2.把复数z的共辄复数记作7,i为虚数单位，若z=l-i,则（】-"•？
=（▲）
A.l-iB・I+iC.-1-iD.-l+i
3•双曲线疋-壬“的渐近线方程为（▲）
43
非选择题部分（共no分）
2.填空题*本大題共7小题.共36分。
多空题每小题6分，单空题每小题4分。
15•从0,2,4,6中任取2个数字，从1,3.5中任取2个数字，一共可以组成▲个没有重复数字的四位偶数.
16.在平面宜角坐标系中，点与点B关于原点。
对称，直线肿与宜线柑交于点P,R它们的斜率之积为-匕贝!
IMBP的面积的取值范围▲•
2
17•己知平面向量：
亦满足打=・3,|a-Z|=4»Q7与：
■&的夹角为牛则卜；-科的最大值亠.
三、解答题：
本大题共S小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本題满分14分）已知函luC/（x）=2sin2x+^sin2x-U
（I）求函数/'（X）在0,日上的值嫌
（II）若/（旺户皂Jf0ef1.求8&2Xq的值.
19.（本題满分15分）如图，四棱推P-的CD中，面P3D丄面ABCD.ABHDC.AB^2CD^
AD=BC=g,AP=243yPB=2.
（I）证明：
PB丄AC;
（H）求ED与面PBC所成角的正弦值・
20.
（第19题图〉
（本題满分15分）已知数列仏｝,仇｝,其中⑺讣为等差数列,
（I）求数列｛讣｛◎｝的通项公式:
21.（本题满分15分）已知动ESC过点“0,4）,且在工轴上截得的弦长为&
（I）求动圆的圆心C的轨迹方程，
（II〉当点Q在椭圆厂疋+”=］上移动，过点Q作曲线C的两条切线记作",05,其中禺B为切4
点，椭關的一个頂点为0（0,2）,求\AD\\BD\的話大值.
22.（本题满分15分）已知函数/•（”"产-乎“>0
（1）当21时，求函数/&）的零点个数：
（II）若函数/（X）的图像在x轴的冋側（含；r轴），
（i）求f的最小值：
X
（H）当/取到最小值时，若对任意实数aef-1,11,都有^ln^P7T^C""/W-coSa恒成立，试求实elnx
数£的取值范围.
2020学年第一学期浙南名校联盟第一次联考
高三年级数学学科参考答案
一■选择舲本大題共10小禺每小題4分，共40分。
題号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
C
D
C
B
A
C
B
二、填空题：
本大题共7小题.共36分•多空题毎小题6分.单空题每小题4分.
15^19816、（0,JI）17、1+2厉
IkI.-4O12丄,513、24,48+12血14、二石33
三、解答題：
本大题共5小题，共74分。
18■解CI）/（x）=I-cos2x十侖sin2x-l
■7分
_4分
XG
■■
>.•・2x-£w
芹5兀
2
■■
6
66
•••/（兀兀卜口
（H）；•/（兀）弓剋sin（2x-亍）弓
9分
则cos（2x_Z）=—电-
65
——10分
14分
2
.•.cos2v=cos（2xo-彳+彳）・
13分
19•解析〈1〉设AC与BD交点为0
・；ABHCD■AB=2CD=49AD=BC=410,
•■・四边形肋CD为等腰梯形.
・•・易得迹述风唏込2J2,
同理可得・CO=屁0人=2近,
vDO2+OC2=CD\二ACkBD.——
又因为而咖丄面屈CD,且而PBDC面人BCD=
ACc^ABCD
:
.ACk^PBD,5分
又•；PBu而PBD•：
•4CIP*•
（H）法一^如图建系，以0为原点，以04为*報bOB为少轴,
过点O作面虫OB的垂线为Z轴•则O（OAO）,A（2^2fifi）9
B（0,2^,0）,C（-V2,0,0）（D（0,-V2,0）
AO丄面PBD,
POu面PBD，/.AO丄PO,又丁AO=2屁AP=2巨
.-.OP=>!
ap2-ao2=2.・•・P（0,VI,运）,BD=C-3运,0）.PB=（0,近厂冋,BC=（-72-2^1,0）
10分
令而刊农的法向星〃=（込”2）・
n-BC=0=>n・PB=0
（xj,z）・（0,71,-V?
）=0
，（x>y>z）.（-V2,-2^i0）=0,
Jly-Jlz=0-岳-2②=0;
不妨设y=—=（—2丄1）.
12分
令BD与面PBC所成免为久
sin0=|cos（BQ丿）|
14分
15分
BD・tl
iRFI=T'
（条注，如右图建系也可）
法二设点D到面PBC的距离为力，BD与面PBC所成角为0,
VJC丄而PBD
10分
AC丄PO又AO=2>/2,AP»2^AOP=2.PC=^6
在APBC中，PB=2,PC二应,BC=応J施以PB丄FC则$“北=gx2xJS=乔
古=M分
所以BD
15分
3V26
法三匕过0作PC的垂线，垂足为比\AC丄面PED:
.ACLPO^AO=2>/2fAP=2^3OP=2fPC=46在UPC中,JP=2岳AC=3伍PC=拆
所以4P丄PC,8分
又因为在山PE中，AP=2也AB=4,PB=2"
所以/P丄P8,则/P丄面PBC10分
所以面NPC丄面P0C,又因为面4PCQ面P〃C=PC,OH丄PCQHu面4PC所以Off丄面PBC
所以Z0BH为BD与面PBC所成角——-
历分
20•解（I）=h时，=a2b{+1
*
因此叱=（卄1冷+"（;:
1
累加得半_*1一缶》=2“希.8分
（U）^叮（总/）人如厂黑等】。
分
12分
2*2^*1
n+ln
r
2“八
n+l
Q2。
）（22门（2323}
G+S6+…+"匕-〒J+［〒才冷-勺+・・・+
15分
2122
法二s因为刀=1时*C|=0<^-11成立*“=2时.q+c2=0+-<—"—1=1成立9分下而用数学归纳法证明心3时不等式q+q+…q<仝-1成立
n
10分
（1）当/t=3时.q+Cz+勺=0+半+£<亠一1成立-
jn
2*
（2）假设n=k（彳23,农wM〉时・q+gisv丁-I成立k
2^fr・2*
那么n=k+1时.£+c2++cttl<1+12分
k（k+\）（k+2）
要证31-1+一口一<兰二_|成立
k（R+L）（&+2）k+l
只要证丄+——-——<—成立
k（比+1）（&+2）k^\只要证（k+\\k+2）+k2<2k（k+2）
只要证k>2,显然成立
所以，当+1时/不等式c{+ct<-~~-1成立
根拥
（1）
（2）不等式对任意”23.处科・成立.14分
7a
所以对任意neAT*,不等式勺+©+…qv〒一I成立.坊分
21.解折：
（:
I）设动圆圆心C（x^）,|PCj=|CA/|,2分
刚J（T）“=2十牢4分
化简得+=x8y（x矣0）,当工"0时，也満足方程
所以圆心C的轨迹方程为X«8yT分
（11）法一：
设心,幷）,3（兀』2），0（亦％），过点/的切线仃°方程为尸扌工注-兀,且满足几=+石勺一卩‘同理yQ=^x2x^y2
44
可得直线AB的方程为八羊工-片，8分
4
_互_
联立丿-了乂_几可得x?
-2x.x+8yo=O
所以xl+x2=2xQ,珀・工2=8几10分
可得屮沪平=竝尹，片6=誉“
|也‘|蜩=|（必+2）（儿十2）［12分
=1沁+2（廿+%）+41=|丈+£-4%+4|
=阮十1一严一4儿十4|=|扌加一4儿十5|,14分
当必=・2»|仞||肌>|有最大值16.15分
法二；设Q（x9,yQ\A（xv,比）,R&,y2）,设@4,QB的直线誤率为粘,町,
亘线QA-.y-yQ=&（x-x0）与抛物线x2=Sy相切，
可得，一8心x4昭-8y0=0,
可得Xt+Xj=2x,=8fcp得Xj=8分
且A=0,可得2^,2-^,+jo=O
同理，可得旳=4◎且△=0,可得+九=°W分
:
.卅2是方程2&2-M+^0=0的两个根，且壯展=牛，殊2=牛
ZX
即夕+宁=¥，严宁=牛得旺F池0,和花丸儿
442442
12分l^l-MH（y.+2）（%+2）H）化十2（H十兀）+41
T+2仔+千+伯允+爲■如4|
=尿+1—今一4几十4|=|衣—4九+5|,14分
44
当几=一2,|"|・|加|有最大值为1615分22,解析，（1〉法「函数/（x）的零点个数为0个°
xe（0,1）,/（x）=ex—kix>0>
XG（1,400）/©）=『一丄=__1>0,/（x）>/（l）=e>0
XX
所以21时.函数/（X）没有零点4分
法二？
先证ex>x,得lnx/（x）=e”・lnx>x・x=0
所以r=i时，瓯数/©）没有等点-4分
（U）（"法-：
有題意/（小=宀平“仪>0〉恒成立（5）">0）
厂（X*宀2在（0,y?
）上单调递增
/（e）=^--^0,设g（0=^-~在（0,心）上单调递增，而g（i）=0
tte
下证明2匕/（"“成立
e
/（x）=e*-elnx厂（力=丄/-三在（0,+8）上单遷递增
1
ifij/r（e）=-e--=0z,x€（0间,/©）<0,f（jc）单调递减；ee
Xg（e,+fx>）f\x）>O,/（x）单调递増
所以/（刃n几.⑴=/（砂=0・•・心=10分
e
法二$由题盘则对任意x>0有
efx2o"・£“AInx・P"odnInxcfn,
tx
显然可求得丫—I=丄，故£=丄10分
\xee
（11）枷的晟小值代入则要证不等式为kh&2+1S1-88a,
令g（a）=klny/a2+1-1+cosa,
由于g@）为偶函数，故只需考虑°W[OJ]悄况.
令力（卬）=也一（1+/）血。
»
"（d）=£-（]+a?
）cos°-2asin他
方'（O）=£-l12分
故分类讨论
当A-<1•貝Jg（a）wln+1_l+cosa,
记右侧函数为g°（“g；（小—（a,：
）论
a+1
易知a_孑+l）sina<+lfd-—=丄a3（a2-5）<0,
——14分
所以goG）在［0J］单调邊观故g（a）当A>1,/r^）>A-（l+a2）-2a2=^-3o2-L当a力⑷单调翅智有g（a）>g（o）=o,不符合題总.
故让\15分
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