大学物理刚体力学基础习题思考题及答案.docx
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大学物理刚体力学基础习题思考题及答案
11amg
习题5
5-1.如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定
滑轮的转动惯量均为mr2/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成
的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳的力。
解：
受力分析如图，可建立方程：
广2mgT22ma①
T1mgma②
J（T2T）rJ③
（TT1）rJ④
虹ar,Jmr2/2⑤
联立，解得：
a1g,T
4
上，设开始时杆以角速度°绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：
（1）作
用于杆的摩擦力矩；
（2）经过多长时间杆才会停止转动。
一小质元dmdx,有微元摩擦力:
解：
（1）设杆的线密度为:
dfdmggdx,
微元摩擦力矩：
dMgxdx,
（2）根据转动定律
MJJ马,
t
有：
0
MdtJd
dt
0
0
1.
-mglt
1[2
—ml0,..t
_oL
0
4
12
3g
或利用：
MtJ
J0,考虑到
0,J
1|2
一ml,
12
有：
tol。
5-3.如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量
可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。
假设定滑轮质量为M、半径为
R，其转动惯量为MR2/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，
下落速度与时间的关系。
解：
受力分析如图，可建立方程：
rmgTma①
*TRJ②
—,1~2—
kaR,J—mR—-③
2
2mgMmg
联立，解得：
a—,T—,
考虑到a四，.•.vdv「旦—dt,有：
v
dt00M2mM2m
5-4.轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。
已知滑轮对O轴的转动惯量JMR2/4,设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？
解一：
分别对人、滑轮与重物列出动力学方程
Mg
T1
Maa人
T2
M4g
M心
aB物
4
T1R
T2R
J滑轮
由约束方程：
aAaBR和JMR2/4,解上述方程组
得到a—.
2
解二：
U为人相对绳的速度，V为重
选人、滑轮与重物为系统，设
物上升的速度，注意到u为匀速，史0,系统对轴的角动量为:
dt
考虑均质球体一个微元：
dmr2sindrdd
由定义：
考虑微元到轴的距离为rsin
J（rsin）2dm，有:
2R
J
000
（rsin）2
r2sindrdd
15
2-r
5
R[0（1
2
cos）dcos]
2mR2。
5
5-6.一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k40N/m,当0时弹簧无形变，细棒的质量m5.0kg,求在0的位置上细棒至少应具有多大的角速度
才能转动到水平位置？
解：
以图示下方的三角桩为轴，从0~900时，
考虑机械能守恒，那么：
0时的机械能为：
111
mg一（重力势我）-（-ml5（转动动我），
223
90°时的机械能为：
—kx2
2
1
12212
）2kx2
232
一222一
（x0.5）1.51,得:
5-7.如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕。
轴在铅直面转动。
若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：
（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；
（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。
解：
（1）设虚线位置的C点为重力势能的零点，^^£一¥
下降过程机械能守恒，.心一y
有：
mgR1J2，而J1mR2mR23mR2
222
（2）Fymg（重力）mR2（向心力）7mg，方向向上。
3
5-8.如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕
V2.,,一一水平光滑固定轴O在竖直面转动，转轴O距两端分别为一l和一l.轻杆原来静
33
止在竖直位置。
今有一质量为m的小球，以水平速度v0与杆下端小球m作对心
1
碰撞，碰后以一v0的速度返回，试求碰撞后轻杆所狄碍的角速度。
2
解：
根据角动量守恒，有：
C
*
212,2l、2-,l、2
mv0—lm—v0—lm（—）2m
（一）
32333
o
有：
（4l22l2）2v°l1v°l
凯
*
9933
3^0.
2l
5-9.一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R,放在一粗糙水平面上（圆盘
与水平面之间的摩擦系数为），圆盘可绕通过其中
心。
的竖直固定光滑轴转动。
开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：
（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；
（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。
（圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为
12…
—MR2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。
）
2
得:
2mv
;
（2mM）R
5-10.有一质量为m〔、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。
另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。
已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v和法，如图所示。
求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。
（已知棒绕O点的转动惯量J1m1l2）
3
解：
由碰撞时角动量守恒，考虑到v和以方向相反，以逆时针为正向，有:
.1.23m2（ViV2）
m2v1l-m（l2m2v2l,得：
3m1l
又•.•细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：
用一细绳与劲度系数k200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮
轴上的摩擦忽略不计。
求：
（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；
（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。
解：
（1）设弹簧的形变量为x,下落最大距离为xmax。
12
由机械北寸怛：
一kxmaxmgxmax,有：
2
xmax竺^0.49m；
k
（2）当物体下落时，由机械能守恒：
1kx21mv2-J2
2
2
2
考虑到-,
古12
有：
一kx
1221
mR一J
2
mgx,
R
2
22
d
欲求速度最大值,
将上式两边对
x求导，且令
0,有
dx
kx1（mR2J）2—mg，将—0代入，有：
x四0.245（m）,
2dxdxk
.••当x0.245m时物体速度达最大值，有:
mgx1kx2
vmax1.31m/s。
v*ax2,代入数值可算出:
2（m力
5-12.设电风扇的功率恒定不变为P,叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速
度成正比，比例系数的k,并已知叶片转子的总转动惯量为J。
（1）原来静止
的电扇通电后t秒时刻的角速度；
（2）电扇稳定转动时的转速为多大？
（3）电扇
以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？
解：
（1）已知Mfk,而动力矩Mp,
通电时根据转动定律有：
MMfJ—
fdt
代入两边积分有：
tdt—一R，可求得：
J-（1ejt）；
00Pk2.k
（2）见上式，当
t时，电扇稳定转动时的转速：
稳定JP；
（3）断开电源时，电扇的转速为0（p,只有Mf作用，那么:
kjJ,考虑到土土，有：
、0d,
dt
dtd0J0
得：
jj7
k0k4k。
5-13.如图所示，
物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为，
细绳的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮的质量相同。
开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以0绕其转轴转
动。
试问：
细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？
物
体A运动后，细绳的力多大？
解：
（1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体A和转轮B、
绳看成一个系统，系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，
12
J0JRmvA，又vARJ-mR
2
1
30
（2）物体A运动后，由牛顿定律：
Tmgma
（1）
对转轮B,由定轴转动定律：
TRJ,
（2）约束关系：
aR（3）
一…1
可求出：
T§mg。
R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台
）。
平台和小孩开始时均静止。
5-14.质量为m的小孩站在半径为
边缘上（平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动
当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转
的角速度为多少？
5-15.在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在
1—一，…...…、
距转轴为1R处，人的质量是圆盘质量的1/10.开始时盘载人对地以角速度o匀
2
速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运
动，如图所示.已知圆盘对中心轴的转动惯量为
；mr2.求：
r-、
（1）圆盘对地的角速度.，'<8/2^7/
（2）欲使圆盘对地静止，人应沿着】R圆周对圆盘的速
2
度v的大小及方向？
解：
（1）设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角
速度为，则人对与地固联的转轴的角速度为
v2v
1RR
2
人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒.
设盘的质量为M,则人的质量为M/10,有:
⑵欲使盘对地静止，则式③必为零.即0+2v/⑵R）=0
得：
v=—21R0/2
式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致.
答案:
2v0:
v=—21R0/2
21R
式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致.
思考题
'mig
Ti
m〔a
（1）
T2
m2g
m2a
（2）
（Ti
T2）r
J
（3）
a
r
（4）
5-1.一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1和m2的物体（m1解：
联立方程可得T1、T2,T2Ti°
5-2.一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴。
以角速度按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作
用到盘上，则盘的角速度怎样变化？
答：
增大
5-3.个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂伸直水平地举起二哑铃，在该人
把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的：
（A）机械能守恒，角动量守恒；（B）机械能守恒，角动量不守恒；
（C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守恒。
答：
（C）
5-4.在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质量都||
是m的6个质点，如图所示。
试求此系统绕下列转轴|六。
的转动惯量：
（1）设转轴I、n在质点所在的平面，—*
如图a所示；
（2）设转轴m垂直于质点所在的平面，°i\/
如图b所示。
•tv州
答：
以I为轴转动惯量J9ma2；
以□为轴转动惯量J3ma2；
以川为轴转动惯量J7.5ma2。
5-5.如图a所示，半径分别是Ri和R2、转动惯量分别是Ji和J2的两个圆柱体,可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为0,现在将小圆柱体向左
靠近，直到它碰到大圆柱体为止。
由于相互间的摩擦
力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，O两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。
'土
试问这种情况角动量是否守恒？
为什么？
小圆柱的最|0小
终角速度多大？
//I
答：
角动量守恒，因为摩擦力的力矩为0。
//|y
由J10j2,有小圆柱的最终角速度为：
Ji0
J2
5-6.均质细棒的质量为M,长为L,开始时处于水平方位,v静止于支点。
上。
一锤子沿竖直方向在xd处撞击细棒，给棒的冲量为I0j。
试讨论细棒被球撞击后的运动情况。
答：
撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。
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