专题一阿基米德三角形的性质.docx

1、专题一阿基米德三角形的性质阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。阿基米德最早利用逼近的思想证明了： 抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 。阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边， M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴 。性质2 阿基米德三角形的底边即弦 AB过抛物线定点C,则另一顶点Q的轨迹为 。性质3抛物线以C为中点的弦与 Q点的轨迹 。性质4若直线I与抛物线没有公共点，以I上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定 点 。性质5

2、底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为 。性质6若阿基米德三角形的底边过焦点， 则顶点Q的轨迹为抛物线的 ，且阿基米德三角形的面积的最小值为 。性质7 在阿基米德三角形中，/ QFA= / QFB。性质8在抛物线上任取一点I （不与A、B重合），过I作抛物线切线交 QA、QB于S、T,则QST 的垂心在 上。性质 9 |AF| |BF|=|QF|2.性质10 QM的中点P在抛物线上，且 P处的切线与 AB 。性质11在性质8中，连接AI、BI，则ABI的面积是QST面积的 倍。高考题中的阿基米德三角形例1 （2005卷，理22题）如图，设抛物线C ：y = x2的焦点为F ,动点P在直线l

3、 :x - y- 2= 0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. （1 ）求APB的重心 G的轨迹方程.（2）证明/ PFA= / PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为（x,x：）和（x.x：）*! 1 X。）,切线AP的方程为：2x0x - y - x0 = 0;切线BP的方程为：2x1x - y - x2 = 0;所以APB的重心G的坐标为/ AFP = Z PFB.因此由di=d2，可得到/ AFP = Z PFB-同理可得到P点到直线BF的距离d2 = |Xi- x 1，2例2 (2006全国卷n,理21题)已知抛物线x2= 4y的焦点为F,

4、 A、B是抛物线上的两动点，且AF = ?FB (心0) 过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M.(I)证明FM AB为定值；(n)设 ABM的面积为S,写出S= f(力的表达式，并求 S的最小值.解: ( I )由已知条件，得F(0, 1),入0.设 A(x1, yi), B(x2, y2).由 AF = ?FB ,即得 (一xi, 1 y)= Xx2, y2- 1),xi =农2 1 yi =心2 1)yi =尼y2 1 1将式两边平方并把 yi = 4x12, y2= 4x22代入得1解、式得 y1 =入y2=入，且有x1x2 =入22 = 4入2 = 4,1所以FM AB为定值

5、，其值为0 1(II)由(I )知在 ABM 中，FM 丄 AB，因而 S= 2|AB|FM|.抛物线方程为y= 4x2,求导得y 所以过抛物线上 A、A1,y1), B(X22),uurOA= ( 0），M为直线y = - 2p上任意一点，过 M引抛物线的切线，切点分别为 A，B .（I）求证：A, M , B三点的横坐标成等差数列；（H）已知当 M点的坐标为（2,- 2p）时，AB|= 4 10 求此时抛 物线的方程;（川）是否存在点 M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2 = 2py（p 0）上，其中,存在，请说明理由.解：（I）证明：由题意设骣B x2,桫2X22px1 x2,

6、M(x。，- 2p) 2P由 x?= 2py 得 y= 2P，得 y P，所以kMAX- , kMBPX2因此直线MA的方程为x12p= -(x-Px2Xo)，直线 MB 的方程为 y + 2p = (x - Xo). P2X所以丄+2PXi2p = -(Xi -PX。），2X2 +2P2p =x2-(x2 - X。).Px + X由、得Xl X22x1 + x2Xo ,因此Xo X-+ X+ X2 .(n)解:由（I）知，当X0 =2时，将其代入、并整理得:2222x1 - 4x1-4p=0,X2 -4x2 -4p = 0 ,所以X1,X2是方程2X -4x -4p2 :=0的两根,因此X1

7、 +X2 =4X1X2= -4P2 ,22乞又k - kAB =2P2p=X1+ X2=X0，所以kABX2-X12pP所以A, M ,2P2 ，即IB三点的横坐标成等差数列.由弦长公式得 AB = Jl+ k2 J(x- + X2)2 - 4x-X2 = ”1+ /l6+ 16p2 .又AB = 4孑0，所以p = 1或P = 2 ,因此所求抛物线方程为 x2 = 2y或x2 = 4y .（川）解：设 Dg, y3），由题意得 C（x- + X2, y- + y?）,则CD的中点坐标为Q纟1 + X2 + X3yi + y2 + y34,设直线AB的方程为y-1 = X0(x- p由点Q在直

8、线AB上，并注意到点q1 + X2迪铀在直线ab上，代入得X0y3 = X3 .若D(x3，3)在抛物线上,2则 X3 = 2py3 = 2X0X3 ,因此 X3 = 0 或 X3 = 2x0 .即 D(0,0)或 Dg2x0,22X0p(1 )当 x。= 0 时，则 X!+ x2 = 2x0 = 0，此时,占八、M (0,-2p)适合题意.(2)当 X。1 0，对于 D(0,0)，此时 C 塞x.2X1 +2pX2 4匕=2p2X12X2又kABXo-,AB A CD，所以 kAB 広CD p2 , X0 X1 +2X22X1P 4px。4p2x04px。即X；2 2X2 = - 4p，矛盾

9、.对于2X2D蚤x,竺-因为C菱X0，X1 : X2主此时直线CD平行于y轴,0又kABx0-? 0，所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾,p所以x0时，不存在符合题意的 M点.综上所述,仅存在一点M (0,- 2p)适合题意.2008 卷，x = m (y 贡 m,0 m理21 题)设点1)上, 过点P作双曲线1 切线PA、PB，切点为A、B，定点M (丄，0).m(1)过点A作直线x- y = 0的垂线，垂足为 N，试求 AMN的 重心G所在的曲线方程；(2)求证：A、M、B三点共线.证明:(1 )设AgyJ, B(X22),由已知得到y$2 1o,且 x：2y11,2 2x2 - y

10、2 =2 2 2(1 - k )x - 2k(y, - kxjx- (y,- kxj - 1= 0从而 D = 4k2y - kxj2 + 4(1- k2)(y. - kxj2 + 4(1 - k2) = 0,x,解得k = -*因此PA的方程为：y$ = X/ - 1 同理PB的方程为： 沁=x?x- 1又 P(m,y。)在 PA、PB 上，所以 y。= mx! - 1, 刿0 = mx? - 1即点A(x1,y1), B(X22)都在直线yy = mx - 1上1又M(,0)也在直线yy = mx - 1上，所以三点A、M、B共线m(2)垂线AN的方程为：y - yt = - x + Xt ,-y1 = - x +x1得垂足N J1 + %2x1+ y1)2设重心G (x, y)39x - 3y - m49y - 3x + m1 2 2 2)-y =-为重心G所在曲线方3m 9