全国初中数学联赛试题及参考答案.docx
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全国初中数学联赛试题及参考答案
2004年全国初中数学联赛试题及参考答案
（江西赛区加试题2004年4月24日上午8:
30-11:
00）
一.选择题（本题满分42分,每小题7分）
1.直角三角形斜边长为整数,两条直角边长是方程9x2－3（k+1）x＋k＝0的两个根,则k2的值是…………………………（）
（A）2（B）4（C）8（D）9
2.（8+3）9＋值是……………………………………………（）
（A）奇数（B）偶数（C）有理数而不是整数（D）无理数
3.边长分别是2、5、7的三个正方体被粘合在一起，在这些用各种方式粘合在一起的立方体中，表面积最小的那个立方体的表面积是…………………………….（）
（A）410（B）416（C）394（D）402
x+yz=1
4.设有三个实数x、y、z满足：
y+zz=1则适合条件的解组（x、y、z）有（）
z+xy=1
（A）3组（B）5组（C）7组（D）9组
5.8a≥1,则的值是（）
（A）1（B）2（C）8a（D）不能确定
6.方程的整数解有（）
（A）1组（B）3组（C）6组（D）无穷多组
二．填空题（本题满分28分,每小题7分）
1．函数y=x2－2（2k－1）x＋3k2－2k＋6的最小值为m。
则当m达到最大时x＝
2．对于1，2，3，。
。
。
，9作每二个不同的数的乘积，所有这些乘积的和是
3．如图，AB，CD是圆O的直径，且AB⊥CD，P为CD延长线上一点，PE切圆O为E，BE交CD于F，AB=6cm,PE=4cm,则EF的长=
。
4．用6张1x2矩形纸片将3x4的方格表完全盖住，则不同的盖法有种。
三。
综合题
1。
有二组数：
A组1，2，。
。
。
，100B组12，22，32，。
。
。
，1002若对于A组中的X，在B组中存在一个数Y，使得X+Y也是B组中的数，则称X为关联数，求A中关联数的个数
2.已知二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象和x轴，y轴都只有一个交点，分别为A，B。
AB=3,b+2ac=0,一次函数y=x+m的图象过A点，并和二次函数的图象交于另一点D。
求△DAB的面积
3．等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，且BD=2CD，P是AD上的一点。
∠CPD=∠ABC，求证：
BP⊥AD
答案：
一CBDBAB
二1。
12。
8703。
4。
11
三1。
732。
93。
（略）
2005年全国初中数学联赛初赛试卷
3月25日下午2：
30－4:
30或3月26日上午9：
00－11：
30
学校___________考生姓名___________
题号一二三四五合计
得分
评卷人
复核人
一、选择题:
（每小题7分，共计42分）
1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（）
（A）a＞ba2＞b2;（B）a≠ba2≠b2;（C）|a|＞ba2＞b2;（D）a＞|b|a2＞b2
2、已知：
a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（）
（A）0（B）3（C）22005（D）3•22005
3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（）块。
（A）16（B）18（C）20（D）22
4、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2－（2m－1）x+4（m－1）=0的两根，则m的值是（）
（A）4（B）－1（C）4或－1（D）－4或1
5、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（）
（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个
6、如图，直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c的图像的对称轴，则有（）
（A）a+b+c=0（B）b＞a+c（C）c＞2b（D）abc＜0
二、填空题:
（每小题7分，共计28分）
1、已知：
x为非零实数，且=a,则=_____________。
2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a=0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.
3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则∠PQC=_________.
4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如:
3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__个。
三、（本题满分20分）设A、B是抛物线y=2x2+4x－2上的点，原点位于线段AB的中点处。
试求A、B两点的坐标。
四、（本题满分25分）如图，AB是⊙o的直径，AB=d，过A作⊙o的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC叫⊙o于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。
五、（本题满分25分）设x=a+b－c,y=a+c－b,z=b+c－a,其中a、b、c是待定的质数，如果x2=y,=2,试求积abc的所有可能的值。
参考解答及评分标准
一、选择题（每小题7分，共计42分）
1、D2、B3、C4、A5、C6、C
二、填空题（每小题7分，共计28分）
1、a2－22、3、45°4、12
三、解：
∵原点是线段AB的中点点A和点B关于原点对称
设点A的坐标为（a，b），则点B的坐标为（―a，―b）……5分
又A、B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得：
…………………………10分
解之得：
a=1,b=4或者a=－1,b=－4…………………15分
故A为（1，4），B为（-1，-4）或者A（-1，-4），B（1，4）.……20分
四、解：
如图连结AD，则∠1=∠2=∠3=∠4
∴ΔCDE∽ΔCAD
∴①………………5分
又∵ΔADE∽ΔBDA
∴②………………10分
由①、②及AB=AC，可得AE=CD…………15分
又由ΔCDE∽ΔCAD可得，即AE2=CD2=CE•CA…………20分
设AE=x，则CE=d－x，于是x2=d（d－x）
即有AE=x=（负值已舍去）……………………25分
五、解：
∵a+b－c=x,a+c－b=y,b+c－a=z,
∴a=,b=,c=…………………5分
又∵y=x2,
故a=---
（1）;
b=-----
（2）
c=----（3）
∴x=---------------（4）
∵x是整数，得1+8a=T2，其中T是正奇数。
………………10分
于是，2a=，其中a是质数，故有=2,=a
∴T=5,a=3……………………15分
将a=3代入（4）得x=2或－3.
当x=2时，y=x2=4,
因而－2=2，z=16，
代入
（2）、（3）可得b=9，c=10，
与b、c是质数矛盾，当舍去。
……………………20分
当x=－3时，y=9.－3=2,
∴z=25
代入
（2）、（3）可得b=11，c=17
∴abc=3×11×17=561……………………………25分
2006年全国初中数学联赛
第一试
一、选择题（每小题7分，共42分）
1．已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、p1，分别表示四边形EFGH的面积和周长．设．则下面关于的说法中，正确的是（）．
（A）均为常值（B）为常值，不为常值
（C）不为常值，为常值（D）均不为常值
2．已知为实数，且是关于的方程的两根．则的值为（）．
（A）（B）（C）（D）1
3．关于的方程仅有两个不同的实根．则实数的取值范围是（）．
（A）a＞0（B）a≥4（C）2＜a＜4（D）0＜a＜4
4．设则实数的大小关系是（）．
（A）（B）（C）（D）
5．为有理数，且满足等式,则的值为（）．
（A）2（B）4（C）6（D）8
6．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：
20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为（）．
（A）2000（B）2004（C）2008（D）2012
二、填空题（每小题7分，共28分）
1．函数的图像与轴交点的横坐标之和等于．
2．在等腰中，AC=BC=1，M是BC的中点，CE⊥AM于点E，交AB于点F，则S△MBF=。
3．使取最小值的实数的值为．
4．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O（0，0）、A（100，0）、B（100，100）、C（0，100）．若正方形0ABC内部（边界及顶点除外）一格点P满足。
就称格点P为“好点”．则正方形OABC内部好点的个数为．
注：
所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．
第二试
A卷
一、（20分）已知关于的一元二次方程无相异两实根．则满足条件的有序正整数组有多少组?
二、（25分）如图l，D为等腰△ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点．已知∠EDF=90°．ED=DF=1，AD=5．求线段BC的长．
三、（25分）如图2，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．求证：
（1）O、E、O1三点共线；
（2）
B卷
一、（20分）同A卷第一题．
二、（25分）同A卷第二题．
三、（25分）如图2，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．
（1）求证：
O、E、01三点共线；
（2）若求的度数．
C卷
一、（20分）同A卷第二题．
二、（25分）同B卷第三题．
三、（25分）设为正整数，且．在平面直角坐标系中，点和点的连线段通过个格点．证明：
（1）若为质数，则在原点O（0，0）与点的连线段上除端点外无其他格点；
（2）若在原点O（0，0）与点的连线段上除端点外无其他格点，则p为质数．
2007年全国初中数学联赛
武汉CASIO杯选拔赛试题及参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）
1、已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点（－2，0），则不等式ax>b的解集为（）
（A）x>－2（B）x<－2（C）x>2（D）x<2
解：
∵a>0,b=2a,∴ax>b的解集为x>2.选（C）
2、已知，则下列结论正确的是（）
（A）a>b>c（B）c>b>a（C）b>a>c（D）b>c>a
解：
∵，∴a>b>c选（A）
3、父母的血型与子女的可能血型之间有如下关系
父母的
血型O,OO,AO,BO,ABA,AA,BA,ABB,BB,ABAB,AB
子女的可
能血型OO,AO,BA,BA,OA,B,
AB,OA,B,
ABB,OA,B,
ABA,B,
AB
已知：
（1）麦恩的父母与麦恩的血型各不相同；
（2）麦恩的血型不是B型，那么麦恩的血型是（）
（A）A型（B）AB型或O型（C）AB型（D）A型或O型或AB型
解：
选（D）
4、四条直线两两相交，且任意三条不交于同一点，则这四条直线共可构成的同位角有（）
（A）24组（B）48组（C）12组（D）16组
解：
四条直线共可构成四组不同的三条直线组，而每一三条直线组共可构成12对同位角，故共有4×12＝48组同位角。
选（B）
5、已知一组正数x1,x2,x3,x4,x5的方差，则关于数据，的说法：
（1）方差为；
（2）平均数为2；（3）平均数为4；（4）方差为4，其中正确的说法是（）
（A）
（1）与
（2）（B）
（1）与（3）（C）
（2）与（4）（D）（3）与（4）
解：
，∴（3）正确
（1）正确故选（B）
6、已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且，如果b＝7，则这样的三角形共有（）
（A）21个（B）28个（C）49个（D）54个
解：
当a=2时，有1个；当a=3时，有2个；当a=4时，有3个；当a=5时，
有4个；当a=6时，有5个；当a=7时,有6个，共有21个故选（A）
7、如图，直线l：
y=x+1与直线：
把平面
直角坐标系分成四个部分，点在（）
（A）第一部分（B）第二部分
（C）第三部分（D）第四部分
解：
选（C）
8、已知实数a满足，那么的值是（）
（A）2005（B）2006（C）2007（D）2008
解∵a≥2007,∴,∴,∴=2007,
故选（C）
9、设分式不是最简分数，那么正整数n的最小值可能是（）
（A）84（B）68（C）45（D）115
解：
设d是（n-13）与5n+6的一个公约数，则d｜（n-13）,d｜（5n+6）,∴d｜,∴d｜71,∵71是质数，∴d=71,∵d｜（n-13）,∴n-13≥71,∴n≥84,n的最小值是84，选（A）
10、如图，P是△ABC内一点，BP，CP，AP的延长线分别与
AC，AB，BC交于点E，F，D。
考虑下列三个等式：
（1）；
（2）；
（3）。
其中正确的有（）
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
解：
（1）正确
（2）正确
（3）正确故选（D）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11、已知对所有的实数x,恒成立，
则m可取得的最大值为_______
解：
当－1≤x≤2时，的最小值为3，∵≥0，
∴当x=1时，的最小值为3，∴3≥m,m的最大值为3。
12、《射雕英雄传》中，英姑对黄蓉说：
“你算法自然精我百倍，
可是我问你：
将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每
三个字相加都是十五，如何排列？
”黄蓉当下低声诵道：
“九宫之意，
法以灵兔，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。
…”
请按黄蓉所述将一至九这九个数填入右边的“宫”中
492
357
816
解
13、军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进位制表示为，七进位制表示为，那么苹果的总数用十进位制表示为______________
解：
220∵1≤a≤6,1≤b≤6,1≤c≤6,,
63a+b-48c=0,b=3（16c-21a）,∴b=0,3,6,经检验b=3符合题意，
∴b=3,c=4,a=3,
14、一个七边形棋盘如图所示,7个顶点顺序从0到6
编号,称为七个格子,一枚棋子放在0格,现在依逆时针
移动这枚棋子,第一次移动1格,第二次移动2格,…,
第n次移动n格，则不停留棋子的格子的编号有_________
解：
2，4，5
尝试发现：
（1）从不停留棋子的格子为2，4，5；
（2）棋子停留的格子号码每移动7次循环（即第k次与第（k+7）次停留同一格）。
证明：
第k次移动棋子，移动的格子数为：
1＋2＋3＋…＋k,第（k+7）次移动棋子，移动格子数为：
1＋2＋3＋…＋k+（k+1）+…+（k+7）
〔1＋2＋3＋…＋k+（k+1）+…+（k+7）〕-（1＋2＋3＋…＋k）=7k+28=7（k+4）
故第（k+7）次与第k次移动棋子停留格子相同。
三、解答题（本大题共2小题，每小题25分，共50分）
15、有40组CASIO卡片，每组均由C，A，S，I,O五张卡片按C,A,S,I,O顺序由上而下叠放而成，现将这40组卡片由上至下叠放在一起，然后把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三章丢掉，把第四张放在最底层，…，如此继续下去，直至最后只剩下一张卡片。
（1）在上述操作过程中，当只剩88张卡片时，一共丢掉了多少张卡片S？
（2）最后一张卡片是哪一组的哪一张卡片？
解：
（1）40组CASIO卡片共计200张，将200张卡片由上至下依次编号为：
1，2，3，…，200，由操作法则知，当丢掉100张卡片时剩下卡片编号为2，4，6，…，200，若再丢掉12张卡片，涉及的卡片有24张，编号为2，4，6，…，48，丢掉12的卡片为2，6，10，14，18，22，26，30，34，38，42，46，其中被丢掉的卡片S有两张（编号为18，38）。
丢掉100张卡片时，有20张卡片S，所以当只剩88张卡片时，以供丢掉了22张卡片S。
（2）若只有128张卡片（），则最后一张被丢掉的是编号为128的卡片。
∵128＜200＜256，当丢掉72张卡片时，涉及卡片共144张，在剩下的128张卡片中，最后一张的编号为144。
144＝5×28＋4，∴最后一张卡片为第29组的第四张卡片I。
16、如图△ABC，D是△ABC内一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线
求证：
AB=CD。
证明：
取BC中点T，AF的中点S，连GT，HT，HS，SM。
∵G,H,M分别为BD，AC,EF的中点
∴MS‖AE，，HS‖CF，，
∴HS=SM，∴∠SHM＝∠SMH
∵GT‖CD，HT‖AB，
∴GT‖HS，HT‖SM
∴∠SHM＝∠TGH，∠SMH＝∠THG
∴∠TGH＝∠THG
∴GT＝TH
∴AB=CD
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试
一、选择题1．设，，且，则代数式的值为（B）
5.7.9.11.
提示：
是方程两个不同根，故.
2．如图，设，，为三角形的三条高，若，，，则线段的长为（D）
.4...
提示：
，可得，故中由勾股定理得
3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（C）
....
提示：
卡片一共有20种取法，其中，满足条件的有种.
4．在△中，，，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别在直线和直线上，则（B）
..
.和的大小关系不确定.
提示：
都是等腰三角形.
5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（B）
....
提示：
将价格从高到低排列，相邻价格之间的比值至少是
6．已知实数满足，则
的值为（D）
.2008..1.
提示：
，同理
，故.
二、填空题1．设，则_________.-2
提示：
2．如图，正方形的边长为1，为所在直线上的两点，且，，则四边形的面积为___________.
提示：
3．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且.设满足上述要求的的最大值和最小值分别为，，则__________.
提示：
满足条件.
4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：
149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是___________.1
提示：
平方数为一位数的有3个，平方数为两位数的有6个，依此类推.
第二试（A）
一、已知，对于满足条件的一切实数，不等式
恒成立.当乘积取最小值时，求的值.
解：
设，则
==
当时，，当时，，故.
若，则，，不恒大于等于0，故即，同理.
当时，
（1）当，即时，
，故，即.
（2）当，即时，
综上所述，最小值是，此时或.
二、如图，圆与圆相交于两点，为圆的切线，点在圆上，且.
（1）证明：
点在圆的圆周上.
（2）设△的面积为，求圆的的半径的最小值.
解：
（1）连接，则，又，故等腰
，.由于为圆的切线，
故弦切角所夹劣弧长为所夹劣弧长的2倍，即半径所在直径通过弧的中点，即点在圆上.
（2）连接，则，故，又，故，即，且当为圆的直径时可以取等号，故的最小值是.
三、设为质数，为正整数，且求，的值.
解：
将原等式整理为关于的一元二次方程：
，由于为正整数，则方程判别式是完全平方数，即为完全平方数，设，则
，即，由于，故同为奇数或者同为偶数，且不同是被3整除.
当时，检验得不是完全平方数
当时，检验得不是完全平方数
当时，由上面分析可知共4种分解方式可能满足条件.
当时，不是整数，当时，不是整数，
当或时，不是质数，
当时，是质数，此时只有满足条件，
综上所述，，.
附：
一。
（B、C卷）已知，对于满足条件的一切实数对，不等式恒成立.当乘积取最小值时，求的值.
三．（C卷）设为质数，为正整数，且满足
，求的值.
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1.设，则（）
A.24.B.25.C..D..
2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（）
A..B..C..D..
3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为（）
A.1.B.2.C.3.D.4.
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）
A..B..C..D..
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝（D）
A..B..C..D..
6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是（）
A.3.B.4.C.5.D.6.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.
2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.
3．如果实数满足条件，，则______.
4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_____对.
第一试答案：
ACCBDB；－3，，－1，－7
第二试（A）
一．（本题满分20分
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