初二数学精华一元一次不等式组一八年级数学教案模板.docx
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初二数学精华一元一次不等式组一八年级数学教案模板
初二数学精华一元一次不等式（组）
（一）_八年级数学教案_模板
一元一次不等式（组）
（一） 一、全章教学内容及要求
１、理解不等式的概念和基本性质
２、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集
３、会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解集。
二、技能要求
1、会在数轴上表示不等式的解集。
2、会运用不等式的基本性质（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。
3、掌握一元一次不等式组的解法，会运用数轴确定不等式组的解集。
三、重要的数学思想：
1、通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想。
2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会数形结合的思想。
四、主要数学能力
1、通过运用不等式基本性质对不等式进行变形训练，培养逻辑思维能力。
2、通过一元一次不等式解法的归纳及一元一次方程解法的类比，培养思维能力。
3、在一元一次不等式，一元一次不等式组解法的技能训练基础上，通过观察、分析、灵活运用不等式的基本性质，寻求合理、简捷的解法，培养运算能力。
五、类比思想：
把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。
这种数学思想通常称为“类比”，它体现了“不同事物之间存在内部联系”的唯物辩证观点，是发现数学真理和解题方法的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用。
在本章中，类比思想的突出运用有：
1、不等式与等式的性质类比。
对于等式（例如a=b）的性质，我们比较熟悉。
不等式（例如a>b或a20,两边都乘以-5，得，
x7成立，那么x=5是不等式x+4>7的一个解。
若x=2不等式x+4>7不成立，那么x=2不是不等式x+4>7的解。
注意：
1、不等式与方程的解的意义虽然非常类似，但它们的解的情况却有重大的区别。
一般地说，一元方程只有一个或几个解；而含有未知数的不等式，一般都有无数多个解。
例如：
x+6=5只有一个解x=-1，在数轴上表示出来只是一个点，如图，
而不等式x+6>5则有无数多个解-----大于-1的任何一个数都是它的解。
它的解集是x>-1，在数轴上表示出来是一个区间，如图
2、符号“≥”读作“大于或等于”或也可以理解为“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”或可以理解为“不大于”。
例如；在数轴上表示出下列各式：
（1）x≥2
（2）x1 （4）x≤-1解：
x≥2 x1 x≤-1
3、不等式解法与方程的解法类比。
从形式上看，一元一次不等式与一元一次方程是类似的。
在学习一元一次方程时利用等式的两个基本性质求得一元一次方程解，按“类比”思想考虑问题自然会推断出若用不等式的三条基本性质，采用与解一元一次方程相类似的步骤去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集。
例如：
解下列方程和不等式：
=+1 ≥+1
解：
3（2+x）=2（2x-1）+6 1、去分母：
解：
3（2+x）≥2（2x-1）+6
6+3x=4x-2+6 2、去括号：
6+3x≥4x-2+6
3x-4x=-2+6-6 3、移项：
3x-4x≥-2+6-6
-x=-2 4、合并同类项：
-x≥-2
x=2 5、系数化为1：
x≤2
∴x=2是原方程的解 ∴x≤2是原不等式的解集。
注意：
解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意步骤1和5，如果乘数或除数是负数时，解不等式时要改变不等号的方向。
六、带有附加条件的不等式：
例1，求不等式（3x+4）-3≤7的最大整数解。
分析：
此题是带有附加条件的不等式，这时应先求不等式的解集，再在解集中，找出满足附加条件的解。
解：
（3x+4）-3≤7
去分母：
3x+4-6≤14
移项：
3x≤14-4+6
合并同类项：
3x≤16
系数化为1：
x≤5
∴x≤5的最大整数解为x=5
例2，x取哪些正整数时，代数式3-的值不小于代数式的值？
解：
依题意需求不等式3-≥的解集。
解这个不等式：
去分母：
24-2（x-1）≥3（x+2）
去括号：
24-2x+2≥3x+6
移项：
-2x-3x≥6-24-2
合并同类项：
-5x≥-20
系数化为1：
x≤4
∴x=4的正整数为x=1,2,3,4.
答：
当x取1,2,3,4时，代数式3-的值不小于代数式的值。
例3，当k取何值时，方程x-2k=3（x-k）+1的解为负数。
分析：
应先解关于x的字母系数方程，即找到x的表达式，再解带有附加条件的不等式。
解：
解关于x的方程：
x-2k=3（x-k）+1
去分母：
x-4k=6（x-k）+2
去括号：
x-4k=6x-6k+2
移项：
x-6x=-6k+2+4k
合并同类项：
-5x=2-2k
系数化为1：
x==.
要使x为负数，即x=0，∴2k-20,∴m0，即a>-3时，x≥,
（2）当a+3=0，即a=-3时，0x≥12，不等式无解。
（3）当a+30,a+3=0,a+3a，则a的取值范围是____________；
（2）若a>,则a的取值范围是____________。
解：
（1）∵a2>a,
∴a2－a>0,即a（a－1）>0,
∴或
解得a>1或a1。
（2）∵a>,∴a－>0,即>0.
∴或
或
解得a>1或－1
答：
a的取值范围是－11.
例2．
（1）比较下列各组数的大小，找规律，提出你的猜想：
______;_______;______;
______;_______;_____.
从上面的各式发现：
一个正分数的分子和分母_____________，所得分数的值比原分数的值要_________。
猜想：
设a>b>0,m>0,则_______。
（2）试证明你的猜想：
分析：
1.易知：
前面的各个空都填 “大。
2.欲证b>0,b－a0,∴m（b－a）
课题：
三角形全等的判定（三） 教学目标：
1、知识目标：
（1）掌握已知三边画三角形的方法；
（2）掌握边边边公理，能用边边边公理证明两个三角形全等；
（3）会添加较明显的辅助线.
2、能力目标：
（1）通过尺规作图使学生得到技能的训练；
（2）通过公理的初步应用，初步培养学生的逻辑推理能力.
3、情感目标：
（1）在公理的形成过程中渗透：
实验、观察、归纳；
（2）通过变式训练，培养学生“举一反三”的学习习惯.
教学重点：
SSS公理、灵活地应用学过的各种判定方法判定三角形全等。
教学难点：
如何根据题目条件和求证的结论，灵活地选择四种判定方法中最适当的方法判定两个三角形全等。
教学用具：
直尺，微机
教学方法：
自学辅导
教学过程：
1、新课引入
投影显示
问题：
有一块三角形玻璃窗户破碎了，要去配一块新的，你最少要对窗框测量哪几个数据？
如果你手头没有测量角度的仪器，只有尺子，你能保证新配的玻璃恰好不大不小吗？
这个问题让学生议论后回答，他们的答案或许只是一种感觉。
于是教师要引导学生，抓住问题的本质：
三角形的三个元素――三条边。
2、公理的获得
问：
通过上面问题的分析，满足什么条件的两个三角形全等？
让学生粗略地概括出边边边的公理。
然后和学生一起画图做实验，根据三角形全等定义对公理进行验证。
（这里用尺规画图法）
公理：
有三边对应相等的两个三角形全等。
应用格式：
（略）
强调说明：
（1）、格式要求：
先指出在哪两个三角形中证全等；再按公理顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论。
（2）、在应用时，怎样寻找已知条件：
已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二时图形中隐含的（如公共边）
（3）、此公理与前面学过的公理区别与联系
（4）、三角形的稳定性：
演示三角形的稳定性与四边形的不稳定性。
在演示中，其实可以去掉组成三角形的一根小木条，以显示三角形条件不可减少，这也为下面总结“三角形全等需要有3全独立的条件”做好了准备，进行了沟通。
（5）说明AAA与SSA不能判定三角形全等。
3、公理的应用
（1） 讲解例1。
学生分析完成，教师注重完成后的点评。
例1如图△ABC是一个钢架，AB=ACAD是连接点A与BC中点D的支架
求证：
AD⊥BC
分析：
（设问程序）
（1）要证AD⊥BC只要证什么？
（2）要证∠1=只要证什么？
（3）要证∠1=∠2只要证什么？
（4）△ABD和△ACD全等的条件具备吗？
依据是什么？
证明：
（略）
（2）讲解例2（投影例2 ）
例2已知：
如图AB=DC，AD=BC
求证：
∠A=∠C
（1）学生思考、分析、讨论，教师巡视，适当参与讨论。
（2）找学生代表口述证明思路。
思路1：
连接BD（如图）
证△ABD≌△CDB（SSS）先得∠A=∠C
思路2：
连接AC证△ABC≌CDA（SSS）先得∠1=∠2，∠3=∠4再由∠1+∠4=∠2+∠3得∠BAD=∠BCD
（3）教师共同讨论后，说明思路1较优，让学生用思路1在练习本上写出证明，一名学生板书，教师强调解题格式：
在“证明”二字的后面，先将所作的辅助线写出，再证明。
例3如图，已知AB=AC，DB=DC
（1）若E、F、G、H分别是各边的中点，求证：
EH=FG
（2）若AD、BC连接交于点P，问AD、BC有何关系？
证明你的结论。
学生思考、分析，适当点拨，找学生代表口述证明思路
让学生在练习本上写出证明，然后选择投影显示。
证明：
（略）
说明：
证直线垂直可证两直线夹角等于，而由两邻补角相等证两直线的夹角等于，又是很重要的一种方法。
例4 如图，已知：
△ABC中，BC＝2AB，AD、AE分别是△ABC、△ABD的中线，
求证：
AC＝2AE.
证明：
（略）
学生口述证明思路，教师强调说明：
“中线”条件下的常规作辅助线法。
5、课堂小结：
（1）判定三角形全等的方法：
3个公理1个推论（SAS、ASA、AAS、SSS）
在这些方法中，每一个都需要3个条件，3个条件中都至少包含条边。
（2）三种方法的综合运用
让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。
6、布置作业：
a、书面作业P70＃11、12
b、上交作业P70＃14 P71B组3
板书设计：
教学目标
1.使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；
2.通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。
教学重点和难点
重点：
列分式方程解应用题.
难点：
根据题意，找出等量关系，正确列出方程.
教学过程设计
一、复习
例 解方程：
（1）2x+xx+3=1;
（2）15x=2×15x+12;
（3）2（1x+1x+3）+x－2x+3=1.
解
（1）方程两边都乘以x（3+3）,去分母，得
2（x+3）+x2=x2+3x,即2x－3x=－6
所以 x=6.
检验：
当x=6时，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根.
（2）方程两边都乘以x（x+12），约去分母，得
15（x+12）=30x.
解这个整式方程，得
x=12.
检验：
当x=12时,x（x+12）=12（12+12）≠0,所以x=12是原分式方程的根.
（3）整理，得
2x+2x+3+x－2x+3=1,即2x+2+x－2x+3=1,
即 2x+xx+3=1.
方程两边都乘以x（x+3），去分母，得
2（x+3）+x2=x（x+3）,
即 2x+6+x2=x2+3x,
亦即 2x－3x=－6.
解这个整式方程，得 x=6.
检验：
当x=6时，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根.
二、新课
例1一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?
请同学根据题意，找出题目中的等量关系.
答：
骑车行进路程=队伍行进路程=15（千米）；
骑车的速度=步行速度的2倍；
骑车所用的时间=步行的时间－0.5小时.
请同学依据上述等量关系列出方程.
答案：
方法1 设这名学生骑车追上队伍需x小时，依题意列方程为
15x=2×15x+12.
方法2 设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意列方程为
15x－152x=12.
解 由方法1所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法2所列出的方程.
方程两边都乘以2x，去分母，得
30－15=x，
所以 x=15.
检验：
当x=15时，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合题意.
所以骑车追上队伍所用的时间为15千米30千米／时=12小时.
答：
骑车追上队伍所用的时间为30分钟.
指出：
在例1中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度=距离时间.
如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按
速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程.
例2某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天?
分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为s，工作所用时间设为t，工作效率设为m，三个量之间的关系是
s=mt,或t=sm，或m=st.
请同学根据题中的等量关系列出方程.
答案：
方法1 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是（x+3）天，设工程总量为1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3.依题意，列方程为
2（1x+1x3）+x2－xx+3=1.
指出：
工作效率的意义是单位时间完成的工作量.
方法2 设规定日期为x天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程
2x+xx+3=1.
方法3 根据等量关系，总工作量—甲的工作量=乙的工作量，设规定日期为x天，则可列方程
1－2x=2x+3+x－2x+3.
用方法1～方法3所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了.重点是找等量关系列方程.
三、课堂练习
1.甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.
2.A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2：
5，求两辆汽车的速度.
答案：
1.甲每小时加工15个零件，乙每小时加工20个零件.
2.大，小汽车的速度分别为18千米／时和45千米／时.
四、小结
1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.
2.列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数.但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数.在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷.例如在课堂练习中的第2题，若题目的条件不变，把问题改为求大、小两辆汽车从A地到达B地各用的时间，如果设直接未知数，即设，小汽车从A地到B地需用时间为x小时，则大汽车从A地到B地需（x+5－12）小时，依题意，列方程
135x+5－12：
135x=2：
5.
解这个分式方程，运算较繁琐.如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从A地到B地的时间，运算就简便多了.
五、作业
1.填空：
（1）一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；
（2）某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______;
（3）把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.
2.列方程解应用题.
（1）某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?
（2）某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?
（3）已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
（4）A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知两车的速度之比是5：
2，求两辆汽车各自的速度.
答案：
1.
（1）mnm+n;
（2）ma－b－ma; （3）maa+b.
2.
（1）第二次加工时，每小时加工125个零件.
（2）步行40千米所用的时间为404=10（时）.答步行40千米用了10小时.
（3）江水的流速为4千米／时.
课堂教学设计说明
1.教学设计中，对于例1，引导学生依据题意，找到三个等量关系，并用两种不同的方法列出方程；对于例2，引导学生依据题意，用三种不同的方法列出方程.这种安排，意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯.这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间.
2.教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用.例1是行程问题，其中距离是已知量，求速度（或时间）；例2是工程问题，其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间（或工作效率）.这些都是运用列分式方程求解的典型问题.教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系，以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么.学生完成课堂练习和作业，则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路.
3.通过列分式方程解应用题数学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器.方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容.如何通过设直接未知数或间接未知数的方法，假设所求的量为x，这时就把它作为一个实实在在的量.通过找等量关系列方程，此时是把已知量与假设的未知量平等看待，这就是“以假当真”.通过解方程求得问题的解，原先假设的未知量x就变成了确定的量，这就是“弄假成真”.
教学目标：
一、知识与能力目标
1、要求学生掌握平移的基本特征
2、能在理解平移性质的基础上巧妙运用的平移的知识来解决日常生活中的数学问题。
二、过程与方法目标：
1、引导学生概括平移的基本特征。
2、引导学生平移实例中的图形，探索运用平移知识解决实际问题。
3、引导学生亲自动手尝试对平移的再探索，发现平移的妙用！
三、情感与态度目标：
1、通过学生自己观察发现，培养学生对数学的兴趣。
2、通过学生亲自操作并解决问题，让学生了解学习探索中的艰辛与成功的乐趣。
从而帮助他们树立学习数学的正确态度。
3、让学生在生活中观察应用例子，从而让他们体会到数学中的图形美。
教学重点、难点及教学突破
重点：
平移特征---------平移中的不变量
难点：
对图形进行理解和平移
教学突破：
从实例入手，让学生思考小学解答方法，从而引导学生观察：
能否进行平移。
引导学生进行平移，从而让学生多平移角度来解决问题；引导学生再探索，让学生的妙用得到升发。
教学准备：
学生复习平移特征，准备纸笔和画图工具。
教师用小黑板准备例题。
教师活动
学生活动
活动说明
一、复习平移的概念及特征；
教师：
同学们，本期11.1学习了平移，同学们想想：
什么叫平移？
平移的二要素是什么？
平移的特征是什么？
1. 学生思考后，教师抽学生回答
学生：
图形的平行移动叫平移
平移的二要素是：
方向和距离
平移的特征：
平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化
如图：
线段AB以如图所示的方向平移2cm.
通过复习平移的概念及特征，让学生更进一步加深对平移理解，为后面的探索作准备
二、创设情境，引出问题：
问题一、要在如图楼梯上铺设某种红地毯，已知，这种地毯每平方米售价为40元，楼梯梯道宽为3米，侧面如图所示。
计算一下，购买这种地毯至少要多少钱？
学生采取小组合作学习，共同寻找解决此题的办法，教师引导学生应用平移知识进行平移
一通过平移发现，楼梯长实际就是
AA’+A’M=2.8+6.2=9米
这样便可计算出购买这种地毯至少要
（2.8+6.2）×3×40＝1080元
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