培优专题第5讲整式的加减.docx

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培优专题第5讲整式的加减

培优专题（第5讲-整式的加减）

第5讲整式的加减

考点·方法·破译

1．掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算.

2．掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算.

3．通过去括号，合并同类项和整式加减的学习，体验如何认识和抓住事物的本质特征.

经典·考题·赏析

【例1】（济南）如果

和

是同类项，那么a、b的值分别是（）

A．

B．

C．

D．

【解法指导】同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序也无关，只与是否含相同字母，且相同字母的指数是否相同有关.

解：

由题意得

，∴

【变式题组】

01.（天津）已知a＝2,b＝3,则（）

　　A．ax3y2与bm3n2是同类项B．3xay3与bx3y3是同类项

C．Bx2a＋1y4与ax5yb＋1是同类项D．5m2bn5a与6n2bm5a是同类项

02．若单项式2X2ym与－

xny3是同类项，则m＝___________，n＝___________.

03．指出下列哪些是同类项

⑴a2b与－ab2⑵xy2与3y2x（3）m－n与5（n－m）⑷5ab与6a2b

【例2】（河北石家庄）若多项式合并同类项后是三次二项式，则m应满足的条件是___________.

【解法指导】合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.

解：

因为化简后为三次二项式，而5x3＋3已经为三次二项式，故二次项系数为0，即－2m－2＝0,∴m＝－1

【变式题组】

01.计算：

－（2x2－3x－1）－2（x2－3x＋5）＋（x2＋4x＋3）

02．（台州）

（2x－4y）＋2y

03．（佛山）m－n－（m＋n）

【例3】（泰州）求整式3x2－5x＋2与2x2＋x－3的差.

【解法指导】在求两个多项式的差时，应先将这两个多项式分别用括号括起来，再去括号，而去括号可以用口诀：

去括号，看符号，是“＋”号，不变号，是“－”号，全变号，去了括号后，有同类项再合并同类项．

解：

（3x2－5x＋2）－（2x2＋x－3）＝3x2－5x＋2－2x2－x＋3＝x2－6x＋5

【变式题组】

01．一个多项式加上－3x＋2xy得x2－3xy＋y2,则这个多项式是___________．

02．减去2－3x等于6x2－3x－8的代数式是___________．

【例4】当a＝

，b＝

时，求5（2a＋b）2－3（3a＋2b）2＋2（3a＋2b）的值.

【解法指导】将（2a＋b）2，（3a＋2b）分别视为一个整体，因此可以先合并“同类项”再代入求值，对于多项式求值问题，通常先化简再求值.

解：

5（2a＋b）2－3（3a＋2b）－3（2a＋b）2＋2（3a＋2b）＝（5－3）（2a＋b）2＋（2－3）（3a＋2b）＝2（2a＋b）2－（3a＋2b）∵a＝

，b＝

∴原式＝

【变式题组】

01．（江苏南京）先化简再求值：

（2a＋1）2－2（2a＋1）＋3,其中a＝2.

02．已知a2＋bc＝14,b2－2bc＝－6,求3a2＋4b2－5bC．

【例5】证明四位数的四个数字之和能被9整除，因此四位数也能被9整除.

【解法指导】可用代数式表示四位数与其四个数之和的差，然后证这个差能被9整除.

证明：

设此四位数为1000a＋100b＋10c＋d,则

1000a＋100b＋10c＋d－（a＋b＋c＋d）＝999a＋99b＋9c＝9（111a＋11b＋c）

∵111a＋11b＋c为整数，∴1000a＋100b＋10c＋d＝9（111a＋11b＋c）＋（a＋b＋c＋d）

∵9（111a＋11b＋c）与（a＋b＋c＋d）均能被9整除

∴1000a＋100b＋10c＋d也能被9整除

【变式题组】

01．已知a＜b＜c,且x＜y＜z,下列式子中值最大的可能是（）

A．ax＋by＋czB．ax＋cy＋bzC．bx＋cy＋azD．bx＋ay＋cz

02．任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为9的倍数.

【例6】将（x2－x＋1）6展开后得a12x12＋a11x11＋……＋a2x2＋a1x＋a0,求a12＋a10＋a8＋……＋a4＋a2＋a0的值.

【解法指导】要求系数之和，但原式展开含有x项，如何消去x项，可采用赋特殊值法.

解：

令x＝1得a12＋a11＋……＋a1＋a0＝1

令x＝－1得a12－a11＋a10－……－a1＋a0＝729

两式相加得2（a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0）＝730

∴a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0＝365

【变式题组】

01.已知（2x－1）5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0

（1）当x＝0时，有何结论;

（2）当x＝1时，有何结论;

（3）当x＝－1时，有何结论;

（4）求a5＋a3＋a1的值.

02.已知ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝（x－2）4

（1）求a＋b＋c＋d＋e.

（1）试求a＋c的值.

【例7】（希望杯培训题）已知关于x的二次多项式a（x3－x2＋3x）＋b（2x2＋x）＋x3－5,当x＝2时的值为－17.求当x＝－2时，该多项式的值.

【解法指导】设法求出a、b的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列，多项式的次数等概念，挖掘隐含a、b的等式.

解：

原式＝ax3－ax2＋3ax＋2bx2＋bx＋x3－5

＝（a＋1）x3＋（2b－a）x2＋（3a＋b）x－5

∵原式中的多项式是关于x的二次多项式

∴

∴a＝－1

又当x＝2时，原式的值为－17.

∴（2b＋1）

22＋

＝－17,∴b＝－1

∴原式＝－x2－4x－5

∴当x＝－2时，原式＝－（－2）2－4

（－2）－5＝－1

【变式题组】

01．（北京迎春杯）当x＝－2时，代数式ax3－bx＋1＝－17.则x＝－1时，12ax－3bx3－5＝___________．

02．（吉林竞赛题）已知y＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋e,其中a、b、c、d、e为常数，当x＝2,y＝23,x＝－2,y＝－35,则e为（）

A．－6B．6C．－12D．12

演练巩固·反馈提高

01．（荆州）若－3x2my3与2x4yn是同类项，则

的值是（）

A．0B．1C．7D．－1

02．一个单项式减去x2－y2等于x2＋y2,则这个单项式是（）

A．2x2B．2y2C．－2x2D．－2y2

03．若M和N都是关于x的二次三项式，则M＋N一定是（）

A．二次三项式B．一次多项式C．三项式D．次数不高于2的整式

04．当x＝3时，多项式ax5＋bx3＋cx－10的值为7.则当x＝－3时，这个多项式的值是（）

A．－3B．－27C．－7D．7

05．已知多项式A＝x2＋2y2－z2,B＝－4x2＋3y2＋2z2,且A＋B＋C＝0,则多项式c为（）

A．5x2－y2－z2B．3x2－y2－3z2C．3x2－5y2－z2D．3x2－5y2＋z2

06．已知

，则

等于（）

A．

B．1C．

D．0

07．某人上山的速度为a千米/时，后又沿原路下山，下山速度为b千米/时，那么这个人上山和下山的平均速度是（）

A．

千米/时B．

千米/时C．

千米/时D．

千米/时

08．使（ax2－2xy＋y2）－（－ax2＋bxy＋2y2）＝6x2－9xy＋cy2成立的a、b、c的值分别是（　　）

A．３，７，１B．－３，－７，－１C．３，－７，－１D．－３，７，－１

09．k＝___________时，多项式3x2－2kxy＋3y2＋

－4中不含ｘy项．

10．（宿迁）若2a－b＝2,则6＋8a－4b＝___________

11．某项工程，甲独做需m天完成，甲乙合作需n天完成，那么乙独做需要___________天完成．

12．x2－xy＝－3,2xy－y2＝－8,则2x2－y2＝___________．

13．设ａ表示一个两位数，ｂ表示一个三位数，现在把ａ放ｂ的左边组成一个五位数，设为ｘ，再把ｂ放a的左边，也组成一个五位数，设为y,试问x－y能被9整除吗？

请说明理由.

14．若代数式（x2＋ax－2y＋7）－（bx2－2x＋9y－1）的值与字母x的取值无关，求a、b的值.

15．设A＝x2－2xy－y2,B＝－2x2＋xy－y2,B＝－2x2＋xy－y2,当x＜y＜0时，比较A与B的值的大小.

培优升级·奥赛检测

01．A是一个三位数，b是一位数，如果把b置于a的右边，则所得的四位数是（）

A．abB．a＋bC．1000b＋aD．10a＋b

02．一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有（）

A．1个B．3个C．5个D．6个

03．有三组数x1,x2,x3;y1,y2,y3;z1,z2,z3,它们的平均数分别是a、b、c，那么x1＋y1－z1,x2＋y2－z2,x3＋y3－z3的平均数是（）

A．

B．

C．A＋b－cD．3（a＋b－c）

04．如果对于某一特定范围内x的任何允许值P＝

＋

＋……＋

＋

的值恒为一常数，则此值为（）

A．2B．3C．4D．5

05．（江苏竞赛）已知a＋b＝0,a≠0,则化简

得（）

A．2aB．2bC．2D．－2

06．如果a个同学在b小时内共搬运c块砖,那么c个同学以同样速度搬a块砖，所需的小时数（）

A．

B．

C．

D．

07．如果单项式3xa＋2yb－2与5x3ya＋2的和为8x3ya＋2,那么

＝_________．

08．（第１６届“希望杯”邀请赛试题）如果x2＋2x＝3则x4＋7x3＋8x2－13x＋15＝_________．

09．将1,2,3……100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a,另一个记作b,代入代数式

（

）中进行计算，求出其结果，50组数代入后可求的50个值，则这50个值的和的最大值时_________．

10．已知两个多项式A和B，A＝nxn＋4＋x3－n－x3＋x－3,B＝3xn＋4－x4＋x3＋nx2－2x－1,试判断是否存在整数n,使A－B为五次六项式．

11．设xyz都是整数，且11整除7x＋2y－5z.求证：

11整除3x－7y＋12z.

12．（美国奥林匹克竞赛题）在一次游戏中，魔术师请一个而你随意想一个三位数

（a、b、c依次是这个数的百位、十位、个位数字）并请这个人算出5个数

，

，

，

与

的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数

，现在设N＝3194，请你当魔术师，求出

来.

13．（太原市竞赛题）将一个三位数

的中间数去掉，成为一个两位数

，且满足

＝9

＋4

（如155＝9

15＋4

5）.试求出所有这样的三位数.