西南大学数理统计作业答案.docx
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西南大学数理统计作业答案
西南大学数理统计作业答案
由累积资料知道甲、乙两煤矿的含灰率分别服从
。
现从两矿各抽n个试件,分析其含灰率为
甲矿
24.3
20.8
23.7
21.3
17.4%
乙矿
18.2
16.9
20.2
16.7%
问甲、乙两矿所采煤的含灰率的数学期望
有无显著差异(显著水平α=0.05)
答:
1分别以甲乙两矿所采煤的含灰率作为总体
和总体
问题归结为根据所给的样本观察值对方差已知的两个正态总体检验
,可采用U-检验法。
原假设
,由所给样本观察值算得
,于是
对于α=0.10,查标准正态分布表得
,因为
,所以拒绝
,即可以认为
有显著差异。
2 某种羊毛在处理前后,各抽取样本测得含脂率如下(%):
处理前
19
18
21
30
66
42
8
12
30
27
处理后
15
13
7
24
19
4
8
20
羊毛含脂率按正态分布,问处理后含脂率有无显著差异(α=0.05)
答:
2 已知n=10,m=8,α=0.05,假设
,自由度为n+m-2=16,查表
选取统计量
因为
,所以否定
,即可以认为处理后含脂率有显著变化。
3 使用A与B两种方法来研究冰的潜热,样本都是
的冰。
下列数据是每克冰从
变为
的水的过程中的热量变化(Cal/g):
方法一
79.9880.0480.0280.0480.0380.0380.0479.9780.0580.0380.02
80.0080.02
方法二
80.0279.9779.9879.9779.9480.0379.9579.97
假定用每种方法测得的数据都具有正态分布,并且它们的方差相等,试在α=0.05下可否认为两种方法测得的结果一致?
答:
3两个总体,且
,用t检验法:
检验假设
计算统计量的值
α=0.05,自由度为n+m-2=19,方差未知,查表得
因
故否定
即在检验水平α=0.05下可以认为两种方法测得值(均值)不等。
1 为了检验某药物是否会改变人的血压,挑选10名试验者,测量他们服药前后的血压,如下表所列:
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
服药前血压
134
122
132
130
128
140
118
127
125
142
服药后血压
140
130
135
126
134
138
124
126
132
144
假设服药前后血压差值服从正态分布,取检验水平为0.05,从这些资料中是否能得出该药物会改变血压的结论?
答:
1 以
记服药前后血压的差值,则
服从
,其中
均未知,这些资料中可以得出
的一个样本观察值:
683-46-26-172
待检验的假设为
这是一个方差未知时,对正态总体的均值作检验的问题,因此用t检验法当
时,接受原假设,反之,拒绝原假设。
依次计算有
由于
T的观察值的绝对值
。
所以拒绝原假设,即认为服药前后人的血压有显著变化。
2 某厂用自动包装机装箱,在正常情况下,每箱重量服从正态分布
,某日开工后,随机抽查10箱,重量如下(单位:
斤):
99.3,98.9,100.5,100.1,99.9,99.7,100.0,100.2,99.5,100.9,问包装机工作是否正常,即该日每箱重量的数学期望与100有显著差异(给定水平α=0.05,并认为该日的
仍为1.15)
答:
2 以该日每箱重量作为总体
,它服从
,问题就归结为根据所给的样本观察值对方差已知的正态总体检验
,可采用U-检验法。
原假设
,由所给样本观察值算得
,于是
对于α=0.05,查标准正态分布表得
,因为
,所以接受
,即可以认为该日每箱重量的数学期望与100无显著差异,包装机工作正常。
3 由累积资料知道甲、乙两煤矿的含灰率分别服从
。
现从两矿各抽n个试件,分析其含灰率为
甲矿
24.3
20.8
23.7
21.3
17.4%
乙矿
18.2
16.9
20.2
16.7%
问甲、乙两矿所采煤的含灰率的数学期望
有无显著差异(显著水平α=0.05)
答:
3 分别以甲乙两矿所采煤的含灰率作为总体
和总体
问题归结为根据所给的样本观察值对方差已知的两个正态总体检验
,可采用U-检验法。
原假设
,由所给样本观察值算得
,于是
对于α=0.10,查标准正态分布表得
,因为
,所以拒绝
,即可以认为
有显著差异。
4 打包机装糖入包,每包标准重为100斤,每天开工后,要检验所装糖包的总体期望值是否合乎标准(100斤),某日开工后,测得9包糖重如下(单位:
斤):
99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5,打包机装糖的包重服从正态分布,问该天打包机工作是否正常(α=0.05)
答:
4 由题意已知:
服从
,并已知
,n=9,α=0.05
假设
在
成立的条件下,所选统计量T服从自由度为9-1=8的t-分布
查表求出
,因为0.05<2.306,所以接受
,即可以说该天打包机工作正常。
5 某种羊毛在处理前后,各抽取样本测得含脂率如下(%):
处理前
19
18
21
30
66
42
8
12
30
27
处理后
15
13
7
24
19
4
8
20
羊毛含脂率按正态分布,问处理后含脂率有无显著差异(α=0.05)
答:
5 已知n=10,m=8,α=0.05,假设
,自由度为n+m-2=16,查表
选取统计量
因为
,所以否定
,即可以认为处理后含脂率有显著变化。
6 使用A与B两种方法来研究冰的潜热,样本都是
的冰。
下列数据是每克冰从
变为
的水的过程中的热量变化(Cal/g):
方法一
79.9880.0480.0280.0480.0380.0380.0479.9780.0580.0380.02
80.0080.02
方法二
80.0279.9779.9879.9779.9480.0379.9579.97
假定用每种方法测得的数据都具有正态分布,并且它们的方差相等,试在α=0.05下可否认为两种方法测得的结果一致?
答:
6 两个总体,且
,用t检验法:
检验假设
计算统计量的值
α=0.05,自由度为n+m-2=19,方差未知,查表得
因
故否定
即在检验水平α=0.05下可以认为两种方法测得值(均值)不等。
7 两台车床生产同一种滚珠(滚珠直径按正态分布见下表),从中分别抽取8个和9个产品,比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否相等(α=0.05)
甲床
15.014.515.215.514.815.115.214.8
乙床
15.215.014.815.215.015.014.815.114.8
答:
7 已知n=8,m=9,α=0.05,假设
,α=0.05,α/2=0.025,第一自由度n-1=7,第二自由度m-1=8,在
成立的条件下选取统计量
服从自由度分别为7,8的F分布
查表:
,因为F=3.69<4.53,所以接受假设
,即可以认为两台车床生产的滚珠直径的方差相等。
8 同一型号的两台车床加工同一规格的零件,在生产过程中分别抽取n=6个零件和m=9个零件,测得各零件的质量指标数值分别为
及
,并计算得到下列数据:
假定零件的质量指标服从正态分布,给定显著性水平α=0.05,试问两台车床加工的精度有无显著差异?
答:
8 这是两个正态总体的方差是否相等的显著性检验,运用F统计量。
用
表示第一台车床加工的零件指标,设
服从
;用
表示第二台车床加工的零件指标,设
服从
。
假设
计算F统计量的观察值:
当
为真时,F服从F(5,8)分布,并有
,由于
0。
21<1。
03<3。
69,所以接受
,即认为两台车床加工精度没有显著性差异。
其中
9 在π的前800位小数的数字中,0,1,…,9分别出现了74,92,83,79,80,73,77,75,76,91次,能否断定这10个数字在π的小数中是均匀出现的(
α=0.05)
答:
9 以X需要检验的假设为表示π的小数部分出现的数字,这就是总体,它的分布列为
样本
来自总体X,需要检验的假设为
这是一个显著性假设检验问题,用
检验法,以
表示
中j出现的个数,j=0,
1,。
。
。
,9,见下表:
j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
74
92
83
79
80
73
77
75
76
91
6
12
3
1
0
7
3
5
4
11
0.4500
1.8000
0.1125
0.0125
0.0000
0.6125
0.1125
0.3125
0.2000
1.5125
在原假设成立时,
服从自由度为9的
-分布。
故
=5.1250,而
。
所以接受原假设,认为出现在的小数部分中的各数字个数服从均匀分布。
10 为了研究患慢性支气管炎与吸烟量的关系,调查了272个人,结果如下表:
吸烟量(支/日)
求和
0—9
10—19
20—
患者数
非患者数
求和
22
22
44
98
89
187
25
16
41
145
127
272
试问患慢性支气管炎是否与吸烟量相互独立(显著水平α=0.05)
答:
10 令X=1表示被调查者患慢性气管炎,X=2表示被调查者不患慢性气管炎,Y表示被调查者每日的吸烟支数。
原假设
:
X与Y相互独立。
根据所给数据,有
对于α=0.05,由自由度(r-1)(s-1)=(2-1)(3-1)=2,查
-分布表
。
因为
=1.223<5.991,所以接受
,即认为患慢性气管炎与吸烟量无关。
1、从一批机器零件毛坯中随机抽取8件,测得其重量(单位:
kg)为:
230,243,185,240,228,196,246,200。
(1)写出总体,样本,样本值,样本容量;
(2)求样本的均值,方差及二阶原点距。
答:
(1)总体为该批机器零件重量ξ,样本为
,样本值为230,243,185,240,228,196,246,200,样本容量为n=8;
(2)
2、若样本观察值
的频数分别为
,试写出计算平均值和样本方差的公式(这里
)。
答:
3、设总体X服从两点分布B(1,p),其中p是未知参数,
是来自总体的简单随机样本。
指出
之中哪些是统计量,哪些不是统计量,为什么
答:
都是统计量,
不是统计量,因p是未知参数。
4、设总体X服从正态分布
,其中
已知,
未知,
是来自总体的简单随机样本。
(1)写出样本
的联合密度函数;
(2)指出之中哪些是统计量,哪些不是统计量。
答:
(1)因为X服从正态分布
,而
是取自总体X的样本,所以有Xi服从
,即
故样本的联合密度函数为
。
(2)
都是统计量,因为它们均不包含任何未知参数,
而
不是统计量。
1 为了检验某药物是否会改变人的血压,挑选10名试验者,测量他们服药前后的血压,如下表所列:
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
服药前血压
134
122
132
130
128
140
118
127
125
142
服药后血压
140
130
135
126
134
138
124
126
132
144
假设服药前后血压差值服从正态分布,取检验水平为0.05,从这些资料中是否能得出该药物会改变血压的结论?
答:
1 以
记服药前后血压的差值,则
服从
,其中
均未知,这些资料中可以得出
的一个样本观察值:
683-46-26-172
待检验的假设为
这是一个方差未知时,对正态总体的均值作检验的问题,因此用t检验法当
时,接受原假设,反之,拒绝原假设。
依次计算有
由于
T的观察值的绝对值
。
所以拒绝原假设,即认为服药前后人的血压有显著变化。
2 某厂用自动包装机装箱,在正常情况下,每箱重量服从正态分布
,某日开工后,随机抽查10箱,重量如下(单位:
斤):
99.3,98.9,100.5,100.1,99.9,99.7,100.0,100.2,99.5,100.9,问包装机工作是否正常,即该日每箱重量的数学期望与100有显著差异(给定水平α=0.05,并认为该日的
仍为1.15)
答:
2 以该日每箱重量作为总体
,它服从
,问题就归结为根据所给的样本观察值对方差已知的正态总体检验
,可采用U-检验法。
原假设
,由所给样本观察值算得
,于是
对于α=0.05,查标准正态分布表得
,因为
,所以接受
,即可以认为该日每箱重量的数学期望与100无显著差异,包装机工作正常。
3 打包机装糖入包,每包标准重为100斤,每天开工后,要检验所装糖包的总体期望值是否合乎标准(100斤),某日开工后,测得9包糖重如下(单位:
斤):
99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5,打包机装糖的包重服从正态分布,问该天打包机工作是否正常(α=0.05)
答:
3 由题意已知:
服从
,并已知
,n=9,α=0.05
假设
在
成立的条件下,所选统计量T服从自由度为9-1=8的t-分布
查表求出
,因为0.05<2.306,所以接受
,即可以说该天打包机工作正常。
1 设总体
服从参数为(N,p)的二项分布,其中(N,p)为未知参数,
为来自总体
的一个样本,求(N,p)的矩法估计。
答:
1 因为
,只需以
分别代
解方程组得
。
1、1、设一组抽奖券共10000张,其中有5张有奖。
问连续抽取3张均有奖的概率为多少?
解:
不妨设
要求该事件的概率,实际上即是求联合概率分布
0或1)
在
处的值。
但题中没有说明"连续抽取”是"有放回的”还是"无放回的”,我们不妨都计算一下:
()无放回时:
()有放回时:
2、
解:
(1)X服从两点分布,其概率分布为
=0,1,所需确定的是参数
.
(2)X通常服从指数分布,其密度函数.
所需确定的是参数
>0。
(3)X通常服从正态分布
,其密度函数
所需确定的是参数
,其中
,
。
2、考虑如何由样本
的实际背景确定统计模型,即总体X的分布:
(1)样本记录随机抽取的n件产品的正品、废品情况。
(2)样本表示同一批n个电子元件的寿命(小时)。
(3)样本表示同一批n件产品某一尺寸(mm)。
2、
解:
(1)X服从两点分布,其概率分布为
=0,1,所需确定的是参数
.
(2)X通常服从指数分布,其密度函数.
所需确定的是参数
>0。
(3)X通常服从正态分布
,其密度函数
所需确定的是参数
,其中
,
。