二次根式易错题集.docx
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二次根式易错题集
一、二次根式的概念：
二次根式的性质：
1.aa0是一个非负数
2.a2aa0
3.Ja2a
二次根式易错题集
易错点：
1•在计算或求值时，容易疏忽aa0是
一个非负数。
2.在开方时，易出现a2aa0的错误。
3•二次根式的三个性质是正确进行二次根式化简、运算的重要依据。
它们的结构相似，极易混淆，因此同学们必须弄清它们之间的区别与联系
错题：
1.5252..32—（—3）=33..25125-1=4
4.62
32?
.62
654或3,62
12
5.J666
3262
.54彳54
7.根据条件，请你解答下列问题：
（1）已知.20n是整数，求自然数n的值；
解：
首先二次根式有意义，则满足20n0,所以n20,又因为.20n是整数，所以根号内的数一定
是一个平方数，即20n必定可化为20na2a为整数,且a0这种形式，即
20na2a为整数，且a0。
所以满足条件的平方数a2有0，1,4，9，16。
所以n20,19,16,11,4.
（2）已知..20n是整数，求正整数n的最小值
解：
因为,20n是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即、、20n必定可化为.20na2a为整数这种形式，即20na2a为整数，而20n45a2a为整数，4可以开平方，剩下不能开平方的数5,
所以正整数n的最小值就是5,因5552能被开平方。
所以我们要把常数先进行分解，把能开平方的数分解出来，剩下的不能开平方的数与字母相乘再配成能开平方的数，而字母的最小值就是这个不能开平方的数。
7-2.
（2）已知12n是正整数，求实数n的最大值；
解：
因为20n是正整数，所以满足12n0,所以n12,所以根号内的数一定是一个平方数，即
.20n必定可化为20na2a为整数,且a0这种形式，即20na2a为整数，且a0。
所以满足条件的平方数a2有1，4，9。
所以n11,8,3.最大值为11.
i_22
9.计算：
若a4Jb~90,则［a£
\ia2pb2
10.已知y,2x5
11•若等式
52x3，则2xy的值为。
1成立，则x的取值范围是。
11-1.已知.aa3
0,若b2a,则b的取值范围是。
解：
对于含字母的代数式，首先应考虑使它有意义或使代数式成立的条件。
对于本题，首先有根式.a,
则应考虑根式成立的条件是a0。
又题目，aa30,所以a30，a3，所以0a3.
不等式两边都乘以—1得「3a0，不等式两边同加2得，2、32a2
11-2.已知.aa30，若b2a，则b的取值范围是。
解：
对于含字母的代数式，首先应考虑使它有意义或使代数式成立的条件。
对于本题，首先有根式-a，则应考虑根式成立的条件是a0。
又题目aa30,所以a0所以a.30，得a.3，所以
0a3不等式两边都乘以—1得、3a0,不等式两边同加2得，232a2
0,求abc的值。
12.已知a,b,c满足—ab2.―cc2c
2
13.已知实数a,b,c满足ab88ab
.3abc,a2bc3，请问：
长度分别为a,b,c的三
条线段能否组成一个三角形？
如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由
14.已知实数a,b为两个连续的整数，且a28b，则ab=
15.选择：
已知实数m,n为两个连续的整数mn,qmn,设p.qnqm，贝Up=
A.总是奇数B.总是偶数C.有时是奇数，有时是偶数D.有时是有理数，有时是无理数
16.在实数范围内分解因式
（1）a25
（2）x22.2x2
17.化简求值：
（1）2aabab2，其中a2012,b2013；
（2）a1a222a11，其中a15
aaa
19.（2010江苏南京）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是
A.4的算术平方根B.4的立方根C.8的算术平方根D.8的立方根
【答案】C1一_I_I_I_I_二亠
-3-2-10123
20.（2010浙江杭州）4的平方根是
A.2
【答案】B
B.2
C.16
D.16
21.（2010浙江嘉兴）
0，则下列运算中错误.的是（
（A）..ab,a
（C）（a）a
【答案】B
22.（2010江苏常州）
F列运算错误的是
B..2.3
【答案】A
23.（2010江苏淮安）
F面四个数中与
.11最接近的数是
A.2【答案】B
23.（2010湖北荆门）
b为实数,
且满足la—2
则b—a的值为
A.2【答案】C
D.以上都不对
24.（2010湖北恩施自治州）
2
4的算术平方根是：
B.4
A.4
【答案】A
F列命题是真命题的是（
25.
若x2=2，则x=±.2
C.
D.
B.若x=y，贝y2—3X>2—3y
3
D.若x=8，则
X=±2
【答案】C
26.（2010湖北襄樊）下列说法错误的是
的平方根是土2
C27是有理数
2是分数
2
【答案】
27.（2010湖北襄樊）
计算32
25的结果估计在（
A.6至7之间
【答案】B
B.7至8之间
C.8至9之间
D.9至10之间
28.（2010四川绵阳）
要使.3x1
V2x1
B.x<3且xm—
2
有意义，则x应满足（
）.
D.丄vxw3
2
【答案】D
）•
29.（2010四川绵阳）下列各式计算正确的是（
A.m2・m3=m6
32333235D.
【答案】D
30.（2010湖南湘潭）下列计算正确的是
A.2.32.3B.aa2
【答案】D
（a1）J丄
ya）2/
.1a（a<1）
\1a
丫1a
a3
C.（2a）（3a）6a
D.21
31.（2010贵州贵阳）下列式子中，正确的是
（A）10<127<11
（B）11<127<12
（C）12<..127<13
（D）13<127<14
【答案】B
32.（2010四川自贡）
已知n是一个正整数，、、135n是整数，则n的最小值是（）。
A.3
B.5C.15D.25
解：
.135n是整数，
那么.135n肯定能化为..135na2的形式，所以135na2,将的135分解因式
13535935
22
3，要使135na，那么必须再乘以3x5=15才行，所以n=15.【答案】C
33.（2010天津）比较2，.5，37的大小，正确的是
（A）2.5■7
（B）2-7■.5
（C）25
（D）-5372
解：
2=3..8\7，而25，所以372,5【答案】C
34.（2010福建德化）
若整数m满足条件^（m1）2=m1且m<彳，则m的值是
V5
【答案】0
35.（2010福建三明）观察分析下列数据，寻找规律：
0,3，6,3,23,
……那么第10个数据应是。
解：
040J3，屈命翻,46近暑,3J3<3,2晶43J4V3，第
n个数应为■-n1
3，第10个数为10139-333
【答案】33
.16，即3,154，所以a3,b4,ab7
6分
8分
1分
43分
因为..9
【答案】7
37.已知x1.3，求代数式（x1）24（x
【答案】解法一：
原式=（x12）2
=（x1）2
当x1、..3时
原式=（,3）2
=3
解法二：
由x1.3得x.31
化简原式=x22x14x4
1）4的值.
2分
=x22x14分
=C.31）22（_31）15分
=32.312-3217分
=38分
【答案】
解:
xy
x2y
22
xy
x24xy4y2x2y（x
（x2y）2
y）（xy）
x2y
xy
时,
原式=122（12）3.21
1,21、2
39.
（2010福建晋江）（8分）
先化简,
再求值:
3xx
x1x1
x21
x
其中x
、22
【答案】
■:
原式
=
x1
x1
x
1
x1
亠2
亠2
2
3x
3xx
xx
1
x1x1
x
2x24xx
21
x
1x1
x
2xx2x1x
1
x
1x1
x
2x
2
2
2时，原式=
=22
2
2:
=2-2
2“
2
3x
x1
xx
1
x1
xx
1
x
3x
x1x
1
x
x
1x
x
1x
x
1
x
3x
1x1
3x
3x1
2x
4
2
2时，原式=
=2（、2
2）
4：
=2、2
3x
1
xx
x
当x
解—：
原式=
当x
x1
x21
40.（2010湖北武汉）先化简，再求值:
（x2-^）
x2
寓，其中x-23.
I答案】答案:
原式=（J
x2
52（x2）
x2）’x3
9?
2（x2）=（x3）（x3）?
空
x3x2
2=2x+6.
x3
当x=、23时，原式
=2（.23）+6=2.2.
41•右等式2）0
1成立，则x的取值范围是
0次幕的底数不能为0，为0时无意义。
a0ab
b
a，右
a0,则有000b
0b
0b
0
—无意义。
0
【答案】x0且x12
42.已知63m
（n5）23m6.（m3）n2，则
解：
使；m3n2有意义的条件是
63m3m6，所以原式为3m所以.m3n2
得m3,所以mn
【答案】—2
43•已知x,y为实数，且满足解:
使.1y有意义，则y
3n20,而
2
n5
0,所以只需m3
0,所以•.m3n2
35
1x（y
1,则
0,1x
y1
0,求得
3m6
2
0,所以n5
0,所以n
，即n
3。
所以63m0,所以
m
5,代入.m3n2
22
3n。
因n50,
0,得3一520,
y2011=_
1）,1y0，又、1x
那么x2011
1）、1y=0,
0,所以（y
x1,y1.所以x2011—y2011=—2.
0,且.1x（y
1）.,1y=0,
bn2
5..7
1，则2aba表示.
o
再分别代入
解：
因为2v
.7v3，所以
3
72,所以53
5..7
n=5:
;723
7.
把m=2,n3
、7代入amn
bn2
1得，237a3
.7"b1
化简得6a16b
、72a6b
1,
等式两边相对照，因为结果不含
..7,
所以6a+16b=1且
2a+6b=0，解得
3a=,
b=丄.
2
2
1
5
所以2a+b=3
52,所以
所以（y1）,1y
【答案】—2;
44•已知a、b为有理数，
分析：
只需首先对5
1进行计算.
mn分别表示5
7估算出大小，从而求出其整数部分
amnbn2
7的整数部分和小数部分，且amn
a,其小数部分用
3，故m=2,
【答案】5
2
2011
45•若m=一，贝V
V20121
543
m2m2011m的值是
解：
如果直接代入计算,
将会非常复杂。
必须将已知和要求的代数式分别化简再代入计算。
竺1可得
，20121
201120121
m.■
<20121V20121
.20121,则m1.2012.则m12
2012.又可将m52m4
2011m3因式分解
得m3m22m
2011m3
m22m12012m3m12
2012m3.2012
20120.【答案】o
46.已知m12,
A.9
解：
像这种两个数为
到两个字母的
22
n3mn的值为（
C.3D.5
ab,yab.的形式，可化成xy2a从而消去b，化成xy
2
n就要想到用完全平方公式进行配方
n12，则代数式m
B.±3
x
平方和m2
m2n22mn5mnm
m2n23mn
【答案】C
47.（2011山东烟台，19,6分）先化简再计算：
2x1
纥丄，其中x是一元二次方程
x
x21
~2
xx
x2
原式
2
_（x1）（x1）x2x1x
x（x
2
b可消去根式。
一看mn的形式。
解方程得
x2
所以原式=
1）x
0得：
石13
=1=厲
13133.
2x2
★★48.（2011山东日照,
2
【答案】原式=m
m1
（m1）2
（x
X2
18,6分）化简，求值:
（m1）（m1）（m1）
2x
5mn22
20的正数根
1
30.
2m1
~2
m1
（m
51,2
其中m=.3
（m1）（m1）m
m1?
m1m1m2m
m1_1
=.m（m1）m
m1
1m1
_m1
2
mm
•••当m=3时，原式=
1
..3
49.（2011?
青海）若a,b是实数，式子J/工「丨和|a-2|互为相反数,
（a+b）
2011
考点：
非负数的性质：
算术平方根；非负数的性质：
绝对值。
a、b的值，即可得出答案.
分析：
根据题意得H'?
+|a-2|=0，再根据非负数的意义，列方程组求
解答：
解：
依题意，得
-+|a-2|=0,
根据非负数的意义，得，
2b+6=0,
解得：
b=-3,
a-2=0,
解得：
a=2,
•（a+b）=（-1）=-1.
故答案为为：
-1.
a2>0,
点评：
此题主要考查了绝对值以及互为相反数的定义和算术平方根的性质，初中阶段学习了三个非负数:
|a|>0,a>0（a>0）;必须熟练掌握非负数的性质.
50.在下列二次根式中，与.^~b是同类二次根式的是（
A.b）3
5
-―Jab,
5ab
解：
使J―意义，则ab0,所以―b3
5
3——3•、ab.所以答案为A.
abab
x的值为
52.在
2^2，"a?
『，中，是最简二次根式的有
3[提示:
孑‘五ab是最简二次根式-]
x
y
:
的值.
53.已知xy5,xy3,求
解：
Qxy5,xy3,x>0,y>0,原式
■xyxyxy
yxxy
54•阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如
2
二一样的式子，其实我
3.31
51.若最简二次根式x•.君飞与23x5是同类二次根式,
-1[
提示：
根据题意得x+3=3x+5，解得x=-1.]
们可以将其进一步化简
553冬3；
（一）
.33.33
2
（「31；（三）
'、、、3'33
.31（'31）（、、31）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化
2
还可以用以下方法化简:
31
2
31
.31
313131（四）
31
（1）请用不同的方法化简
①参照（三）式得=-
V5V3
②参照（四）式得
、5「3
（2）
1
化简一1一
.31.5.37.5
1
、、2n1<2n1
2
.5.3
_2（3]3）_仁53）（.5,3）
_2_
、5.-3
_5_3_
.5：
3
（可（回*12*
.5、3
（拆.3）^/5乜）
45丽
、、5■,3.
（2）
111
31,5：
3.7<5
答案:
x23x\3x.3;x
.2
31、、5.3、、7
.2n1一2n1
.5…,2n1、、2n1.2n11.
1_111
31537,5...2n1.2n1
431454347<5J2n1J2n1
56.把a的根号外的因式移到根号内等于
解：
使二次根式有意义则a0,所以a、10,将根号外的因式移到根号内时应在二次根式前加负号使
Va
其小于0.即aj—Ja—Va,
答案：
57.在式子J彳xf0,V2,~1y2,J2xxp0，託,~1,xy中，二次根式有（C）
A.2个B.3个C.4个D.5个
解：
根据二次根式定义：
式子、a（a>0）叫做二次根式。
满足两个条件，第一根指数是2,第二被开方数大于等于
0.所以一2x°,2,2xx0,*
1满足条件，.y1y
的被开方数小于0，33的根指数为3,xy
不是根式。
故选C.
58.
F列各式一定是二次根式的是（
A.
B.V2mC.Va1
D.
解:
只有.a21一定满足二次根式的两个条件:
第一根指数是
2,第二被开方数大于等于0•故选C.
59.计算：
■:
2a12
.本章在运用公式.a2|a|进行化简时，若字
A.0B.4a2C.24aD.24a或4a2
【专题解读】当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论母的取值范围不确定，应进行分类讨论
解：
’2a1212a2=2a112a
1
令2a10,12a0,得a-.
2
于是实数集被分为a和a1两部分。
22
1
当a一时，2a10,12a0.所以原式=2a12a14a2.
2
1
当a时，2a10,12a0.所以原式=12a12a24a.
2
规律•方法对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：
首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”
60.下面的推导中开始出错的步骤是（
Q23223一121
2、3,22312L2
2,32、、3lLLLLL3
22LLLLLLLL4
A.1B.2C.3D.4
解：
第
（2）步出错了。
正确的应为
2.322312
61.★★★★已知x23x10,求-
x2；2的值。
解：
此题如果直接解方程求出x的值后再代入计算非常繁琐。
可对已知方程和要求的根式进行适当变形
后再代入求解更简单。
观察根式
x2—2中含有x2
1
-r，是这是典型的a2b2的形式，可使用完全平方公式进行配方为
x
a2b2a2b22ab2aba
2
b2ab。
于是可将二次根式变形为.：
X2122=..X2:
24C；4…，
也可变形为.：
x2122=
2
1
x-
x
已知方程x23x10要变成x1或x1的形式就必须降次，因为方程隐含x0.所以将方程两边同时
2
x-4\324J5
x
xx
除以x进行降次得x13，代入得
x
二、二次根式的乘除二次根式的乘除混合运算，应先把根号外的因式（即有理式）进行运算，再把无理式因式进行运算,
最后把两个结果相乘。
记住两个公式Jaba0,b0,*匹車a0,b0。
Vb错题：
1.化简.912595253255235.515、5
2..20216220162016364.62226212
3.2a6a2a6a..12a2、322a23a（不要写成2a、3）
29a242329a2.42323a2123a（不
要写成12a3）
5•若正数x的两个平方根分别是
2a1和3a，
6.■.723.2
7...10
2^3
8.化简..0.6
a0,b0,c0
10.化简4：
2
m0,n0
11.
1
a2b2
a2b2
13.xx
14将
x21
x1,y0化成最简二次根式为
xyy
15.等式
Jx成立的条件是
16.选择题：
计算
15，同学甲的解法是
3
書3355；同学乙的解法是
135；同学
丙的解法是15
J3
A.甲、乙、丙
1533.5c
5
.333
B甲、乙'
你认为解法正确的同学是（A）
D甲、丙
17.当a0，bp0时，
解：
ab3ab?
bb?
ab，因为b0.所以b?
abbab.
18.
n
若2mn2和.33m2n2都是最简二次根式，则m
，解这得m1,n2.
解：
因为都是最简二次根式，所以被开方数的次数为1.所以有mn2
3m2n
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