蒲丰投针问题.docx
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蒲丰投针问题
蒙特卡罗方法概述
§8.2引例：
蒲丰投针问题
在用传统方法难以解决的问题中，有很大一部分可以用概率模型进行描述．由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难．有的模型难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用．在这种情况下，可以考虑采用MonteCarlo方法。
下面通过例子简单介绍MonteCarlo方法的基本思想．
MonteCarlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡洛，其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周
的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。
这一方法的步骤是：
1）1） 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线，见图8.1
（1）
2）2） 取一根长度为
的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m
3）计算针与直线相交的概率．
由分析知针与平行线相交的充要条件是
其中
建立直角坐标系
上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域，见图8．l
（2）．
由几何概率知
4）经统计实验估计出概率
由（*）式即
MonteCarlo方法的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量．然后通过模拟一统计试验，即多次随机抽样试验（确定m和n），统计出某事件发生的百分比．只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率．这实际上就是概率的统计定义．利用建立的概率模型，求出要估计的参数．蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支．
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提示：
设x是一个随机变量，它服从区间[０，d/2]是的均匀分布，同理，
是一个随机变量，它服从区间
上的均匀分布。
按照某种抽样法，产生随机变量的可能取值，例如进行n次抽样，得到样本值
，统计出满足不等式
的次数m（m．
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使用MATLAB语言编程实现（4.m）
l=1
d=2；
m=0；
fork＝l：
n
x＝unifmd（0，d／2）；
p＝unifmd（0，pi）；
if
m=m＋1
elsc
end
end
p=m/n
pi_m=1/p
运行，取n=1000,simu4回车，即得结果
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想：
1）在上述的程序中任意调整n的取值，会发现什么规律？
2）参数l，d的不同选择，会导致什么结果？
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蒙特卡洛方法适用范围很广泛，它既能求解确定性的问题，也能求解随机性的问题以及科学研究中的理论问题．例如利用蒙特卡洛方法可以近似地计算定积分，即产生数值积分问题．
任意曲边梯形面积的近似计算
一个古老的问题：
用一堆石头测量一个水塘的面积．应该怎样做呢？
测量方法如下：
假定水塘位于一块面积已知的矩形农田之中．如图8．2所示．随机地向这块农田扔石头使得它们都落在农田内．被扔到农田中的石头可能溅上了水，也可能没有溅上水，估计被“溅上水的”石头量占总的石头量的百分比．试想如何利用这估计的百分比去近似计算该水塘面积？
结合图8．2中的图形
（1）分析，只要已知各种参数及函数（a，b，H，f（x）），有以下两种方法可近似计算水塘面积．
1．随机投点法
1）赋初值：
试验次数n=0，成功次数m=0；规定投点试验的总次数N；
2）随机选择m个数对
，其中
，置n＝n＋l；
3）判断
，若是，转4，否则停止计算；
4）判断条件
（表示一块溅水的石头）是否成立，若成立则置m=m+1，转2，否则转2；
5）计算水塘面积的近似值
．
2．平均值估计法
1）产生[a,b]区间的均匀随机数
2）计算
3）计算
。
该方法的特点是估计函数f（x）在[a,b]上的平均值，面积近似等于该平均值乘以（b-a）．
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做：
用MATLAB软件编制程序实现，并对以上两种方法进行比较．
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