大学物理刚体力学基础习题思考题及答案.docx
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大学物理刚体力学基础习题思考题及答案
11amg
习题5
5-1.如图,一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定
滑轮的转动惯量均为mr2/2,将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成
的系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳的力。
解:
受力分析如图,可建立方程:
广2mgT22ma①
T1mgma②
J(T2T)rJ③
(TT1)rJ④
虹ar,Jmr2/2⑤
联立,解得:
a1g,T
4
上,设开始时杆以角速度°绕过中心O且垂直与桌面的轴转动,试求:
(1)作
用于杆的摩擦力矩;
(2)经过多长时间杆才会停止转动。
一小质元dmdx,有微元摩擦力:
解:
(1)设杆的线密度为:
dfdmggdx,
微元摩擦力矩:
dMgxdx,
(2)根据转动定律
MJJ马,
t
有:
0
MdtJd
dt
0
0
1.
-mglt
1[2
—ml0,..t
_oL
0
4
12
3g
或利用:
MtJ
J0,考虑到
0,J
1|2
一ml,
12
有:
tol。
5-3.如图所示,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子的质量
可以忽略,它与定滑轮之间无滑动。
假设定滑轮质量为M、半径为
R,其转动惯量为MR2/2,试求该物体由静止开始下落的过程中,
下落速度与时间的关系。
解:
受力分析如图,可建立方程:
rmgTma①
*TRJ②
—,1~2—
kaR,J—mR—-③
2
2mgMmg
联立,解得:
a—,T—,
考虑到a四,.•.vdv「旦—dt,有:
v
dt00M2mM2m
5-4.轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴光滑,滑轮的质量为M/4,均匀分布在其边缘上,绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端,而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物,如图。
已知滑轮对O轴的转动惯量JMR2/4,设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求B端重物上升的加速度?
解一:
分别对人、滑轮与重物列出动力学方程
Mg
T1
Maa人
T2
M4g
M心
aB物
4
T1R
T2R
J滑轮
由约束方程:
aAaBR和JMR2/4,解上述方程组
得到a—.
2
解二:
U为人相对绳的速度,V为重
选人、滑轮与重物为系统,设
物上升的速度,注意到u为匀速,史0,系统对轴的角动量为:
dt
考虑均质球体一个微元:
dmr2sindrdd
由定义:
考虑微元到轴的距离为rsin
J(rsin)2dm,有:
2R
J
000
(rsin)2
r2sindrdd
15
2-r
5
R[0(1
2
cos)dcos]
2mR2。
5
5-6.一轻弹簧与一均匀细棒连接,装置如图所示,已知弹簧的劲度系数k40N/m,当0时弹簧无形变,细棒的质量m5.0kg,求在0的位置上细棒至少应具有多大的角速度
才能转动到水平位置?
解:
以图示下方的三角桩为轴,从0~900时,
考虑机械能守恒,那么:
0时的机械能为:
111
mg一(重力势我)-(-ml5(转动动我),
223
90°时的机械能为:
—kx2
2
1
12212
)2kx2
232
一222一
(x0.5)1.51,得:
5-7.如图所示,一质量为m、半径为R的圆盘,可绕。
轴在铅直面转动。
若盘自静止下落,略去轴承的摩擦,求:
(1)盘到虚线所示的铅直位置时,质心C和盘缘A点的速率;
(2)在虚线位置轴对圆盘的作用力。
解:
(1)设虚线位置的C点为重力势能的零点,^^£一¥
下降过程机械能守恒,.心一y
有:
mgR1J2,而J1mR2mR23mR2
222
(2)Fymg(重力)mR2(向心力)7mg,方向向上。
3
5-8.如图所示,长为l的轻杆,两端各固定质量分别为m和2m的小球,杆可绕
V2.,,一一水平光滑固定轴O在竖直面转动,转轴O距两端分别为一l和一l.轻杆原来静
33
止在竖直位置。
今有一质量为m的小球,以水平速度v0与杆下端小球m作对心
1
碰撞,碰后以一v0的速度返回,试求碰撞后轻杆所狄碍的角速度。
2
解:
根据角动量守恒,有:
C
*
212,2l、2-,l、2
mv0—lm—v0—lm(—)2m
(一)
32333
o
有:
(4l22l2)2v°l1v°l
凯
*
9933
3^0.
2l
5-9.一质量均匀分布的圆盘,质量为M,半径为R,放在一粗糙水平面上(圆盘
与水平面之间的摩擦系数为),圆盘可绕通过其中
心。
的竖直固定光滑轴转动。
开始时,圆盘静止,一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,求:
(1)子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度;
(2)经过多少时间后,圆盘停止转动。
(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为
12…
—MR2,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。
)
2
得:
2mv
;
(2mM)R
5-10.有一质量为m〔、长为l的均匀细棒,静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上,它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。
另有一水平运动的质量为m2的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞,设碰撞时间极短。
已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v和法,如图所示。
求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。
(已知棒绕O点的转动惯量J1m1l2)
3
解:
由碰撞时角动量守恒,考虑到v和以方向相反,以逆时针为正向,有:
.1.23m2(ViV2)
m2v1l-m(l2m2v2l,得:
3m1l
又•.•细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得:
用一细绳与劲度系数k200N/m的弹簧相连,若绳与滑轮间无相对滑动,滑轮
轴上的摩擦忽略不计。
求:
(1)当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离;
(2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。
解:
(1)设弹簧的形变量为x,下落最大距离为xmax。
12
由机械北寸怛:
一kxmaxmgxmax,有:
2
xmax竺^0.49m;
k
(2)当物体下落时,由机械能守恒:
1kx21mv2-J2
2
2
2
考虑到-,
古12
有:
一kx
1221
mR一J
2
mgx,
R
2
22
d
欲求速度最大值,
将上式两边对
x求导,且令
0,有
dx
kx1(mR2J)2—mg,将—0代入,有:
x四0.245(m),
2dxdxk
.••当x0.245m时物体速度达最大值,有:
mgx1kx2
vmax1.31m/s。
v*ax2,代入数值可算出:
2(m力
5-12.设电风扇的功率恒定不变为P,叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速
度成正比,比例系数的k,并已知叶片转子的总转动惯量为J。
(1)原来静止
的电扇通电后t秒时刻的角速度;
(2)电扇稳定转动时的转速为多大?
(3)电扇
以稳定转速旋转时,断开电源后风叶还能继续转多少角度?
解:
(1)已知Mfk,而动力矩Mp,
通电时根据转动定律有:
MMfJ—
fdt
代入两边积分有:
tdt—一R,可求得:
J-(1ejt);
00Pk2.k
(2)见上式,当
t时,电扇稳定转动时的转速:
稳定JP;
(3)断开电源时,电扇的转速为0(p,只有Mf作用,那么:
kjJ,考虑到土土,有:
、0d,
dt
dtd0J0
得:
jj7
k0k4k。
5-13.如图所示,
物体A放在粗糙的水平面上,与水平桌面之间的摩擦系数为,
细绳的一端系住物体A,另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上,物体与转轮的质量相同。
开始时,物体与转轮皆静止,细绳松弛,若转轮以0绕其转轴转
动。
试问:
细绳刚绷紧的瞬时,物体A的速度多大?
物
体A运动后,细绳的力多大?
解:
(1)细绳刚绷紧的瞬时前后,把物体A和转轮B、
绳看成一个系统,系统对转轴圆柱形中心角动量守恒,
12
J0JRmvA,又vARJ-mR
2
1
30
(2)物体A运动后,由牛顿定律:
Tmgma
(1)
对转轮B,由定轴转动定律:
TRJ,
(2)约束关系:
aR(3)
一…1
可求出:
T§mg。
R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台
)。
平台和小孩开始时均静止。
5-14.质量为m的小孩站在半径为
边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动
当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时,此平台相对地面旋转
的角速度为多少?
5-15.在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上,有一人静止站立在
1—一,…...…、
距转轴为1R处,人的质量是圆盘质量的1/10.开始时盘载人对地以角速度o匀
2
速转动,现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运
动,如图所示.已知圆盘对中心轴的转动惯量为
;mr2.求:
r-、
(1)圆盘对地的角速度.,'<8/2^7/
(2)欲使圆盘对地静止,人应沿着】R圆周对圆盘的速
2
度v的大小及方向?
解:
(1)设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时,圆盘对地的绕轴角
速度为,则人对与地固联的转轴的角速度为
v2v
1RR
2
人与盘视为系统,所受对转轴合外力矩为零,系统的角动量守恒.
设盘的质量为M,则人的质量为M/10,有:
⑵欲使盘对地静止,则式③必为零.即0+2v/⑵R)=0
得:
v=—21R0/2
式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反,即与盘的初始转动方向一致.
答案:
2v0:
v=—21R0/2
21R
式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反,即与盘的初始转动方向一致.
思考题
'mig
Ti
m〔a
(1)
T2
m2g
m2a
(2)
(Ti
T2)r
J
(3)
a
r
(4)
5-1.一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮,绳的两端分别悬有质量m1和m2的物体(m1解:
联立方程可得T1、T2,T2Ti°
5-2.一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴。
以角速度按图示方向转动,若如图所示的情况那样,将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作
用到盘上,则盘的角速度怎样变化?
答:
增大
5-3.个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人
把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的:
(A)机械能守恒,角动量守恒;(B)机械能守恒,角动量不守恒;
(C)机械能不守恒,角动量守恒;(D)机械能不守恒,角动量不守恒。
答:
(C)
5-4.在边长为a的六边形顶点上,分别固定有质量都||
是m的6个质点,如图所示。
试求此系统绕下列转轴|六。
的转动惯量:
(1)设转轴I、n在质点所在的平面,—*
如图a所示;
(2)设转轴m垂直于质点所在的平面,°i\/
如图b所示。
•tv州
答:
以I为轴转动惯量J9ma2;
以□为轴转动惯量J3ma2;
以川为轴转动惯量J7.5ma2。
5-5.如图a所示,半径分别是Ri和R2、转动惯量分别是Ji和J2的两个圆柱体,可绕垂直于图面的轴转动,最初大圆柱体的角速度为0,现在将小圆柱体向左
靠近,直到它碰到大圆柱体为止。
由于相互间的摩擦
力,小圆柱体被带着转动,最后,当相对滑动停止时,O两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。
'土
试问这种情况角动量是否守恒?
为什么?
小圆柱的最|0小
终角速度多大?
//I
答:
角动量守恒,因为摩擦力的力矩为0。
//|y
由J10j2,有小圆柱的最终角速度为:
Ji0
J2
5-6.均质细棒的质量为M,长为L,开始时处于水平方位,v静止于支点。
上。
一锤子沿竖直方向在xd处撞击细棒,给棒的冲量为I0j。
试讨论细棒被球撞击后的运动情况。
答:
撞击过程角动量守恒,棒获得一个角速度向上转动,当转到最大角度时,开始往下运动,最后回到平衡位置。