专题一阿基米德三角形的性质.docx
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专题一阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形：
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：
抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米
德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：
设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两
条切线的交点。
性质1阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线定点C,则另一顶点Q的轨迹为。
性质3抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4若直线I与抛物线没有公共点，以I上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
性质5底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德
三角形的面积的最小值为。
性质7在阿基米德三角形中，/QFA=/QFB。
性质8在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T,则△QST的垂心在上。
性质9|AF||BF|=|QF|2.
性质10QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB。
性质11在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的倍。
高考题中的阿基米德三角形
例1（2005卷，理22题）如图，设抛物线C：
y=x2的焦点为F,动点P在直线l:
x-y-2=0
上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明/PFA=/PFB.
解：
（1）设切点A、B坐标分别为（x,x：
）和（x.x：
）*!
1X。
）,
•••切线AP的方程为：
2x0x-y-x0=0;
切线BP的方程为：
2x1x-y-x2=0;
所以△APB的重心G的坐标为
•••/AFP=ZPFB.
因此由di=d2，可得到/AFP=ZPFB-
同理可得到P点到直线BF的距离d2=|Xi-x°1，
2
例2（2006全国卷n,理21题）已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点，且
AF=?
FB（心0）•过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
（I）证明FMAB为定值；
（n）设△ABM的面积为S,写出S=f（力的表达式，并求S的最小值.
解:
（I）由已知条件，得F（0,1）,入〉0.
设A（x1,yi）,B（x2,y2）.由AF=?
FB,
即得（一xi,1—y）=Xx2,y2-1）,
—xi=农2①
1—yi=心2—1）②
yi=尼y2③
11
将①式两边平方并把yi=4x12,y2=4x22代入得
1
解②、③式得y1=入y2=入，且有x1x2=—入22=—4入2=—4,
1
所以FMAB为定值，其值为0•
1
（II）由（I）知在△ABM中，FM丄AB，因而S=2|AB||FM|.
抛物线方程为y=4x2,求导得y'所以过抛物线上A、
A@1,y1）,B（X2』2）,
uur
OA
=（<1，%）,
uurOB=
=幺必），
、uuruur因为OA?
OB
2，所以
x/2+yy=2，即x^2
+（kx1+
c）（kx2
+c）
=2,
X1X2
.2
+kX1X2-
kc（x1+
X2）+
c2=2
所以-c-
2
kc+kc*
+c2
=2，即
2
c-c
-2=
=0,所以c=
=2（舍去c
=-
1）
（2）
设过Q
的
切线为y-
y1=
k1（x
-x1）
/
，y=
2x
所以
k1=2x!
即
y=2x1x
-2x；+y1
=2x1x-x12
它
与
y=
-c的交点
为
M
暮
cj
c:
又
桫2
2x1：
i=c玉所以q?
2,-ci，因为x/2…，所以-云=乂2，所以
M?
x1+争-c|=?
|,-cj所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。
（3）
（2）的逆命题是成立，由
（2）可知Q?
2,-c吉因为PQAx轴，所以P^，yPj
X+xk
因为-2=-，所以P为AB的中点。
22
例4（2008卷，理22题）如图，设抛物线方程为x2=2py（p>0），
M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别
为A，B.
（I）求证：
A,M,B三点的横坐标成等差数列；
（H）已知当M点的坐标为（2,-2p）时，AB|=410•求此时抛物线的方程;
（川）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py（p>0）上，其中,
存在，请说明理由.
解：
（I）证明：
由题意设
骣
Bx2,
桫
2
X2
2p
x1M（x。
，-2p）•
2P
由x?
=2py得y=2P，得y£P，
所以kMA
X-,kMB
P
X2
因此直线
MA的方程为
x1
2p=-（x-
P
x2
Xo），直线MB的方程为y+2p=—（x-Xo）.P
2
X
所以丄+
2P
Xi
2p=-（Xi-
P
X。
），①
2
X2+
2P
2p=
x2
-（x2-X。
）.②
P
x+X
由①、②得XlX2
2
x1+x2
Xo,
因此XoX-+X
+X2.
（n）解:
:
由（I）
知，当
X0=
2时，
将其代入①、②并整理得
:
2
2
2
2
x1-4x1
-4p
=0,
X2-
4x2-
-4p=0,
所以X1,
X2是方程
2
X-
4x-
4p2:
=0的两根,
因此X1+
X2=
4
X1X2
=-
4P2,
2
2
乞
又k-kAB=
2P
2p
=X1
+X2
=X0
，所以kAB
X2-
X1
2p
P
所以A,M,
2
P
2，即"I
B三点的横坐标成等差数列.
由弦长公式得AB=Jl+k2J（x-+X2）2-4x-X2=”1+£/l6+16p2.
又AB=4孑0，所以p=1或P=2,
因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.
（川）解：
设Dg,y3），由题意得C（x-+X2,y-+y?
）,
则CD的中点坐标为Q纟
1+X2+X3
yi+y2+y3±
4,
设直线AB的方程为y-『1=X0（x-p
由点Q在直线AB上，并注意到点q
1+X2
■迪铀在直线ab上，代入得
X0
y3=X3.
若D（x3，『3）在抛物线上,
2
则X3=2py3=2X0X3,
因此X3=0或X3=2x0.
即D（0,0）或Dg2x0,
2
2X0
p
（1）当x。
=0时，则X!
+x2=2x0=0，此时,
占
八、、
M（0,-
2p）适合题意.
（2）当X。
10，对于D（0,0），此时C塞x°.
2
X1+
2p
X2±
4匕=
2p
2
X1
2
X2
又kAB
Xo
-,ABACD，所以kAB広CDp
2,X0X1+
2
X2
2
X1
P4px。
4p
2x0
4px。
即X；
22
X2=-4p，矛盾.
对于
2
X2
D蚤x°,竺-±因为C菱X0，X1:
X2主此时直线CD平行于y轴,
0’
又kAB
x0
-?
0，所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾,
p
所以x°
0时，不存在符合题意的M点.
综上所述,
仅存在一点
M（0,-2p）适合题意.
2008卷，
x=m（y贡m,0理21题）设点
<1）上,过点P作双曲线
1切线PA、PB，切点为A、B，定点M（丄，0）.
m
（1）过点A作直线x-y=0的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在的曲线方程；
（2）求证：
A、M、B三点共线.
证明:
（1）设AgyJ,B（X2』2）,由已知得到y$21
o,且x：
2
y1
1,
22
x2-y2=
222
（1-k）x-2k（y,-kxjx-（y,-kxj-1=0
从而D=4k2y-kxj2+4（1-k2）（y.-kxj2+4（1-k2）=0,
x,
解得k=-
*
因此PA的方程为：
y$=X/-1同理PB的方程为：
沁=x?
x-1
又P（m,y。
）在PA、PB上，所以y"。
=mx!
-1,刿0=mx?
-1
即点A（x1,y1）,B（X2』2）都在直线y°y=mx-1上
1
又M（—,0）也在直线y°y=mx-1上，所以三点A、M、B共线
m
（2）垂线AN的方程为：
y-yt=-x+Xt,
-y1=-x+
x1
得垂足NJ1+%
2
x1+y1）
2
设重心G（x,y）
3
9x-3y-m
4
9y-3x+—m
1222
——）-y=-为重心G所在曲线方
3m9
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