泰勒公式及其应用典型例题.docx
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泰勒公式及其应用典型例题
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泰勒公式及其应用典型例题(总9页)
泰勒公式及其应用
常用近似公式
,将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示,这是一个进步。
当然这种近似表示式还较粗糙(尤其当
较大时),从下图可看出。
上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进:
1、提高近似程度,其可能的途径是提高多项式的次数。
2、任何一种近似,应告诉它的误差,否则,使用者“心中不安”。
将上述两个想法作进一步地数学化:
对复杂函数
,想找多项式
来近似表示它。
自然地,我们希望
尽可能多地反映出函数
所具有的性态——如:
在某点处的值与导数值;我们还关心
的形式如何确定;
近似
所产生的误差
。
【问题一】
设
在含
的开区间内具有直到
阶的导数,能否找出一个关于
的
次多项式
近似
【问题二】
若问题一的解存在,其误差
的表达式是什么
一、【求解问题一】
问题一的求解就是确定多项式的系数
。
……………
上述工整且有规律的求系数过程,不难归纳出:
于是,所求的多项式为:
(2)
二、【解决问题二】
泰勒(Tayler)中值定理
若函数
在含有
的某个开区间
内具有直到
阶导数,则当
时,
可以表示成
这里
是
与
之间的某个值。
先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路:
这表明:
只要对函数
及
在
与
之间反复使用
次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。
【证明】
以
与
为端点的区间
或
记为
,
。
函数
在
上具有直至
阶的导数,
且
函数
在
上有直至
阶的非零导数,
且
于是,对函数
及
在
上反复使用
次柯西中值定理,有
三、几个概念
1、
此式称为函数
按
的幂次展开到
阶的泰勒公式;
或者称之为函数
在点
处的
阶泰勒展开式。
当
时,泰勒公式变为
这正是拉格朗日中值定理的形式。
因此,我们也称泰勒公式中的余项。
为拉格朗日余项。
2、对固定的
,若
有
此式可用作误差界的估计。
故
表明:
误差
是当
时较
高阶无穷小,这一余项表达式称之为皮亚诺余项。
3、若
,则
在
与
之间,它表示成形式
,
泰勒公式有较简单的形式—— 麦克劳林公式
近似公式
误差估计式
【例1】求
的麦克劳林公式。
解:
,
于是
有近似公式
其误差的界为
我们有函数
的一些近似表达式。
(1)、
(2)、
(3)、
在matlab中再分别作出这些图象,观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。
【例2】求
的
阶麦克劳林公式。
解:
它们的值依次取四个数值
。
其中:
同样,我们也可给出曲线
的近似曲线如下,并用matlab作出它们的图象。
【例3】求
的麦克劳林展开式的前四项,并给出皮亚诺余项。
解:
于是:
利用泰勒展开式求函数的极限,可以说是求极限方法中的“终极武器”, 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。
【例4】利用泰勒展开式再求极限
。
解:
,
【注解】
现在,我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处
因为
,从而
当
时,
,应为
【例5】利用三阶泰勒公式求
的近似值,并估计误差。
解:
故: