和鼓励。
然后提问拿B卡片的找到组的学生：
你是如何判断和谁在一组的?
3．提取学生回答中的合理性成分，总结归纳，然后提问拿A类卡片的学生：
你是如何判断b是否和你在同一组?
4．肯定学生的认识，提问拿B类卡片的但没找到组的学生：
为什么他们的命题和A类同学的命题不能互相构成反面?
5．肯定所有学生的发言和参与，然后让学生试着自己归纳总结概括出什么是互逆命题、互逆定理。
6．肯定学生的回答，并在此基础上进一步升华，给出严谨的表述。
7．结合刚刚讲过的勾股定理及其逆定理，应用互逆命题、互逆定理的含义进行分析，加深学生对这一方面的认识。
8．结合游戏中的命题向学生说明：
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
让学生体会命题变换的辩证关系。
9．让学生回忆自己曾学到的互逆命题和互逆定理，说出教师难备的一些命题的逆命题并判断真假。
10．布置作业及下节课学生要准备的东西。
作业
1、基础作业：
P20页习题1.41、2、3。
2、拓展作业：
《目标检测》
3、预习作业：
P21-22页做一做
板书设计：
1．踊跃地到黑板上画出自己收集到的直角三角形，并说出它们的用处。
2．受到老师的表扬和鼓励，很有成就感，增加了学习数学、探索数学、研究数学的兴趣。
3．听取老师的分析，找出自己“成果”的优缺点；积极思考直角三角形的共性，有些学生会有困难，不知从哪里人手。
4．动手用直尺和圆规画一个直角三角形，并测量三边的长度，结合以前的知识，验证勾股定理。
5.学会勾股定理并对有关的数学史有所了解，对数学的兴趣增加。
1．试图找出理由说服别人自己找的就是直角三角形，但有些困难。
2．在老师的启发下，“觉得”命题是正确的，但不能给出严谨的证明。
3．画三角形并测量三边长。
4．进一步体会证明的必要性，知道要有意识地检查自己的思路，要做到说理充分，言必有据。
知道这样做对逻辑思维的养成有一定的促进作用。
5．因为所面对的问题比较有挑战性，因此学生很有参与的积极性，试图解决，说出自己的想法。
6．受到鼓励的学生更加有参与教学朗积极性，没有想出来的学生在其他同学的启发和老师的引导下继续思考。
7．用到第一节学习过的三角形判定定理，听取老师的讲解，学会勾股定理逆定理的证明，知道逆定理的内涵，并为继续探索其他的证法作好了准备。
8．跟随老师的思路，思考、分析两个互逆定理的条件、结论分别是什么，它们之间的关系是什么。
1．非常愿意做这个游戏，参与热情很高。
在老师的指导下，知道游戏的规则，都在积极得思考自己手里命题的“反面”是什么，想要找到与自己在同一组的同学。
游戏开始后，按规则去找自己的同伴，有的顺利，有的不顺利，因为教师的特别用意，很可能会出现两位学生与同一位学生组对的情况，这时候不光是。
同学，其他同学也会积极地判断到底谁是谁非。
2．回答老师的问题，也许不会说的很清楚，但有感性的认识，如：
会觉得那个命题的反面就是自己手里命题的意思。
3．在老师的总结之后，会说得比较理性一些，但还是不能给出严谨的说明。
4．刚开式会觉得自己的命题和。
同学的构成一组，但和真正的“反面”命题一比，又觉得自己的命题不太像，原因可能不清楚。
5．总结概括互逆命题、互逆定理的含义，除个别之外，对含义的理解基本正确。
6．认真听讲，加深理解。
7．在老师的讲解下知道如何应用互逆命题、互逆定理的定义判断两个命题是否构成互逆命题、互逆定理。
8．知道命题的条件和结论互换之后命题不一定成立，对命题表述的严谨性和正确性有了更深的认识。
9．比较顺利地说出答案并可以判断命题的真假。
10．记下作业和任务，愉快地下课。
课题
1.2、直角三角形
（二）
课型
新授课
教学目标
1、掌握直角三角形全等的判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
2、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。
教学重点
直角三角形HL全等判定定理。
教学难点
直角三角形HL全等判定定理。
教学方法
教学后记
教学内容及过程
教师活动
学生活动
一、直角三角形HL全等判定定理
1．向学生展示自己难备的两个全等的直角三角形，让学生根据直观感觉回答两个三角形是什么关系?
2．进一步说明要判断两个三角形全等，必须给出证明，继续培养学生理性思考问题的习惯。
让学生回忆在第一节中都学习了哪些全等判定定理。
3．因为所给出的两个直角三角形没有附加什么条件，让学生思考：
如果要利用那四个全等判定定理，分别需要给这两个三角形附加什么条件?
培养学生养成在满足条件下才能应用定理的习惯。
4．肯定学生的回答，。
启发学生进一步思考，对于直角三角形这样的一类特殊三角形，四个定理是否可以简化一些?
还有没有其他的判定方法?
5．充分肯定学生的思考，在这时适时地提出曾经被抛弃的一条假名题：
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等在现在成立吗?
6．让学生自己写出条件并给出证明。
让先写完的学生到黑板上板演。
7．讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达。
分析命题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理：
斜边和一条直角边对应相等的直角三角形全等，可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示。
8．让学生动手按照课本上的步骤作图，在此时训练学生熟练使用作图工具能力。
让学生首先观察所作出的射线是否是己知角的平分线，是的话，思考如何证明。
9．让学生把自己的证明过程到黑板上讲给同学听，注意纠正他的不规范表达和不严谨的地方，给全体学生做示范，加强推理能力的训练。
10．让学生分组讨论开放题，尽可能从多个角度、多个侧面展开讨论。
通过和同学交流想法，各小组获得各种不同的答案。
在这个思考和交流的过程中，要给予学生必要的提示和指导，为学生提供自主探索的时间和空间，培养学生的创造性思维和发散思维。
11．充分肯定学生的发现，让学生有一种成就感。
选取其中比较一般和比较新颖的有代表的证明方法进行讲评。
其他课下写出证明。
小结：
1、本节课学习了哪些知识？
2、还有那一些方面的收获？
作业：
1、基础作业：
P23页习题1.51、2。
2、拓展作业：
《目标检测》
3、预习作业：
预习：
线段的垂直平分线。
板书设计：
1．回答：
全等三角形。
2．加深对证明必要性的认识，体会数学的严谨性。
回忆SSS，SAS，ASA，AAS等全等三角形的判定定理。
3．在老师的引导下，思考对应每个判定定理所需要的条件。
回答老师的问题。
4．思考刚才给出的条件是否可以减少，回答：
对于SSS，根据勾股定理，只要有两条直角边或一条直角边和一条斜边对应相等就可以了……类似地考虑其他情况。
5．思考，结合直角三角形的特点，想到：
如果这个角是直角，那么命题就是真命题。
6．比较顺利地利用勾股定理和SSS证明出来。
7．对比老师的讲解修正自己的书写和表达。
听老师讲解直角三角形全等判定定理，知道HL是SSS的一种特殊情况。
8．对于命题条件的特殊情况，知道相应的命题判定也会有特殊的判定方法。
学会HL定理。
9．按照要求比较熟练地作图，思考如何证明所作的射线就是已知角的平分线。
根据条件写出已知求证，并给出证明。
10．认真听讲，改进自己的思路和证明，体会HL定理的实际应用。
根据条件写出己知、求证并进行证明的能力得到提高。
11．展开积极的思考和激烈的讨论，得到各种不同的答案。
通过开放题的研究，意识到自己在学习中的自主性。
课题
1.3、线段的垂直平分线
（一）
课型
新授课
教学目标
1．要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题。
2．能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。
3．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。
教学重点
线段垂直平分线性质定理及其逆定理。
教学难点
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明。
教学方法
教学后记
教学内容及过程
教师活动
学生活动
一、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
1．让学生把准备好的方方正正的纸拿出来，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和E’B、FB和F’B的关系。
2．让学生说出他们观察猜测的结果是什么，肯定他们的发现，引导学生思考：
这样一个结论是比较直观和明显的，我们可以说出两组边分别是相等的，但是，我们可以用观察说服别人吗?
3．给学生留出时间和空间思考如何把猜想变成事实。
学生可以讨论交流不同的方法。
提示学生在证明之前，要把文字语言变成数学语言，根据图形写出已知和求证。
4．选取证明完成地较好和较差的两位同学到黑板上板演自己的证明，其他同学在练习本上完成。
5．针对两位同学的板书讲解证法，规范学生的证明过程，培养学生的逻辑思维能力。
6．提升学生的几何认识：
由证明过程可以看出，两组对应线段分别相等，那么这个事实的几何意义是什么呢?
7．让学生总结出线段垂直平分线的性质定理，进而告诉学生：
命题中说线段垂直平分线上的任一点到线段两个端点的距离都相等，但是在证明过程中，我们只是随机地选了几种情况来证明，这并不影响命题的正确性，因为我们所选的点是任意的。
借此向学生渗透等价类的性质与选取的代表无关的思想。
二、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
1．引导学生回忆第二节课学过的关于互逆命题和互逆定理的知识，让学生说出自己收集的数学上的互逆命题和互逆定理。
2．把学生的答案分成两类：
一类是“如果…那么…”形式的，一类是非“如果…那么…”形式的。
对于简单的情形，不予以过多阐释，对于非“如果…那么…”形式的命题，要求给出这组互逆命题的学生跟同学们讲清楚他是怎么想的。
3．总结和完善学生的发言，运用转化归结的思想，让学生先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果…那么…”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理。
4．为体现转化归结的应用，帮助学生把原命题改写成“如果…那么…”的形式，然后由学生写出它的“如果…那么…”形式的逆命题，引导学生把如果…那么…”的逆命题进二步简化（指表述形式）。
5．让学生类比原命题画出图形、写出已知和求证并证明逆定理，解释几何意义。
6．布置学生收集生活中应用线段的垂直平分线的例子，让学生体会这个定理的应用，在体会中加深理解。
三、用尺规作线段的垂直平分线
1．用投影仪展示历史上用直尺和圆规作出的美妙的图形，把学生
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