数学建模背包问题.docx
《数学建模背包问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模背包问题.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学建模背包问题
背包问题
背包问题（Knapsackproblem）是一种组合优化的NP完全问题。
问题可以描述为：
给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。
问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。
相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。
也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V？
它是在1978年由Merkel和Hellman提出的
一、定义：
背包问题属于组合优化问题，一般的最优化问题由目标函数和约束条件两部部分组成：
我们有n种物品，物品i的重量为w
i，价格为p
i。
我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。
背包所能承受的最大重量为W。
如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。
可以用公式表示为：
maxå
p
ix
i
i=1
n
S.T.å
w
ix
i£W,x
iÎ{
0,}
1
i=1
n
如果限定物品i最多只能选择b
i个，则问题称为有界背包问题。
可以用公式表示为：
maxå
p
ix
i
i=1
n
S.T.
å
wx
i=1
n
iix
iÎ{
0,1,
£W,×××b
i,}
如果不限定每种物品的数量，则问题称为无界背包问题。
各类复杂的背包问题总可以变换为简单的0-1背包问题进行求解。
二、基本模型的建立方法
1、0-1背包问题的数学模型（最基础的背包问题）
分类：
0-1背包问题简单分为一维背包和二维背包问题。
特点：
每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
1.1一维背包问题
问题：
一个旅行者准备进行徒步旅行，为此他必须决定携带若干物品。
设有n件物品可供他选择，编号为1,2,...,n第i件物品重量为w
i千克，价值为p
i元，他能携带的最大重量为w千克。
他应该装入哪几件物品价值最大。
解：
引入变量x
i，且设
ì1,表示将第i种物品装入包中
x
i=
í（i=1,2,,n）
0,表示不将第i种物品装入包
î
于是此问题的数学模型为：
maxf=å
p
ix
i
i=1
n
ìw
1x
1+w
2x
2+...+w
nx
n£W
S.T.
í
x=0或1,i=1,2,...,n.
î
i
1.2二维背包问题
一维背包问题只考虑了背包重量的限制，如果再增加背包体积的限制为V，并设第i件物品的体积v
i，问如何携带可使总价值最大。
这就是二维背包问题。
它的数学模型为：
maxf=å
p
ix
i
i=1
n
ìw
1x
1+w
2x
2+...+w
nx
n£W
ï
S.T.
ív
1x
1+v
2x
2+...+v
nx
n£V
ï
x=0或1,i=1,2,...,n.
î
i
2、有界背包的数学模型
特点：
能够选择的物品数则可以在某个范围内取值。
物品j最多可以选择m
j个，那么有界背包问题可以描述为：
maxf=å
p
ix
i
i=1
n
...,
S.T.å
w
ix
i£Cx
iÎ{
0,1,m
j}
j=
i=1
n
1,n2,...,.3、无界背包问题的数学模型
特点：
无界背包问题实际上就是有界背包问题的扩展，每个物品可以任意的取。
但是因为背包的承重能力有限，每个物品的数目不可能取到无穷大，因此，实际上它仍是一个有界背包问题。
适用范围：
背包问题（KnapsackProblem）是组合优化领域内经典的NP完备问题，是一个在运筹学领域常见的优化难题。
背包问题的研究起源于旅行者携带用品的背景，要求在旅行袋容积有一定限制的情况下，如何分配资源使得收益最大。
很多问题都可以建模为背包问题，如在管理中的资源分配、资金预算、投资决策、货物装载、项目选择，工厂里的下料问题等上都有着广泛的应用。
。
0-1背包源程序：
#include
#definen5
#definem10
voidknapbag（int*w,int*vl）
{
intc[n+1][m+1];//从1…i…item物品中,背包剩余空间为0<=j<=max_wgt的最大价值for（inti=0;i<=n;i++）//初始化
{
for（intj=0;j<=m;j++）
{
c[i][j]=0;
}
}
//c（i,j）=max{c（i-1,j）,c（i-1,j-w[i]）+vl（i）}
for（i=1;i<=n;i++）
{
for（intj=1;j<=m;j++）
{
if（w[i]<=j）
{
if（vl[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j]）
{
c[i][j]=vl[i]+c[i-1][j-w[i]];//选择第i物品
}
else
c[i][j]=c[i-1][j];//不选择第i个物品
}
else
c[i][j]=c[i-1][j];//剩余容量不够
}//endfor
}//endfor
cout<<"最优解：
";
cout<////算出是由哪几个物品组成
inttemp_wei=m;
intx[n+1]={0,0,0,0};
for（i=n;i>0;i--）
{
if（c[i][temp_wei]==c[i-1][temp_wei]）//最后一个肯定是最大价值的
{
x[i]=0;
}
else
{
x[i]=1;
temp_wei-=w[i];
}
}
cout<<"应装入的物品有：
";
for（i=0;i<=n;i++）
{
if（x[i]）
{
cout<<"第"<}
}
cout<}
intmain（）
{
intw[6]={0,2,2,6,5,4};//物品质量
intvl[6]={0,6,3,5,4,6};//物品价值
knapbag（w,vl）;
return0;
}
升级会员 