答案第11章章测题2曲线积分与曲面积分的应用部分.docx
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答案第11章章测题2曲线积分与曲面积分的应用部分
第11章测验题
（二）曲线积分与曲面积分的应用
1.C2.D3.B
4.解：
令
I=
（）（）
3,43,4
∫−+−=∫+
（6xy2y3）dx（6x2y3xy2）dyP（x,y）dxQ（x,y）dy
（）（）
1,21,2
∂P
∂y
=12xy
−3y
2
=
∂Q
∂x
因此曲线积分I与路径无关，那么采用A（1,2）→B（3,2）→C（3,4）的折线计算I
∫−+−+∫−+−
I=（6xy2y3）dx（6x2y3xy2）dy（6xy2y3）dx（6x2y3xy2）dy
ABBC
在积分区域AB上，y=2，x:
1→3，若化为对x的定积分，则dy=0
33
I（6xyy）dx（6xy3xy）dy（6x48）dx（6x23x4）0dx
1=∫−+−=∫×−+∫×−××
23222
AB11
3
=∫xdxxx
（248）−
−=2=
[128]80
3
1
1
在积分区域BC上，x=3，y:
2→4，若化为对y的定积分，则dx=0
44
I（6xyy）dx（6xy3xy）dy（6y3y）0dy（6y93y23）dy
2=∫−+−=∫×−×+∫×−×
232223
BC22
4
4
=∫yydyyy
（54−9）=−=
[273]156
223
2
2
因此I=I1+I=80+156=236
2
5.解：
令
I=
（）（）
2,32,3
∫++−=∫+
（xy）dx（xy）dyP（x,y）dxQ（x,y）dy
（）（）
1,11,1
∂P
∂y
=1=
∂Q
∂x
因此曲线积分I与路径无关，那么采用A（1,1）→B（2,1）→C（2,3）的折线计算I
1
∫++−+∫++−
I=（xy）dx（xy）dy（xy）dx（xy）dy
ABBC
在积分区域AB上，y=1，x:
1→2，若化为对x的定积分，则dy=0
22
I（xy）dx（xy）dy（x1）dx（x1）0dx
1=∫++−=∫++∫−×
AB11
2
⎡1+
⎤
2
=∫xdxxx
（+1）=2=∫xdxxx
⎢⎥
⎣2⎦
11
=
5
2
在积分区域BC上，x=2，y:
1→3，若化为对y的定积分，则dx=0
33
I（xy）dx（xy）dy（2y）0dy（22=∫++−=∫+×+∫−
2=∫++−=∫+×+∫−
BC11
y）dy
3
⎡−1
=∫ydyyy
（2−）=2
2
⎢
⎣2
1
3
1
⎤
⎥
⎦
=0
因此
I
=II
1+=
2
5
2
6.解：
令
I=
（）（）
2,12,1
∫−++−=∫+
（2xyy43）dx（x4xy）dyP（x,y）dxQ（x,y）dy
23
（）（）
1,01,0
∂P
∂y
=2x−
4y
3
=
∂Q
∂x
因此曲线积分I与路径无关，那么采用A（1,0）→B（2,0）→C（2,1）的折线计算I
2
∫−++−+∫−++−
I=（2xyy43）dx（x24xy3）dy（2xyy43）dx（x24xy3）dy
ABBC
在积分区域AB上，y=0，x:
1→2，若化为对x的定积分，则dy=0
22
I（2xyy3）dx（x4xy）dy（003）dx（x0）0dx
1=∫−++−=∫−++∫−×
4232
AB11
2
=∫dx
3
1
=3
在积分区域BC上，x=2，y:
0→1，若化为对y的定积分，则dx=0
11
I2xyy3）dx（x4xy）dy（22yy3）0dy（442y）dy
2=∫−++−=∫×−+×+∫−×
（42343
BC00
1
=∫ydyyy
（43）=−=
−84
[42]2
1
0
0
因此325
I=I1+I=+=
2
7.解：
令P=3x2y+8xy2Q=x3+8x2y+12yey
∂P∂Q
Q==3x2+16xy
∂y∂x
在整个面内恒成立，因此在整个面内，存在某个函
xOyxOy
数使得，采用
u（x,y）du=Pdx+QdyA（0,0）→B（x,0）→C（x,y）的折线计算曲线积分：
3
I
∫
=u（x,y）=（3x2y8xy2）dx（38212y）
++x+xy+yedy
AB+BC
在积分区域AB上，y=0，x:
0→x，若化为对x的定积分，则dy=0
xx
I（3xy8xy）dx（x8y12yedydxxdx
1=∫++++=∫++∫++×
223x2y）（00）（300）0
AB00
=0
在积分区域BC上，x=x（此时x为常数），y:
0→y，若化为对y的定积分，则dx=0
∫++++
I=（3x2y8xy2）dx（x38x2y12yey）dy
2
BC
yy
=∫∫
（332
x2y+8xy）×0dy+（x8xy+12yey）dy
2+
00
=
yy
（8xy12ye）dyxyxyyde
32y322y
[4]12（）
=y[4]12（）
∫++=++
xy∫
y=0
00
=
y
3412[ye]12edy[]
2y2y
yyy−∫
=y=y
xyxyyxyye
+2+=x3+42+12y−12e
y==0
0y
0
=
x3y+4x2y2+12yey−12e
y
因此
I=1+I=x3y+4x2y2+12yey−12ey
I
2
即u（x,y）即为所求。
=x3y+4x2y2+12yey−12e
y
8.解：
令P=x+2yQ=2x+y
∂P∂Q
Q==2
∂y∂x
在整个面内恒成立，因此在整个面内，存在某个函数使
xOyxOyu（x,y）
得PdxQdy，采用
du=+A（0,0）→B（x,0）→C（x,y）的折线计算曲线积分：
4
I
∫
=u（x,y）=（x+2y）dx+（2x+y）dy
AB+BC
在积分区域AB上，y=0，x:
0→x，若化为对x的定积分，则dy=0
xx
I（x2y）dx（2xy）dy（x0）dx（2x0）0dx1=∫+++=∫++∫+×
1=∫+++=∫++∫+×
AB00
=
x
2
2
在积分区域BC上，x=x（此时x为常数），y:
0→y，若化为对y的定积分，则dx=0
∫+++
I=（x2y）dx（2xy）dy
2
BC
yy
=∫∫
（x+2y）×0dy+
00
（2x+y）dy
=
y
∫
0
（2x+y）dy=
⎡
2xy
⎢
⎣
+
y
2
2
⎤
⎥
⎦
y=y
y=0
=
2xy
+
y
2
2
因此
I=I1+I
2
=
y2x
2
2xy++
22
即u（x,y）
y2x
2
=2xy++即为所求。
22
9.解：
令P=2xyQ=x2
∂P∂Q
Q==2x
∂y∂x
在整个面内恒成立，因此在整个面内，存在某个函数
xOyxOyu（x,y）
使得PdxQdy，采用
du=+A（0,0）→B（x,0）→C（x,y）的折线计算曲线积分：
∫
I=u（x,y）=2xydx+x2dy
AB+BC
在积分区域AB上，y=0，x:
0→x，若化为对x的定积分，则dy=0
5
xx
I200
1=∫xydx+xdy=∫dx+∫x×dx=
22
AB00
0
在积分区域BC上，x=x（此时x为常数），y:
0→y，若化为对y的定积分，则dx=0
yy∫+∫（×+∫
y=y
I2=22xydyxdy
xydxxdy20=2=
=[xy]xy
）
22
y=0
BC00
因此
I=1+I=x2y
I
2
即u（x,y）xy即为所求。
=
2
10.解：
令=∫（−）+（+）=∫+
I2xyx2dxxy2dyP（x,y）dxQ（x,y）dy
LL
∂P
∂y
=2x
∂Q
，=1
∂x
⎛∂∂⎞
Q=∫∫（−）
P
I∫∫⎟
=⎜−
⎜
dxdy12xdxdy
∂x∂y
⎝⎠
DD
=
1x
（）
∫∫−
dx212
xdy
0x
=
1
（1x）（xx）dx=∫1（−−+）
∫−−
2x2xxx22x3dx
2
00
1
⎡⎤
35
2212
=x−x−xx=
2×3
+4
⎢⎥
22
3534
⎣⎦
0
1
30
11.解：
令=∫（−）+（−）=∫+
Ix3xy3dxy32xydyP（x,y）dxQ（x,y）dy
LL
∂
P=−
3xy
2
∂y
∂Q
，=−2y
∂x
⎛∂∂⎞
QP=∫∫（−+）I∫∫⎟
=⎜y32
−dxdy2xydxdy
⎜
∂x∂y
⎝⎠
DD
=
22（2yxy）dy∫（）
2
y=2
∫dx∫−+
3−y+3
2=2xydx
=0
000
2
0
4xdx[]
82
=−4x+4x=8
2
0
12.解：
令=∫（−+）+（+−）=∫+
I2xy4dx5y3x6dyP（x,y）dxQ（x,y）dy
LL
∂P
∂y
=−1
∂Q
，=3
∂x
⎛∂∂P⎞1
Q=∫∫[−（−）]
I∫∫⎟3=∫∫
=⎜143212
−dxdydxdydxdy=4×××=
⎜
∂x∂y2⎝⎠
DDD
13.解:
所求的弹簧Γ的质量表示为
6
m=∫xyzds
ρ（,,）
Γ
积分区域Γ为参数方程：
x=2cost，y=t，z=2sint，0≤t≤6π，弧长元素为
ds=（−2sint）2+1+（2cost）2dt=5dt
将所求对弧长的曲线积分化为定积分为
6π
m=∫ρxyzds=∫2yds=∫tdt
（,,）25=5（6π）2=365π2
ΓΓ0
14.解：
所求弹簧的质量表示为
m=∫xyzds
ρ（,,）
Γ
积分区域Γ为参数方程：
x=cos4t，y=sin4t，z=t，0≤t≤2π，弧长元素为
ds=（−4sin4t）2+1+（4cos4t）2dt=17dt
将所求对弧长的曲线积分化为定积分为
2π
m=∫ρxyzds=∫zds=∫tdt
（,,）17=217π2
ΓΓ0
15.解一:
力F所作的功W表示为
∫⋅
W=F（x,y）dr，其中dr=（dx,dy），
L
令x=t,y=t2−1作为曲线的参数方程，t从1到‐2，此时dx=1dt,dy=2tdt，得
W
-2-2
=∫xyd∫ydxxdy∫tttdt∫tdt
F（,）⋅r=−=[（2−1）−（）
（2）]=（−2−1）=
LL11
6.
解二:
力F所作的功W表示为
W
=∫
L
F⋅Tds
其中T为定向曲线x=t,y=t2−1（t从1变到‐2）的单位切向量，即
T=（1,2t）
1+
1
（2t）
2
由对弧长的曲线积分的计算方法可知
ds=（1+（2t）2dt
因此
W
1
−2-2
=∫∫=∫tdt
F⋅Tds=（t21,t）⋅（1,2t）（1+（2t）dt
（1）6
−−2−2−=
1+）
1（2t
21
L
16.解一：
力F所作的功W表示为
∫⋅
W=F（,）r，其中dr=（dx,dy），
xydL
π
令x=22cost,y=2sint作为曲线的参数方程，t从0变到
2
7
，此时dx=−22sintdt，
dy=2costdt，于是
W∫F（,）⋅r=∫−−⋅
=xyd（kx,ky）（dx,dy）
LL
=
π
k∫+=−∫−+
−xdxydy2（8costsin
kt
2（8costsin
L0
2sintcost）dt
ππ
=（8−2）2costsintdt6k
k∫=∫
2
00
sintd（sint）
π
⎡2
⎤
=ksint2k63k
6=×==ksint2k63k
⎢⎥
22
⎣⎦
0
解二：
力F所作的功W表示为
W
=∫
L
F⋅Tds
其中T为定向曲线x=22cost,y=2sint（t从0变到
π
2
）的单位切向量，即
T=
（−22sint,
2
cost）
8×（sint）2+2×（cost）
2
由对弧长的曲线积分的计算方法可知
ds=8×（sint）2+2×（cost）2dt
因此
W
=∫
L
F⋅Tds
π
2
=∫
（−22sint,2cost）
8×（sint）+2×（cost）
（−k×22cost,−k2sint）⋅
8×（sint）
2
+2×
（cost）dt
2
ππ
k∫−+=−∫
=−2（8costsint2sintcost）dtk（82）
2
00
π
π⎡⎤
sin
2
∫
=6k2sintd（sint）6=×=
=kt2k63k
⎢⎥
22
0⎣⎦
0
costsintdt
17.解：
将积分区域Σ分解为Σ=Σ1+Σ2,其中
积分区域Σz
1:
z=4,z=0,=0
xy
Σ1=xyx+y≤
1的投影区域为{（,）4}
D22,面积元素为dS=1+0+0dxdy=dxdy
积分区域Σ2:
z=x2+y2,
x
z=,
x+
x2y
2
y
z=
y+
x2y
2
Σx2
2的投影区域为{（,）4}
D2=xyx+y2≤,面积元素为dSzzdxdydxdy
2=1+2+2=,
y
所求曲面面积为
==16π+162π=16（1+2）π.∫∫=∫∫+∫∫∫∫+∫∫
S=dSdSdSdxdy2dxdy
ΣΣ1ΣD
D212
8
18.解：
积分区域Σ:
z=R2−x2,
−x
zz
=,=0
x−
y
R2x
2
投影区域为{}
D（x,y）0xR,yRx
xy=≤≤0≤≤−,
22
面积元素为
dS=1+
xR
2
zz2dxdy=
2+1++0dxdy=
xy2222
R−x
R−x
dxdy
所求面积为
S
RR−x
22
R
∫∫=∫∫∫∫
=2dS2dxdy=
2dx
R−x
22
ΣD
00
xy
R
R
2
−
x
2
dy
=
R
∫
2
0
R−xR
22
R∫−
R
∫
dxdy=2Rxdx=2R2
22
R−xR−x
2222
00
19.解：
积分区域Σ:
z=a2−（x2+y2）,
−x
z=,
x−+
a2（x2y2）
−y
z=
y−+
a2（x2y2
）
⎧2
⎫
a2a
xy⎨⎬,
投影区域为
D=）（x+
（x,y−）y2≤
24
⎩⎭
=⎧ρθ≤θ≤π,0≤ρ≤cosθ
将投影区域看成极坐标区域为D⎨（,）0a
xy
⎩2
⎫
⎬
⎭
所以面积元素为
dS
xya
22
=,
1+z2+zdxdy1++dxdy=dxdy
2=
x222222
y−−
a−xyaxy
22−2
a−x−y
（4分）
因此所求曲面面积为
S=
∫∫∫∫
dS=
ΣDxy
a
2
−
a
x
2
−
y
2
dxdy=
π
2
∫
adθ
0
acosθ
∫
0
a
2
ρ
−
ρ2
dρ
ππ
2a122=−∫[−]
cosθ
2
acosθ
=∫∫da
−θ（−ρρdθ
ad）aa
22
0
2a2−
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