培优专题第5讲整式的加减.docx
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培优专题第5讲整式的加减
培优专题(第5讲-整式的加减)
第5讲整式的加减
考点·方法·破译
1.掌握同类项的概念,会熟练地进行合并同类项的运算.
2.掌握去括号的法则,能熟练地进行加减法的运算.
3.通过去括号,合并同类项和整式加减的学习,体验如何认识和抓住事物的本质特征.
经典·考题·赏析
【例1】(济南)如果
和
是同类项,那么a、b的值分别是()
A.
B.
C.
D.
【解法指导】同类项与系数的大小无关,与字母的排列顺序也无关,只与是否含相同字母,且相同字母的指数是否相同有关.
解:
由题意得
,∴
【变式题组】
01.(天津)已知a=2,b=3,则()
A.ax3y2与bm3n2是同类项B.3xay3与bx3y3是同类项
C.Bx2a+1y4与ax5yb+1是同类项D.5m2bn5a与6n2bm5a是同类项
02.若单项式2X2ym与-
xny3是同类项,则m=___________,n=___________.
03.指出下列哪些是同类项
⑴a2b与-ab2⑵xy2与3y2x(3)m-n与5(n-m)⑷5ab与6a2b
【例2】(河北石家庄)若多项式合并同类项后是三次二项式,则m应满足的条件是___________.
【解法指导】合并同类项时,把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.
解:
因为化简后为三次二项式,而5x3+3已经为三次二项式,故二次项系数为0,即-2m-2=0,∴m=-1
【变式题组】
01.计算:
-(2x2-3x-1)-2(x2-3x+5)+(x2+4x+3)
02.(台州)
(2x-4y)+2y
03.(佛山)m-n-(m+n)
【例3】(泰州)求整式3x2-5x+2与2x2+x-3的差.
【解法指导】在求两个多项式的差时,应先将这两个多项式分别用括号括起来,再去括号,而去括号可以用口诀:
去括号,看符号,是“+”号,不变号,是“-”号,全变号,去了括号后,有同类项再合并同类项.
解:
(3x2-5x+2)-(2x2+x-3)=3x2-5x+2-2x2-x+3=x2-6x+5
【变式题组】
01.一个多项式加上-3x+2xy得x2-3xy+y2,则这个多项式是___________.
02.减去2-3x等于6x2-3x-8的代数式是___________.
【例4】当a=
,b=
时,求5(2a+b)2-3(3a+2b)2+2(3a+2b)的值.
【解法指导】将(2a+b)2,(3a+2b)分别视为一个整体,因此可以先合并“同类项”再代入求值,对于多项式求值问题,通常先化简再求值.
解:
5(2a+b)2-3(3a+2b)-3(2a+b)2+2(3a+2b)=(5-3)(2a+b)2+(2-3)(3a+2b)=2(2a+b)2-(3a+2b)∵a=
,b=
∴原式=
【变式题组】
01.(江苏南京)先化简再求值:
(2a+1)2-2(2a+1)+3,其中a=2.
02.已知a2+bc=14,b2-2bc=-6,求3a2+4b2-5bC.
【例5】证明四位数的四个数字之和能被9整除,因此四位数也能被9整除.
【解法指导】可用代数式表示四位数与其四个数之和的差,然后证这个差能被9整除.
证明:
设此四位数为1000a+100b+10c+d,则
1000a+100b+10c+d-(a+b+c+d)=999a+99b+9c=9(111a+11b+c)
∵111a+11b+c为整数,∴1000a+100b+10c+d=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
∵9(111a+11b+c)与(a+b+c+d)均能被9整除
∴1000a+100b+10c+d也能被9整除
【变式题组】
01.已知a<b<c,且x<y<z,下列式子中值最大的可能是()
A.ax+by+czB.ax+cy+bzC.bx+cy+azD.bx+ay+cz
02.任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为9的倍数.
【例6】将(x2-x+1)6展开后得a12x12+a11x11+……+a2x2+a1x+a0,求a12+a10+a8+……+a4+a2+a0的值.
【解法指导】要求系数之和,但原式展开含有x项,如何消去x项,可采用赋特殊值法.
解:
令x=1得a12+a11+……+a1+a0=1
令x=-1得a12-a11+a10-……-a1+a0=729
两式相加得2(a12+a10+a8+……+a2+a0)=730
∴a12+a10+a8+……+a2+a0=365
【变式题组】
01.已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0
(1)当x=0时,有何结论;
(2)当x=1时,有何结论;
(3)当x=-1时,有何结论;
(4)求a5+a3+a1的值.
02.已知ax4+bx3+cx2+dx+e=(x-2)4
(1)求a+b+c+d+e.
(1)试求a+c的值.
【例7】(希望杯培训题)已知关于x的二次多项式a(x3-x2+3x)+b(2x2+x)+x3-5,当x=2时的值为-17.求当x=-2时,该多项式的值.
【解法指导】设法求出a、b的值,解题的突破口是根据多项式降幂排列,多项式的次数等概念,挖掘隐含a、b的等式.
解:
原式=ax3-ax2+3ax+2bx2+bx+x3-5
=(a+1)x3+(2b-a)x2+(3a+b)x-5
∵原式中的多项式是关于x的二次多项式
∴
∴a=-1
又当x=2时,原式的值为-17.
∴(2b+1)
22+
=-17,∴b=-1
∴原式=-x2-4x-5
∴当x=-2时,原式=-(-2)2-4
(-2)-5=-1
【变式题组】
01.(北京迎春杯)当x=-2时,代数式ax3-bx+1=-17.则x=-1时,12ax-3bx3-5=___________.
02.(吉林竞赛题)已知y=ax7+bx5+cx3+dx+e,其中a、b、c、d、e为常数,当x=2,y=23,x=-2,y=-35,则e为()
A.-6B.6C.-12D.12
演练巩固·反馈提高
01.(荆州)若-3x2my3与2x4yn是同类项,则
的值是()
A.0B.1C.7D.-1
02.一个单项式减去x2-y2等于x2+y2,则这个单项式是()
A.2x2B.2y2C.-2x2D.-2y2
03.若M和N都是关于x的二次三项式,则M+N一定是()
A.二次三项式B.一次多项式C.三项式D.次数不高于2的整式
04.当x=3时,多项式ax5+bx3+cx-10的值为7.则当x=-3时,这个多项式的值是()
A.-3B.-27C.-7D.7
05.已知多项式A=x2+2y2-z2,B=-4x2+3y2+2z2,且A+B+C=0,则多项式c为()
A.5x2-y2-z2B.3x2-y2-3z2C.3x2-5y2-z2D.3x2-5y2+z2
06.已知
,则
等于()
A.
B.1C.
D.0
07.某人上山的速度为a千米/时,后又沿原路下山,下山速度为b千米/时,那么这个人上山和下山的平均速度是()
A.
千米/时B.
千米/时C.
千米/时D.
千米/时
08.使(ax2-2xy+y2)-(-ax2+bxy+2y2)=6x2-9xy+cy2成立的a、b、c的值分别是( )
A.3,7,1B.-3,-7,-1C.3,-7,-1D.-3,7,-1
09.k=___________时,多项式3x2-2kxy+3y2+
-4中不含xy项.
10.(宿迁)若2a-b=2,则6+8a-4b=___________
11.某项工程,甲独做需m天完成,甲乙合作需n天完成,那么乙独做需要___________天完成.
12.x2-xy=-3,2xy-y2=-8,则2x2-y2=___________.
13.设a表示一个两位数,b表示一个三位数,现在把a放b的左边组成一个五位数,设为x,再把b放a的左边,也组成一个五位数,设为y,试问x-y能被9整除吗?
请说明理由.
14.若代数式(x2+ax-2y+7)-(bx2-2x+9y-1)的值与字母x的取值无关,求a、b的值.
15.设A=x2-2xy-y2,B=-2x2+xy-y2,B=-2x2+xy-y2,当x<y<0时,比较A与B的值的大小.
培优升级·奥赛检测
01.A是一个三位数,b是一位数,如果把b置于a的右边,则所得的四位数是()
A.abB.a+bC.1000b+aD.10a+b
02.一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后,所得的数比原来的数大9,这样的两位数中,质数有()
A.1个B.3个C.5个D.6个
03.有三组数x1,x2,x3;y1,y2,y3;z1,z2,z3,它们的平均数分别是a、b、c,那么x1+y1-z1,x2+y2-z2,x3+y3-z3的平均数是()
A.
B.
C.A+b-cD.3(a+b-c)
04.如果对于某一特定范围内x的任何允许值P=
+
+……+
+
的值恒为一常数,则此值为()
A.2B.3C.4D.5
05.(江苏竞赛)已知a+b=0,a≠0,则化简
得()
A.2aB.2bC.2D.-2
06.如果a个同学在b小时内共搬运c块砖,那么c个同学以同样速度搬a块砖,所需的小时数()
A.
B.
C.
D.
07.如果单项式3xa+2yb-2与5x3ya+2的和为8x3ya+2,那么
=_________.
08.(第16届“希望杯”邀请赛试题)如果x2+2x=3则x4+7x3+8x2-13x+15=_________.
09.将1,2,3……100这100个自然数,任意分为50组,每组两个数,现将每组的两个数中任一数值记作a,另一个记作b,代入代数式
(
)中进行计算,求出其结果,50组数代入后可求的50个值,则这50个值的和的最大值时_________.
10.已知两个多项式A和B,A=nxn+4+x3-n-x3+x-3,B=3xn+4-x4+x3+nx2-2x-1,试判断是否存在整数n,使A-B为五次六项式.
11.设xyz都是整数,且11整除7x+2y-5z.求证:
11整除3x-7y+12z.
12.(美国奥林匹克竞赛题)在一次游戏中,魔术师请一个而你随意想一个三位数
(a、b、c依次是这个数的百位、十位、个位数字)并请这个人算出5个数
,
,
,
与
的和N,把N告诉魔术师,于是魔术师就可以说出这个人所想的数
,现在设N=3194,请你当魔术师,求出
来.
13.(太原市竞赛题)将一个三位数
的中间数去掉,成为一个两位数
,且满足
=9
+4
(如155=9
15+4
5).试求出所有这样的三位数.