正比例和反比例.docx
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正比例和反比例
武汉龙文教育学科辅导讲义
授课对象
授课教师
授课时间
2012-8-11
授课题目
正比例和反比例
课型
复习
使用教具
讲义纸笔
教学目标
1.使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量,能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
2.使学生初步认识正比例的图像是一条直线,能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线,能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
教学重点和难点
教学重点:
根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
教学难点:
根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
教学流程及授课详案
知识梳理
一、比例的有关知识
1.比例的意义
①要点:
表示两个比相等的式子叫做比例。
②例题:
应用比例的意义判断6.4:
4和9.6:
6能否组成比例?
因为:
6.4:
4=6.4÷4=1.69.6:
6=9.6÷6=1.6
所以:
6.4:
4=9.6:
6
2.比例的基本性质
①要点:
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项;在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
这叫做比例的基本性质。
②例题:
3 :
8 = 18 :
483×48=8×18
内项
外项
例题:
运用比例的基本性质判断3.6:
1.8和0.5:
0.25能否组成比例?
因为3.6×0.25=0.91.8×0.5=0.9
所以3.6:
1.8=0.5:
0.25
例题:
从12的因数中任意选出4个数,再组成8个比例式。
因为:
12=1×12=2×6=3×4
所以从12的因数中任意选出两组4个数并运用比例的基本性质可以组成8个不同的比例。
2×6=3×4
(2)︰(3)=(4)︰(6)(3)︰
(2)=(6)︰(4)
(2)︰(4)=(3)︰(6)(3)︰(6)=
(2)︰(4)
(6)︰(4)=(3)︰
(2)(4)︰(6)=
(2)︰(3)
(6)︰(3)=(4)︰
(2)(4)︰
(2)=(6)︰(3)
3.解比例
①要点:
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任意三项,就可以求出这个比例中的另一个未知项。
求比例的未知项,叫做解比例。
②例题:
3:
8=ⅹ:
40
=
8ⅹ=3×404.5ⅹ=9×0.8
8ⅹ=1204.5ⅹ=7.2
ⅹ=15ⅹ=1.6
(4)比例尺
①要点:
图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。
比例尺=
,比例尺有两种形式:
数值比例尺和线段比例尺。
②例题:
在一幅某乡农作物布局图上,20厘米表示实际距离16千米。
求这幅图的比例尺。
16千米=1600000厘米
=
例题:
说出下面比例尺表示的意思。
这是线段比例尺,它表示图上1厘米的距离代表实际距离200千米。
例题:
在一幅比例尺是1:
500000的地图上,量得甲、乙两城的距离是12.5厘米。
甲、乙两城实际相距多少千米?
方法1:
12.5×500000=6250000(厘米)=62.5(千米)
方法2:
2.5×5=62.5(千米)
方法3:
12.5÷
=12.5×500000=6250000(厘米)=62.5千米
解:
设甲、乙两城实际相距ⅹ厘米。
=
1ⅹ=12.5×500000
ⅹ=6250000
6250000(厘米)=62.5千米
(5)面积变化
①要点:
把一个平面图形按照一定的倍数(n)放大或缩小到原来的几分之一(
)后,放大(或缩小)后与放大(或缩小)前图形的面积比是n²:
1(或1:
n²)。
②例题:
下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。
分别量出它们的长和宽,算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。
量得小长方形的长是2.5厘米,宽是1厘米;大长方形的长是7.5厘米,宽是3厘米。
大长方形与小长方形长的比是7.5:
2.5=3:
1,宽的比是3:
1。
=
=
×
=9:
1=3²:
1
大长方形与小长方形面积的比是9:
1。
效果检测
1.根据A×B=C×D,写出8个比例式。
()︰()=()︰()()︰()=()︰()
()︰()=()︰()()︰()=()︰()
()︰()=()︰()()︰()=()︰()
()︰()=()︰()()︰()=()︰()
2.在一幅比例尺是1000:
1的图纸上,量得某正方体零件的棱长为1米。
则该零件的实际体积是多少?
3.一个正方形的边长扩大为2倍,则周长扩大为原来的()倍。
一个正方体的棱长缩小为原来的
,则体积缩小为原来的()。
一个圆柱体的底面直径扩大为4倍,则侧面积扩大为原来的()倍。
一个圆锥体的底面直径缩小为原来的
,则体积缩小为原来的()。
4.判断正误。
(1)比就是比例,前者是后者的简称,实际上是一个意思。
()
(2)比的前后项同时加上一个数,比值不变。
()
(3)比的前后项同时乘以一个数,比值不变。
()
(4)比例的两外项之积除以两内项之的商为常数。
()
(5)比例的两内项两外项同乘以一个负数,比例仍然成立。
()
5.解比例。
(25-5x)︰(-3)=(
x+5)︰(-
)
=
教学过程
小学数学总复习归类讲解及训练
(七)
主要内容
正比例和反比例
考点分析
1.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。
如果这两种量中相对应的两个数的比的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们之间的关系叫做正比例关系。
如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示:
=K(一定)。
2.用“描点法”可以得到正比例的图像,正比例的图像是一条直线。
对照图像,能根据一种量的值,估计另一种量相对应的值。
3.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。
如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们之间的关系叫做反比例关系。
如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的积,反比例关系可以用这样的式子来表示:
xy=K(一定)。
4.两个变量的比值一定,这两个变量成正比例;两个变量的积一定,这两个变量成反比例;没有上述两种关系,这两个变量不成比例。
比例有正反,判断是关键.分清三种量,关系式列全.正比商一定,
反比积不变.商积不一定,不成正与反.等式非乘除,同比例无关.
典型例题
例1(正比例的意义)一列火车行驶的时间和路程如下表。
这两种量有什么关系?
时间/时
1
2
3
4
5
6
……
路程/千米
120
240
360
480
600
720
……
分析与解:
(1)从上表可以看出,表中有时间和路程两种量。
(2)从左往右看,时间扩大,路程也扩大;从右往左看,时间缩小,路程也缩小。
所以它们是两种相关联的量。
(3)路程和时间的比值始终不变,
=120,
=120,
=120……这个比值就是火车的行驶速度。
通过观察和计算,我们对路程和时间的关系有两点发现:
第一点路程和时间是两种相关联的量,也就是时间变化,路程也随着变化;第二点路程和对应的时间的比的比值(也就是速度)是一定的,有这样的关系:
=速度(一定)。
具备了这两个条件,我们就可以得到结论:
行驶的路程和时间成正比例关系;行驶的路程和时间成正比例的量。
点评:
判断两种量是不是成正比例,分三步:
一看它们是不是相关联的两种量;二是看一种量变化,另一种量是不是也随着变化;满足了前面两个条件,再看它们的比值是否一定。
不要省去任何一步。
如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示:
=K(一定)。
例2(判断是否成正比例)
练习本的单价一定,买练习本的数量和总价是不是成正比例?
为什么?
分析与解:
根据正比例的意义,看两个变量的比值是否一定,如果两个变量的比值一定,那么这两个变量就成正比例,反之,则不成正比例。
买练习本的数量和总价是两种相关联的量,它们与练习本的单价有下面的关系:
=练习本的单价(一定)
所以练习本的数量和总价成正比例。
例3(正比例的图像)磁悬浮列车匀速行驶时,路程与时间的关系如下。
时间/分
1
2
3
4
5
6
7
……
路程/千米
7
14
21
28
35
42
49
……
(1)图中的点A表示时间为1分钟时,磁悬浮列车驶过的路程为7千米。
请你试着描出其他各点。
(2)连接各点,它们在一条直线上吗?
(3)根据图像判断,列车运行2分半钟时,行驶的路程是多少千米?
行驶30千米大约需要几分钟?
路程/千米
42
35
28
21
14
7●A
0
1234567时间/分
分析与解:
根据提供的各组数据描出图像的许多个点,再依次连成直线。
路程和时间相对应的数的比值都是7,即速度一定,路程和时间成正比例,图像是一条直线。
对照图像,可以根据时间的值估计出路程的值,也可以根据路程的值估计出时间的值,估计时允许有一定的出入。
(1)描点、连线如图。
路程/千米
42●
35●
28●
21●
14●
7●A
0
1234567时间/分
(2)在一条直线上,因为路程和时间成正比例,正比例的图像是一条直线。
(3)根据图像,列车运行2分半钟时,行驶的路程是17.5千米;行驶30千米大约需要4.3分钟。
例4(辨析)圆的周长和直径成正比例,圆的面积和半径成正比例?
分析与解:
圆的周长和直径成正比例,而圆的面积和半径却不成正比例。
可列表判断。
半径/cm
1
2
3
4
5
6
……
直径/cm
2
4
6
8
10
12
……
周长/cm
6.28
12.56
18.84
25.12
31.4
37.68
……
面积/cm²
3.14
12.56
28.26
50.24
78.5
113.04
……
圆的周长和直径的相对应的数的比值都是3.14,所以圆的周长和直径成正比例。
而圆的面积和半径的相对应的数的比值是变化的,所以圆的面积和半径不成正比例。
圆的周长和直径成正比例,圆的面积和半径却不成正比例。
例5(反比例的意义)
下表是王师傅加工一批零件时,每小时加工零件个数随时间变化的情况。
这两种量有什么关系?
每小时加工零件的个数/个
20
30
40
60
80
……
加工的时间/时
12
8
6
4
3
……
分析与解:
(1)从上表可以看出,表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。
(2)从左往右看,每小时加工零件的个数扩大,加工的时间反而缩小;从
右往左看,每小时加工零件的个数缩小,加工的时间反而扩大。
所以它们是两种相关联的量。
(3)每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变,如20×12=240,30×8=240,40×6=240……而这个积就是这批零件的总个数。
通过观察和计算,我们发现:
每小时加工零件的个数和加工的时
间是两种相关联的量,每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而变化,但无论它们怎么变化,相对应的积是一定的,有这样的关系:
每小时加工零件的个数×加工的时间=零件的总个数(一定)。
所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量,它们之
间的关系叫做反比例关系。
点评:
判断两种量是不是成反比例,和正比例一样,分三步:
一看它们是不是相关联的两种量;二是看一种量变化,另一种量是不是也随着变化;满足了前面两个条件,再看它们的乘积是否一定,进行判断。
不要省去任何一步。
如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示:
xy=K(一定)。
例6(判断是否成反比例)
总产量一定,每公顷的产量和公顷数是不是成反比例?
为什么?
分析与解:
根据反比例的意义,看两个变量的乘积是否一定,如果两个变量的积一定,那么这两个变量就成反比例,反之,则不成反比例。
每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量,它们与总产量有下面的关系:
每公顷的产量×公顷数=总产量(一定)
所以每公顷的产量和公顷数成反比例。
例7(辨析)和一定,一个加数和另一个加数成反比例。
分析与解:
判断两个变量是否成反比例,关键是看两个变量的乘积是否一定。
很明显,和一定,两个加数的积是变化的,所以它们不成反比例。
和一定,一个加数和另一个加数不成反比例。
因为它们的积不一定。
点评:
有些相关联的量,虽然也是一种量变化,另一种量也随着变化,但它们不是积一定,也不是比值一定,它们就不成比例。
像这样的还有:
人的跳高高度和身高;减数一定,被减数和差等。
例8(综合题1)
(1)长方形的面积一定,长和宽成反比例吗?
为什么?
(2)长方形的周长一定,长和宽成反比例吗?
为什么?
分析与解:
判断时可以用列表的方式列举数据,也可以根据计算的公式来推导。
(1)因为长方形的长×宽=长方形的面积(一定),所以长和宽成反比例。
(2)长方形的周长=(长+宽)×2,长方形的周长一定,长+宽的和一定,但不是积一定,所以长和宽不成反比例。
例9(综合题2)
分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中,每两种量的比例关系。
(1)大米的总千克数一定,每天吃的千克数和天数;
(2)每天吃的千克数一定,大米的总千克数和天数;
(3)天数一定,大米的总千克数和每天吃的千克数。
分析与解:
在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中,当某一种量一定时,另外两种量可能成正比例关系,也可能成反比例关系。
可以根据数量关系式来判断。
(1)因为每天吃的千克数×天数=大米的总千克数(一定),所以大米的总千克数一定时,每天吃的千克数和天数成反比例。
(2)因为
=每天吃的千克数(一定),所以每天吃的千克数一定时,大米的总千克数和天数成正比例。
(3)因为
=天数(一定),所以天数一定时,大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。
巩固训练
1.仔细观察每张表格,思考表格中两种量之间有关系吗?
有什么关系?
为什么?
表格1
数量/本
1
3
6
8
10
20
……
总价/元
4
12
24
32
40
80
……
表格2
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
总价/元
6
8
12
16
20
24
……
表格3用60元钱购买笔记本,笔记本的单价和可以购买的数量如下表:
单价/元
1.5
2
3
4
5
6
……
数量/本
40
30
20
15
12
10
……
2.用一批纸装订练习本,每本25页,可装订400本。
如果要装订500本,每本有X页。
题中()量一定,关系式:
()○()=()(一定),()和()成()比例。
3.一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺,需要640块。
如果改用边长0.4米的正方形地砖,需要Y块。
题中()量一定,关系式:
()○()=()(一定),()和()成()比例。
4.在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时,()与()成()比例;
当高一定时,()与()成()比例;
当侧面积一定时,()与()成()比例。
5.在被除数、除数、商这三种量中,
当()一定时,()与()成正比例;
当()一定时,()与()成正比例;
当()一定时,()与()成反比例;
6.当a×b=c(a、b、c为三种量,且均不为0)。
()一定,()与()成()比例;
()一定,()与()成()比例;
()一定,()与()成()比例;
7.判断。
(1)工作总量一定,工作效率和工作时间成反比例。
()
(2)图上距离和实际距离成正比例。
()
(3)X和Y表示两种变化的相关联的量,同时5X-7Y=0,X和Y不成比例。
()
(4)分数的大小一定,它的分子和分母成正比例。
()
(5)在一定的距离内,车轮周长和它转动的圈数成反比例。
()
(6)两种相关联的量,不成正比例,就成反比例。
()
(7)订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。
()
(8)在400米赛跑中,跑步的速度和所用时间成反比例。
()
(9)工作总量一定,已完成的量和未完成的量成反比例。
()
(10)正方体的棱长和体积成正比例。
()
(11)被除数一定,除数和商成反比例。
()
(12)圆的周长和它的直径成正比例。
()
8.判断下面每题中的两种量是不是成比例,如果成比例,成什么比例。
(1)装配一批电视机,每天装配台数和所需的天数()。
(2)正方形的边长和周长()。
(3)水池的容积一定,水管每小时注水量和所用时间()。
(4)房间面积一定,每块砖的面积和铺砖的块数()。
(5)在一定时间里,加工每个零件所用的时间和加工零件的个数()。
(6)在一定时间里,每小时加工零件的个数和加工零件的个数()。
9.思考:
明明三岁时体重12千克,十一岁时体重44千克。
于是小张就说:
“明明的体重和身高成正比例。
”你认为小张的说法对吗?
为什么?
10.某造纸厂每小时造纸1.5吨,2小时、3小时┈┈各造纸多少吨?
(1)把下表填写完整。
造纸时间/时
1
2
3
4
……
造纸吨数/吨
1.5
……
(2)根据表中的数据,在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点,再把它们连起来。
吨数/吨
6
5
4
3
2
1
0
1234567时间/时
(3)造纸吨数与造纸时间成正比例吗?
为什么?
(4)根据图像判断,5小时造纸多少吨?
拓展提高
用比例解下列应用题;
1.学生参加搬砖劳动,6人搬砖162块。
照这样计算,再增加432块砖,需要学生多少人?
2.生产一批零件,师傅和徒弟两人合干用了15小时,已知师傅和徒弟的工效比是5:
3.求单独生产这批零件,师傅和徒弟各需用几小时?
3.一捆铅丝重520克,剪下20米,这捆铅丝减少了130克。
这捆铅丝还剩多少米?
4.一个工厂计划一年节约10800度电,实际前5个月就节约了6000度电。
照此,实际可节约多少度电?
5.修一条水渠,计划需要80人,40天完工。
实际开工10天后,又增加了20人,求还需多少天完工?
6.师徒工作效率的比是11:
9,两人共同要完成生产555个零件的任务,师傅先做一天后徒弟再来做。
师傅每天生产零件55个,完成任务时师傅共生产了几天?
家长签名: