根据盈亏转折点θb的概念，有下式成立：
Qi1=Qi2；m1θb+b1=m2θb+b2
所以
。
另一方面，状态θj的均值记为
，并有
行为j（j=1,2）的期望收益额
要判断两行为的优劣，必须比较它们的期望收益值的大小。
由于
加加上一开始假定的条件m1>m2
所以有下列结论：
当
；
当
；
当
两行为期望收益额相等（二者之差值为零），故它们等价，无优劣之分。
费用型决策依此类推，结论正好同收益型决策问题相反：
设行为j（j=1,2）在状态θi发生时的费用支付函数Vij=mjθi+bj（i=1,2,…,m;j=1,2），且设θi>0，θb>0存在和m1>m2等其它条件不便，则当
时，有
当
当
行为1.和2.同等优劣。
3.3后验分析法
如果获得了一些新的有关状态概率的情报，例如从市场信息中心购买某商品的下一年需求量信息，由专家调查、抽样检验等途径得到状态（如次品率）的样本概率等，并用它来修正原来的状态概率（即修正先验概率），就得到后验概率。
用后验概率进行贝叶斯决策，这就是后验分析法。
修正概率过程中需要消耗人力、物力和财力。
为了考虑这些因素，后验分析法增加了“抽样情报期望金额”（EVSI）和“抽样情况净收益”（ENGS）两个指标。
3.4决策树法
为了使决策方法形象化，把计算过程画成树形结构，称之为决策树。
它由节点和分支组成，它可适用于任何一种决策方法形象化。
其中节点分条件节点、决策节点和状态节点。
分别用菱形、正方形和圆形标记。
条件节点表示需要的条件费用（其值等于菱形内部的数字）。
决策节点生成各行动方案，并将最优方案的期望金额（收益或费用值）记入其内部。
状态节点生成各状态，其内数字表示某一方案期望金额（收益或费用值）。
决策节点和状态节点分别引出决策分支和状态分支，旁边的数字分别表示决策方案和状态概率。
四、实例分析
4.1层次分析法在个人理财方面的应用
4.1.1问题的提出
假设某个体有余款2万元，现理财方式有储蓄和投资两大方向，投资又分为购买股票、债券和开放式基金，分别用xi（i=1,2,3,4）表示。
对于理财来说最终目的是收入增加而风险最小。
而影响收益的因素有利率，经营者素质及企业收益能力，影响风险的主要因素主要有政治、政策风险、通货膨胀以及其它风险。
P（yi）是每种因素发生的概率，并设它们相互独立。
决策的后果是在未来一年后余款的改变，试选择一种最佳理财方案并证明你的有关结论。
4.1.2问题分析及建模
每个决策者对收益和风险大小有不同的考虑，对于求稳的决策者来说，其首先考虑的是风险大小带来的损失问题，然后才考虑收益的问题，一般来说，高风险常常伴着高收益。
有的决策者追求高收益是其考虑的首要目标，对于风险却存在冒险心理，鉴于此，在投资2万元情况下，出现五种可能：
al：
表示可能造成2千元的损失
a2：
表示可能0.5千元的损失
a3：
表示收益甚微，可视为无收益也无损失
a4：
表示可能收益0.5千元
a5：
表示可收益2千元
其中对于利率带来的两种影响：
收益或损失。
来年的利率变动的概率为0.1，不变为0.9，当利率改变时造成收益的概率为0.4，造成损失的概率为0.6。
如下示：
综上考虑：
利率变动不造成收益损失的概率为0.9+0.4*0.1=0.94；利率变动造成损失的收益概率为0.1*0.6=0.06
同理，政治及政策造成的两种影响的概率分别为：
不造成收益损失概率为：
0.8+0.2*0.5=0.9；造成收益损失概率为：
0.2*0.5=0.1
其它风险造成的两种影响的概率分别为：
不造成收益损失的概率为：
0.6；造成收益损失的概率为：
0.4
将各种因素对投资收益和损失列表（表1）如下：
单位：
万元
利率
政治政策
通货膨胀
其他收益风险
p（y1）
0.94
p（y11）
0.06
p（y2）
0.9
p（y22）
0.1
p（y3）
0.3
p（y32）
0.7
p（y4）
0.6
p（y42）
0.4
储蓄
0.05
-0.05
0.05
-0.05
-0.05
0
0
0
股票
-0.05
0.05
0.2
-0.2
-0.05
0
0.2
-0.05
债券
0.05
-0.05
0.05
-0.05
-0.05
0
0.05
-0.05
基金
0.05
-0.05
0.05
-0.05
-0.05
0
0.05
-0.05
4.1.3建立层次结构
对于yl，y2，y3，y4，为方便讨论，我们采用T.LSaty等人提出的一种有效地处理这类问题的实用方法，即层次分析法
层次分析如下：
目标层A
合理分配资金
准则层B
利率Bl
政治政策B2
通货膨胀B3
其它收益风险B4
措施层C
储蓄C1
股票C2
债券C3
开放式基金C4
4.1.4形成判断矩阵
依据Saty等人提出的1-9作为尺度的方法通过两两比较得到正互反阵为：
表2判断矩阵标度说明
1
Ai与Aj同等重要
3
Ai与Aj稍微重要
5
Ai与Aj非常重要
7
Ai与Aj强烈重要
9
Ai与Aj极其重要
倒数
Aij=1/Aji
2、4、6、8
重要性介于上述数之间
4.1.5计算矩阵的特征向量和最大特征值
利用软件Matlab计算出w0特征向量：
w0=（0.8744，0.2670，0.0613，0.1179，0.3870），最大特征λ=5.4350。
4.1.6一致性检验
为保证得到的权重的合理性，通常要对每一个判断矩阵进行一次一致性检验，以观察其是否具有满意的一致性（CR<0.1）。
否则，应修改判断矩阵，直到满足一致性要求为止。
对矩阵w0中求出的最大特征值检验其
值（一致性指标比率）
值（一致性比率）以及RI（随机一致性指标）
表3RI系数表
阶数
3
4
5
6
7
8
9
RI
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
此时CR=0.091<0.1，所以矩阵w0是一致性的正互反阵。
现考虑较低层次对较高层次的影响，a1-b表示利率、政治政策、通货膨胀、其他收益风险对可能造成2千元的损失这一因素构成的正互反阵。
用同样方法构造矩阵，求出特征值和特征向量并进行一致性检验。
4.1.7合成权重的计算
对表1加权处理，计算平均收益和平均损失：
收益：
pi=∑p（y）.dij；损失：
qi=∑p（y）.dij，
根据风险尽可能小而收益尽可能大的投资的投资原则就有如下的两目标函数：
投资模型：
模型求解通过计算，正互反阵为w0对应的权向量的模型是
max:
Z=0.0919·xl-0.0233·x2+0.0178·x3+0.3347·x4
4.1.8实例分析
我们可以根据各自不同的投资理念，合理取储蓄、股票、债券、基金相互之比的比重，利用上述层次分析法就可以得到相应的投资决策。
例如：
当取权重为W=（τ1,τ2,τ3,τ4,τ5）=w0·w1·w2=（1.9956,1.1237,0.4939,0.4488）时，利用软件Lindo计算得xl=0，x2=0，x3=0，x4=1，这一结果与保守型人们心理一致。
4.2决策树在风险决策中的应用。
4.2.1问题的提出
某建筑企业对于扩大生产的方案有两个，一个为建大厂，投资600万元，另一个为建小厂，投资为280万元，使用期限均为10年。
在时间上分为前3年和后7年，若前3年需求高其概率为0.7，则后7年需求高概率为0.9；若前3年需求量低，则后7年需求量肯定低。
对建小厂若前3年需求量高，则扩建，需再投资400万元，使用7年，损益值与建大厂金时间价值的概念相同。
损益值如表4：
表4损益值列表（万元/年）
自然状态
概率
大厂
小厂
需求量高
0.7
200
80
需求量低
0.3
-40
60
决策树如下：
4.2.2决策树应用中资金时间价值的引入
在任何一个工程项目的实施方案中，其消耗的人力、物力和自然资源，最终都是以价值形态，即资金的形式表现出来的。
而资金是劳动手段、劳动对象和劳动报酬的价值表现。
资金的运动反映了物化劳动和活劳动的运动过程，也是资金随时间的运动过程。
任何一个常规性的实施方案，通常是先发生一系列的投资，然后再发生一系列的经营费用和销售收入。
因而对工程项目进行决策性的经济分析时，就必须着眼于工程的整个寿命周期的资金收入和支出的情况。
在决策时，不能把工程或方案的寿命期内的收入和支出情况进行简单的加、减。
其主要原因在于资金收支的经济效应不仅与资金量的大小有关，且与资金发生的时间有密切的关系。
现在用来投资的资金若不考虑通货膨胀因素，比在将来同等数量的资金更有价值，这是因为当前可用来投资的资金可以立即使用创造收益，而将来可取得的资金，则不可能在今天投资。
由此可知，同样一笔资金在不同时期具有不同的时间价值，现在的一笔资金在投资过程中产生增值。
资金的价值随时间变化，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是资金的时间价值。
资金时间价值是客观存在的。
在进行工程项目决策时，企业经营的一项基本原则就是，充分利用资金时间价值并极大限度的获得其时间价值。
也就是加速资金周转早期回收资金并不断进行高利润的投资活动，任何积压或闲置资金，就损失了资金的时间价值。
由于资金时间价值的存在，使不同时间上发生的现金流量不具有可比性，需通过换算，在同一时间上进行对比，才符合客观实际。
这就考虑了资金的时间价值，使决策更加可靠。
通常，利息是资金时间价值的一种表现形式，常以利息额的多少作为衡量资金时间价值的绝对尺度，用利率（或收益率）作为资金时间价值的相对尺度。
由于资金时间价值的存在，使工程项目的实施在时间上有一个延续过程，因而在实际工作中要注意如下问题：
（1）投资时间上的差异；
（2）投产时间上的差异；（3）工程项目或方案的寿命；（4）在项目运营的过程中各年经营费用所产生的差异。
4.2.3实例中决策树应用存在的局限性
局限性一：
决策树在不考虑资金时间价值时，适用于短期，不能用于长期的决策。
其主要原因在于时间短，资金运作受时间因素的影响较小，资金时间价值所体现出的作用不明显。
同时在工程或方案的执行过程中，不确定因素减少，项目所面临的风险就要小得多。
对于这种情况，在工程招投标中用得很多，就是因为招投标持续时间短，且发生的费用不大，决策树的作用能充分发挥出来。
局限性二：
决策树在工程项目或方案跨时间较长的情况下仍在使用，其计算方式通常为简单的加和，求期望值。
如决策树中。
点④:
0.9*200*7+0.11*（-40）*7=1232（万元）
点⑤:
1.0*（-40）*7=-280（万元）
点②:
1232*0.7+200*3*0.7+0.3*（-40）*3+0.3*（-280）-600=562.4（万元）
点⑧:
0.9*200*7+0.l*（-40）*7-400=832（万元）
点⑨:
0.9*80*7+0.1*60*7=546（万元）
点③:
0.7*80*3+832*0.7+0.3*60*3+0.3*1.0*60*7-280=650.4（万元）
通过点②与点③的比较，则选择建小厂，需求量高则3年后扩建。
这种方法在计算各节点的期望值时，直接考虑其产生的收益值和，即简单的把各年收益值相加减。
由前述资金的时间价值可知，第三年的期望收益值比第四年的期望收益值要值钱得多，而常用的计算方法把各年收益简单加和，仅考虑了方案的静态情况，没有考虑资金随时间而在发生变动。
局限性三：
局限二的计算没有考虑到在以后各年不确定因素所产生的影响，如通货膨胀导致投资增大，政策变动使税收加大而减少当年的收益等，这系列因素若发生单个或多个同时变动，就会影响到决策所计算出的期望值。
换句话说，在项目时间周期较长时，简单加和理想的设计后各年收支相等，不会发生变动。
通常，项目从筹建到运行，任何因素都会发生变动。
目前运用的计算方法也忽略了风险因素的影响。
4.2.4时间价值的引入
在前例中，各节点的计算只是简单相加。
现在假设银行的利率为i，在第1年，第2年…第7年所得的收益值不再进行投资，而是存入银行，那么各年的收益将会产生6,5,…,1年的利息。
从项目决策点来看，该收益则含了1,2,3…7年的利息，比如：
第四年、第七年的期望收益值均为136*（200*0.9+0.l*（-40）+（-40）*1.0），而第四年的136万元的期望收益值中含了4年的利息，第7年的期望收益136万元中含了7年的利息，形式上二者是相等的，实质上不等，这就是资金时间价值的影响。
简单的加和，没有考虑收益值所产生的利息情况，且假设在以后各年的不确定因素是相同的。
现在，利用资金时间价值的因素来计算各节点的期望收益值，假设期望收益率为10%
点④:
0.9*200*（P/A,10%,7）+0.l*（-40）*（P/A,10%,7）=856.84万元
点⑤:
（-40）*1.0*（P/A,10%,7）=-194.74万元
点②:
856.84*（P/A,10%,3）*0.7-194.74*（P/A,10%,3）*0.3+200*0.17*（P/A,10%,3）+（-40*0.3*
（P/A,10%,3）-600=126.06万元
点⑧:
0.9*200*（P/A,10%,7）+0.l*（-40）*（P/A,10%,7）-400=456.84万元
点⑨:
0.9*80*（P/A,10%,7）+0.1*60*（P/A,10%,7）=379.74万元
点③:
0.7*80*（P/A,10%,3）+456.84*（P/A,10%,3）+0.3*60*（P/A,10%,3）+0.3*1.0*60*
（P/A,10%,7）*（P/A,10%,3）-280=313.09万元
方案决策结果是建小厂，3年后若需求量高再进行扩建。
但我们可以看出，虽然两种方法的决策结果相同，但是计算结果却相差很大。
如点④，使用资金时间价值和未使用的差值为375.16万元（1232-856.84），对于最终决策方案点的期望值则相差337.31万元（650.4-313.09）。
这些差值其本质就是投资额和各年收益及随时间变化而发生变化的累计值。
由于它们在定量上产生的数值差异以及投资存在的机会成本，会使决策者对项目存在的风险进行错误估计：
其一是决策失误，放弃了不该放弃的项目或决定了不该选择的项目；其二是反映在管理方法上，如不考虑资金时间价值，所得的结果又比较乐观，进而影响决策者对所决定的项目的控制和计划，但项目在实施过程中，由于时间因素的参与，其实际值与期望值相差很大，甚至不可预见因素而导致亏损。
4.2.5引入资金时间价值理论应注意的问题
（l）在利用资金时间价值理论计算期望收益值时，最重要的一个参数就是投资者期望的基准收益率，其微小变动在投资总数和年限不变的情况下，期望收益值也会产生较大的变动。
对于基准收益率的确定因素主要有：
①加权平均资本成本和机会成本。
在决策时选择其中大者，在通常情况下资金机会成本高于项目的加权平均资本成本，不考虑二者之和，将其设为t1；②风险补贴率。
任何项目投资都存在风险，高风险则有高的收益，投资者在对项目决策时，应充分考虑项目所面临的风险，合理的确定风险补贴率，设为t2，以项目所产生的收益中得到补偿；③通货膨胀率。
对跨时间较长的项目，不可避免地要受到以后年度物价变动的影响。
物价变动则会使投资增加，从而对计算的期望收益产生影响，设通货膨胀率为t3。
综上所述，理论上确定基准收益率为:
i=（l+t1）（l+t2）（l+t3）-l（当t1、t2、t3均为零点零后小数时，i=t1+t2+t3）
（2）评价指标上的确认
前面举例进行项目决策是通过计算期望收益值。
而利用资金时间价值计算的期望收益值其实质是计算该项目FNPV（财务净现值）。
据项目在投资已定、收益估计确定以及一定年限下，也可以用项目自身所产生的收益率对各个方案进行选择，即确定FIRR（财务内部收益率）。
但是项目的最终决策，不能从单个指标确定，需同时考虑多个指标。
如FNPV最大，项目并不一定最好，有可能它的单位投资盈利比其他项目或方案低，这种情况就要进行综合权衡投资方及投资的组合形式。
（3）不确定因素灵敏度的分析
由于引用了资金时间价值理论，即采用了动态的分析、决策方法，同样需要用动态的方法，分析不确定因素的变动对计算指标值的影响程度，即各工程方案对不确定因素的灵敏度分析。
决策树法作为风险型决策的一种方法，就是在决策过程中对风险发生的时间、风险类型、风险影响程度，项目或方案对风险类型的反映程度进行全面的预测和估计。
灵敏度分析能比较充分体现出项目或方案对风险反映的敏感强度，使决策者在进行决策时或决策以后实施过程中的管理有目的性和方向胜。
（4）动态系统决策
在利用决策树法时，形式上表现为静态，但在决策时用动态系统全面的观点。
项目决策在一定程度只是项目全部运行中的一步。
项目全过程是一个完整的系统，在这个系统里面发生资金支出。
若系统中某一要素变化就会引起系统结构、功能发生变化。
把项目或方案作为一个系统，用系统的观点全面分析其实施全过程使决策树简单的决策功能得到引伸，充分发挥其决策过程中的重要作用。
五、总结
基于系统评价与决策分析课程的学习，特别对贝叶斯决策模型和方法进行了研究，介绍了层次分析法、盈方转折分析、后验分析法和决策树法，最后重点将层次分析法和决策树法与应用实例相结合进行探讨，深化理解了决策分析方法的操作性和实用性，并提出了一些在决策中需要注意的问题。
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