全国通用高考推荐高三数学文科高三第一次调研考试及答案解析.docx
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全国通用高考推荐高三数学文科高三第一次调研考试及答案解析
高三年级第一次调研考试
数学（文科）
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，．
2．若平面向量，，且∥，则（）
A．B． C．D．
【答案】B
【解析】，
∵∥
∴，∴．
3．设为虚数单位，已知，，则，的大小关系是（）
A．B． C．D．无法比较
【答案】B
【解析】∵，
，∴．
4．研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图，若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是（）
A．小时
B．小时
C．小时
D．小时
【答案】C
【解析】．
5．已知函数，下列说法错误的（）
A．的最小正周期为B．是的一条对称轴
C．在上单调递增D．的值域是
【答案】C
【解析】∵，
∴在上单调递减，故错误．
6．直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】直线恒过点，
∴，即．
7．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】该几何体为边长为4的正方体的部分，
如图，最长的边为．
8．函数在上的大致图像为（）
【答案】B
【解析】∵为奇函数，∴排除A．
∵，∴排除C．
，
∵，，在单调增，∴D．
9．已知，且，则的值为（）
A．B． C．D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
10．已知是球面上三点，且，，，球心到平面的距离等于该球半径的，则此球的表面积为（）
A．B． C．D．
【答案】C
【答案】
【解析】∵，∴．
∴的外心为的中点，∴平面．
∵，∴,
∴，．
11．过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若弦的垂直平分线经过点，则等于（）
A．B． C．D．
【答案】C
【解析】直线的方程为，由，得，
设，的中点，
则，，
∴弦的垂直平分线方程为，
∵弦的垂直平分线经过点，∴，∴．
12．已知，若函数，且至少有三个零点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，
，
当时，．
，
时，，时，，
在处取得极大值，
∵时，，，
时，有两个零点．
当时，，
，
时，，时，，
在处取得极大值，
时，有唯一零点．
综上，时，有三个零点，排除B，C．
当时，，
，
当时，．
，
时，，时，，
在处取得极大值，
∵时，，，
时，有两个零点．
当时，，
时，有两个零点．
综上，时，有四个零点，排除A．
二、填空题：
本大题4小题，每小题5分，满分20分
13．下列四个函数中：
①；②；③；④，在上为减函数的是_________（填上所有正确选项的序号）
【答案】①④
14．甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，
且比赛要分出胜负，若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，则丁队的比赛成绩
是______．
【答案】全胜
【解析】∵比赛为三胜三负，∴丁全胜．
15．公元年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为______．
（参考数据：
，）
【答案】
【解析】由程序框图可知：
16．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在双曲线的右支上，则______．
【答案】
【解析】依题意，为双曲线的焦点，∴，，
在中，由正弦定理可得
．
三、解答题：
本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知等差数列满足，．
（1）求数列的前项和；
（2）若，求的值．
【解析】
（1）设等差数列的公差为，
∵，，
∴，解得．
∴．
（2）由
（1）知，
∴
，
∴．
18．（本小题满分12分）
某房地产公司新建小区有两种户型住宅，其中户型住宅每套面积为平方米，户型住宅
每套面积为平方米，该公司准备从两种户型住宅中各拿出套销售给内部员工，下表是这套住宅每平方米的销售价格（单位：
万元/平方米）
房号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A户型
2.6
2.7
2.8
2.8
2.9
3.2
2.9
3.1
3.4
3.3
3.4
3.5
B户型
3.6
3.7
3.7
3.9
3.8.
3.9
4.2
4.1
4.1
4.2
4.3
4.5
（1）根据商标数据，完成下列茎叶图，并分别求出两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；
（2）该公司决定对上述套住宅通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会
小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为万元，抽签后所得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格，为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？
【解析】
（1）茎叶图如下：
A户型销售价格的中位数是．
B户型销售价格的中位数是．
（2）若选择A户型抽签，则每平方米均价不得高于万元，有能力购买其中的套住房，
∴成功购房的概率是；
若选择B户型抽签，则每平方米均价不得高于万元，有能力购买其中的套住房，
∴成功购房的概率是；
∵，∴该员工选择购买A户型住房的概率较大．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，且侧面是菱形，．
（1）求证：
；
（2）若，，且该三棱柱的体积为，求的长．
【解析】
（1）取的中点，连结，
∵，是中点，∴．
∵侧面是菱形，且，∴．
∵，平面，平面，
∴平面．
∵平面，∴．
（2）设，依题意可得，
∵是中点，∴．
∵，∴，
∴，即．
由
（1）知，且，
∴平面，,即为三棱柱的高，
∴三棱柱的体积
，
解得，即．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，经过点，其左、右焦点分别为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且与圆相切于点，求的值及的面积．
【解析】（Ⅰ）设椭圆方程为,
∵椭圆经过点，∴．
∵，且，
∴，，
∴椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，
由，得，
∴，
∵直线与椭圆相切，∴，解得．
代入中得，解得，
代入直线的方程得，即．
∵直线与圆相切，∴，
∵，，
∴．
21．（本小题满分12分）
已知函数是自然对数的底数）在点处的切线与轴平行．
（1）求的值；
（2）若对一切，关于的不等式恒成立，求的最大值．
【解析】
（1），
由题意可知，，
∴，．
（2）由
（1）知，
∴不等式恒成立，
可转化为恒成立．
令，．
当时，恒成立，则在上单调递增，没有最小值，故不成立．
当时，令，解得．
令，解得，令，解得，
∴当时，单调递减；当时，单调递增．
∴当时，取得最小值，
即，
令，则，
令，解得．
当时，单调递增；当时，单调递减．
故当时，取得最大值，
∴，即的最大值为．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号
22．（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，在直角中，，为边上异于的一点，以为直径作圆，并分别交于点．
（1）证明：
四点共圆；
（2）若为的中点，且，，求的长．
【解析】
（1）连结、，则，
∵是⊙的直径，∴．
∵，∴，
∴，即，
∴四点共圆．
（2）∵，是⊙的直径，
∴是的切线，，即．
∴．
∵为的中点，∴，．
∵四点共圆，∴．
∴,即．
23．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程选讲
在平面直角坐标系中，已知三圆，，为参数）有一公共点．
（1）分别求与，与异于点的公共点、的直角坐标；
（2）以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点的圆的极坐标方程．
【解析】
（1）曲线的普通方程为，
由，解得或．
由，解得或．
∴相异于点的公共点为），．
（2）线段OM的中垂线为，
线段的中垂线为，
由，解得，半径为，
∴圆的方程为，
化为极坐标方程得．
24．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为，求的值．
【解析】
（1）当时，不等式
可化为，
∴，或，或，
解得，或，
∴原不等式的解集为．
（2）∵
，
令，解得，或．
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