答案第11章章测题2曲线积分与曲面积分的应用部分.docx

1、答案第11章章测题2曲线积分与曲面积分的应用部分第 11 章测验题（二） 曲线积分与曲面积分的应用1.C 2.D 3.B4.解：令I =( ) ( )3,4 3,4 + = +(6xy2 y3 )dx (6x2 y 3xy2 )dy P(x, y)dx Q(x, y)dy( ) ( )1,2 1,2P y= 12xy 3y2=Q x因此曲线积分 I 与路径无关，那么采用 A(1,2) B(3,2) C(3,4) 的折线计算 I + + + I = (6xy2 y3 )dx (6x2 y 3xy2 )dy (6xy2 y3 )dx (6x2 y 3xy2 )dyAB BC在积分区域AB 上，y

2、= 2，x :1 3，若化为对x 的定积分，则dy = 03 3I (6xy y )dx (6x y 3xy )dy (6x 4 8)dx (6x 2 3x 4) 0dx1 = + = + 2 3 2 2 2AB 1 13= x dx x x(24 8) = 2 =12 8 80311在积分区域BC 上，x = 3，y : 2 4 ，若化为对y 的定积分，则dx = 04 4I (6xy y )dx (6x y 3xy )dy (6y 3 y ) 0dy (6y 9 3y2 3)dy2 = + = + 2 3 2 2 2 3BC 2 24 4= y y dy y y(54 9 ) = =27

3、3 1562 2 322因此 I = I1 + I = 80 +156 = 23625.解：令I =( ) ( )2,3 2,3 + + = +(x y)dx (x y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy( ) ( )1,1 1,1P y= 1 =Q x因此曲线积分I 与路径无关，那么采用A(1,1) B(2,1) C(2,3)的折线计算I1 + + + + + I = (x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dyAB BC在积分区域AB 上，y = 1，x :1 2 ，若化为对x的定积分，则dy = 02 2I (x y)dx (x y)dy (x 1)dx (x

4、 1) 0dx1 = + + = + + AB 1 121 +2= x dx x x ( +1) = 2= x dx x x 2 1 1=52在积分区域BC 上，x = 2 ，y :1 3，若化为对y 的定积分，则dx = 03 3I (x y)dx (x y)dy (2 y) 0dy (2 2 = + + = + + 2 = + + = + + BC 1 1y)dy3 1= y dy y y(2 ) = 22 21 31= 0因此I= I I1 + =2526.解：令I =( ) ( )2,1 2,1 + + = +(2xy y4 3)dx (x 4xy )dy P(x, y)dx Q(x,

5、 y)dy2 3( ) ( )1,0 1,0P y= 2x 4y3=Q x因此曲线积分I 与路径无关，那么采用A(1,0) B(2,0) C(2,1)的折线计算I2 + + + + + I = (2xy y4 3)dx (x2 4xy3 )dy (2xy y4 3)dx (x2 4xy3 )dyAB BC在积分区域AB 上，y = 0，x :1 2 ，若化为对x 的定积分，则dy = 02 2I (2xy y 3)dx (x 4xy )dy (0 0 3)dx (x 0) 0dx1 = + + = + + 4 2 3 2AB 1 12= dx31= 3在积分区域BC 上，x = 2 ，y :

6、0 1，若化为对y 的定积分，则dx = 01 1I 2xy y 3)dx (x 4xy )dy (2 2y y 3) 0dy (4 4 2y )dy2 = + + = + + ( 4 2 3 4 3BC 0 01= y dy y y(4 3 ) = = 8 44 2 2100因此 3 2 5I = I1 + I = + =27.解：令 P = 3x2 y + 8xy2 Q = x3 + 8x2 y +12yeyP QQ = = 3x2 +16xyy x在整个 面内恒成立，因此在整个 面内， 存在某个函xOy xOy数 使得 ，采用u(x, y) du = Pdx + Qdy A(0,0) B

7、(x,0) C(x, y)的折线计算曲线积分：3I= u(x, y) = (3x2 y 8xy2 )dx ( 3 8 2 12 y )+ + x + x y + ye dyAB+BC在积分区域AB 上，y = 0，x : 0 x ，若化为对x的定积分，则dy = 0x xI (3x y 8xy )dx (x 8 y 12ye dy dx x dx1 = + + + + = + + + + 2 2 3 x2 y ) (0 0) ( 3 0 0) 0AB 0 0= 0在积分区域BC 上，x = x（此时x 为常数），y : 0 y ，若化为对y 的定积分，则dx = 0 + + + +I = (3

8、x2 y 8xy2 )dx (x3 8x2 y 12yey )dy2BCy y= (3 3 2x2 y + 8xy ) 0dy + (x 8x y +12yey )dy2 +0 0=y y( 8x y 12ye )dy x y x y yd e3 2 y 3 2 2 y 4 12 ( ) =y 4 12 ( ) + + = + +x y y=00 0=y3 4 12ye 12 e dy 2 y 2 yy y y = y=yx y x y y x y ye+ 2 + = x3 + 4 2 +12 y 12 ey= =00 y0=x3 y + 4x2 y2 +12yey 12ey因此I = 1 +

9、 I = x3 y + 4x2 y2 +12yey 12e yI2即u(x, y) 即为所求。= x3 y + 4x2 y2 +12yey 12ey8.解：令 P = x + 2y Q = 2x + yP QQ = = 2y x在整个 面内恒成立，因此在整个 面内，存在某个函数 使xOy xOy u(x, y)得 Pdx Qdy ，采用du = + A(0,0) B(x,0) C(x, y)的折线计算曲线积分：4I= u(x, y) = (x + 2y)dx + (2x + y)dyAB+BC在积分区域AB 上，y = 0，x : 0 x ，若化为对x的定积分，则dy = 0x xI (x 2

10、y)dx (2x y)dy (x 0)dx (2x 0) 0dx 1 = + + + = + + + 1 = + + + = + + + AB 0 0=x22在积分区域BC 上，x = x（此时x 为常数），y : 0 y ，若化为对y 的定积分，则dx = 0 + + +I = (x 2y)dx (2x y)dy2BCy y= (x + 2y) 0dy +0 0(2x + y)dy=y0(2x + y)dy =2xy+y22y=yy=0=2xy+y22因此I = I1 + I2=y2 x22xy + +2 2即u(x, y)y2 x2= 2xy + + 即为所求。2 29.解：令 P = 2

11、xy Q = x2P QQ = = 2xy x在整个 面内恒成立，因此在整个 面内， 存在某个函数xOy xOy u(x, y)使得 Pdx Qdy ，采用du = + A(0,0) B(x,0) C(x, y)的折线计算曲线积分：I = u(x, y) = 2xydx + x2dyAB+BC在积分区域AB 上，y = 0，x : 0 x ，若化为对x的定积分，则dy = 05x xI 2 0 01 = xydx + x dy = dx + x dx =2 2AB 0 00在积分区域BC 上，x = x（此时x 为常数），y : 0 y ，若化为对y 的定积分，则dx = 0y y + ( +

12、 y= yI2 = 2 2 xy dy x dyxydx x dy 2 0 = 2 = x y x y)2 2y=0BC 0 0因此I = 1 + I = x2 yI2即u(x, y) x y 即为所求。=210.解：令 = ( ) + ( + ) = +I 2xy x2 dx x y2 dy P(x, y)dx Q(x, y)dyL LP y= 2xQ， =1x Q = ( )PI = dxdy 1 2x dxdyx y D D=1 x( ) dx 2 1 2x dy0 x=1(1 x)( x x )dx = 1 ( + ) 2 x 2x x x2 2x3 dx20 01 3 52 2 1

13、2= x x x x =2 3+ 4 2 23 5 3 4 013011.解：令 = ( ) + ( ) = +I x3 xy3 dx y3 2xy dy P(x, y)dx Q(x, y)dyL LP = 3xy2yQ， = 2yx Q P = ( + ) I = y 3 2 dxdy 2 xy dxdyx y D D=2 2 ( 2y xy )dy ( )2y=2 dx +3 y + 32 = 2 xy dx=00 0 0204 x dx 8 2= 4x + 4x = 8 2012.解：令 = ( + ) + ( + ) = +I 2x y 4 dx 5y 3x 6 dy P(x, y)d

14、x Q(x, y)dyL LP y= 1Q， = 3x P 1Q = ( )I 3 = = 1 4 3 2 12 dxdy dxdy dxdy = 4 =x y 2 D D D13. 解: 所求的弹簧 的质量表示为6m= x y z ds( , , )积分区域 为参数方程：x=2cost，y=t，z=2sint， 0 t 6 ， 弧长元素为ds = (2 sin t)2 +1+ (2 cost)2 dt = 5dt将所求对弧长的曲线积分化为定积分为6m= x y z ds = 2yds = t dt( , , ) 2 5 = 5 (6 )2 =36 5 2 014. 解：所求弹簧的质量表示为m

15、= x y z ds( , , )积分区域 为参数方程：x=cos4t，y=sin4t，z=t， 0 t 2 ，弧长元素为ds = (4 sin 4t)2 +1 + (4cos 4t)2 dt = 17dt将所求对弧长的曲线积分化为定积分为2m= x y z ds = zds = t dt( , , ) 17 =2 17 2 015.解一: 力F 所作的功W 表示为 W = F(x, y) dr ，其中dr = (dx,dy) ，L令x = t, y = t2 1作为曲线的参数方程，t 从1 到2，此时dx =1dt,dy = 2tdt ，得W-2 -2= x y d ydx xdy t t

16、t dt t dtF( , ) r = = ( 2 1) ( )(2 ) = ( 2 1) =L L 1 16 .解二: 力F 所作的功W 表示为W= LF Tds其中T 为定向曲线x = t, y = t2 1（t从1 变到2）的单位切向量，即T = (1, 2t)1+1(2t)2由对弧长的曲线积分的计算方法可知ds = (1+ (2t)2 dt因此W12 -2= = t dtF Tds = (t2 1, t) (1, 2t) (1+ (2t) dt ( 1) 6 2 2 =1 + )1 (2t2 1L16. 解一： 力F 所作的功W 表示为 W = F( , ) r ，其中dr = (dx

17、,dy) ，x y d L令x = 2 2 cost, y = 2 sin t 作为曲线的参数方程，t从0 变到27，此时dx = 2 2 sintdt ，dy = 2 costdt ，于是W F( , ) r = = x y d ( kx, ky) (dx,dy)L L=k + = + xdx ydy 2 ( 8cost sink t2 ( 8cost sinL 02sint cost)dt = (8 2) 2 cost sintdt 6kk = 20 0sintd(sint) 2= k sin t 2 k 6 3k 6 = = k sin t 2 k 6 3k 2 2 0解二： 力F 所作

18、的功W 表示为W= LF Tds其中T 为定向曲线x = 2 2 cost, y = 2 sin t （t从0 变到2）的单位切向量，即T =(2 2 sint,2cost)8 (sint)2 + 2 (cost)2由对弧长的曲线积分的计算方法可知ds = 8 (sint)2 + 2 (cost)2 dt因此W= LF Tds2= (2 2 sint, 2 cost)8(sint) + 2 (cost)(k 2 2 cost,k 2 sint) 8(sint)2+ 2(cost) dt2 k + = = 2 ( 8cost sint 2sint cost)dt k(8 2)20 0 sin2=

19、 6k 2 sintd(sint) 6 = = k t 2 k 6 3k 2 20 0cost sintdt17.解：将积分区域分解为=1+2, 其中积分区域 z1: z = 4 , z = 0 , = 0x y 1 = x y x + y 1的投影区域为 ( , ) 4D 2 2 , 面积元素为dS = 1+ 0 + 0dxdy = dxdy积分区域2: z= x2 + y2 ,xz = ,x +x2 y2yz =y +x2 y2 x 22的投影区域为 ( , ) 4D2 = x y x + y2 , 面积元素为dS z z dxdy dxdy2 = 1+ 2 + 2 = ,y所求曲面面积为

20、= =16 +16 2 =16(1+ 2) . = + + S = dS dS dS dxdy 2dxdy 1 DD 2 1 2818.解：积分区域: z = R2 x2 , xz z= , = 0x yR2 x2投影区域为 D (x, y) 0 x R, y R xxy = 0 ,2 2面积元素为dS = 1+x R2z z2 dxdy =2 + 1+ + 0dxdy =x y 2 2 2 2R xR xdxdy所求面积为SR R x2 2R = = 2 dS 2 dxdy =2 dxR x2 2 D0 0xyRR2x2dy=R20R x R2 2R Rdx dy = 2 R x dx =

21、2R22 2R x R x2 2 2 20 019.解：积分区域: z = a2 (x2 + y2 ) , xz = ,x +a2 (x2 y2 ) yz =y +a2 (x2 y 2) 2a 2 axy ,投影区域为D = ) (x +(x, y ) y2 2 4 = ,0 cos将投影区域看成极坐标区域为D ( , ) 0 axy 2所以面积元素为dSx y a2 2= ,1+ z2 + z dxdy 1+ + dxdy = dxdy2 =x 2 2 2 2 2 2y a x y a x y2 2 2a x y（4 分）因此所求曲面面积为S = dS = Dxya2ax2y2dxdy =2a d0a cos0a2 2d 2 a 1 2 2 = cos2a cos= d a ( da d ) a a2 202 a2