全国卷理科数学十年真题分类汇编导数.docx
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全国卷理科数学十年真题分类汇编导数
导数
一．基础题组
x
1.【2010新课标，理3】曲线y＝在点（－1，－1）处的切线方程为（）
x2
A．y＝2x＋1B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2
【答案】A
2.【2008全国1，理6】若函数的图像与函数的图像关于直线
yf（x1）ylnx1
yxf（x）
对称，则（）
2x12x2x1
A．B．C．D．
eee
2x2
e
【答案】B.
2y12x12x
【解析】由ylnx1xe,fx1e,fxe.
3.【2012全国，理21】已知函数f（x）满足f（x）＝f′
（1）e
1
x－1
2．
－f（0）x＋x
2
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
1
（2）若f（x）≥x
2＋ax＋b，求（a＋1）b的最大值．2
【解析】
（1）由已知得f′（x）＝f′
（1）e
x－1－f（0）＋x.
所以f′
（1）＝f′
（1）－f（0）＋1，即f（0）＝1.
又f（0）＝f′
（1）e
－1，所以f′
（1）＝e.
1
从而f（x）＝e
x－x＋x2.
2
由于f′（x）＝e
x－1＋x，
故当x∈（－∞，0）时，f′（x）＜0；
当x∈（0，＋∞）时，f′（x）＞0.
从而，f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．
x
（2）由已知条件得e－（a＋1）x≥b.①
1b
（ⅰ）若a＋1＜0，则对任意常数b，当x＜0，且x时，可得e
x－（a＋1）x＜b，因此①a1
式不成立．
（ⅱ）若a＋1＝0，则（a＋1）b＝0.
1
所以f（x）≥x
2＋ax＋b等价于2
b≤a＋1－（a＋1）ln（a＋1）．②
因此（a＋1）b≤（a＋1）
2－（a＋1）2ln（a＋1）．
设h（a）＝（a＋1）
2－（a＋1）2ln（a＋1），
则h′（a）＝（a＋1）（1－2ln（a＋1））．
11
所以h（a）在（－1，e1）上单调递增，在（e1，＋∞）上单调递减，
22
1
故h（a）在a=e1处取得最大值．
2
ee
从而h（a），即（a＋1）b≤.
22
11
e
2
2b
当a=e1，时，②式成立，
2
1
故f（x）≥x
2＋ax＋b.2
e
综合得，（a＋1）b的最大值为.
2
4.【2009全国卷Ⅰ，理22】
设函数=x1、x2，且x1∈－1，0］，x2∈1,2］.
f（x）
3+3bx2+3cx有两个极值点x
（Ⅰ）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）
的区域；
1
（Ⅱ）证明：
－10≤f（x2）≤.
2
满足这些条件的点（b,c）的区域为图中阴影部分.
121
（Ⅱ）由题设知f′（x2）=3x2bxc
2+6bx
x22
22
13c
3
于是f（x2）=x2xx
2+3bx2+3cx
2
2=.
2222
由于x2∈1,2］,而由（Ⅰ）知c≤0,故
13
-4+3c≤f（x2）≤c.
22
又由（Ⅰ）知-2≤c≤0,
1
所以-10≤f（x2）≤.
2
5.【2008全国1，理19】（本小题满分12分）
32
fxxaxxaR
（）1
已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
f（x）
21
（Ⅱ）设函数f（x）在区间内是减函数，求的取值范围．
，
33
2
aa32
≤
33
23
（2），且解得：
a
2
aa31
≥
33
a≥
7
4
二．能力题组
1.【2011全国新课标，理9】由曲线yx，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积
为（）
1016
A．B．4C．D．6
33
【答案】C
【解析】
2.【2011全国，理8】曲线y＝e
－2x＋1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三
角形的面积为（）
112
A.B．C．D．1
323
【答案】：
A
2x
2x1
【解析】：
|
（2）|2，故曲线ye在点（0,2）处的切线方程为
x0x0
ye
1
y2x2y0yx
，易得切线与直线和围成的三角形的面积为。
3
3.【2009全国卷Ⅰ，理9】已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）
A.1B.2C.-1D.-2
【答案】B
x1
4.【2008全国1，理7】设曲线在点处的切线与直线垂直，
y（3，2）axy10
x1
则（）
a
11
A．2B．C．D．
22
2
【答案】D.
x1221
【解析】由yyyaa.
1,','|,2,2
2x3
x1x1x12
x1
xbe
5.【2014课标Ⅰ，理21】（12分）设函数f（x）aelnx，曲线yf（x）在点
x
（1,f
（1））处的切线方程为ye（x1）2.
（I）求
a,b;
（II）证明：
f（x）1.
【答案】（I）a1,b2；（II）详见解析.
三．拔高题组
1.【2013课标全国Ⅰ，理21】（本小题满分12分）设函数f（x）＝x
2＋ax＋b，g（x）＝ex（cx
＋d）．若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0,2），且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x≥－2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．
【解析】：
（1）由已知得f（0）＝2，g（0）＝2，f′（0）＝4，g′（0）＝4.
而f′（x）＝2x＋a，g′（x）＝e
x（cx＋d＋c），
故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
（2）由
（1）知，f（x）＝x
2＋4x＋2，g（x）＝2ex（x＋1）．
设函数F（x）＝kg（x）－f（x）＝2ke
x（x＋1）－x2－4x－2，
则F′（x）＝2ke
x（x＋2）－2x－4＝2（x＋2）（kex－1）．
由题设可得F（0）≥0，即k≥1.
令F′（x）＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.
①若1≤k＜e1≤0.从而当x∈（－2，x1）时，F′（x）＜0；当x∈（x1，＋∞）时，F′（x）
2，则－2＜x
＞0.即F（x）在（－2，x1）单调递减，在（x1，＋∞）单调递增．故F（x）在－2，＋∞）的最小值
为F（x1）．
2
而F（x1）＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1（x1＋2）≥0.
1
故当x≥－2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．
②若k＝e2，则F′（x）＝2e2（x＋2）（e
2，则F′（x）＝2e2（x＋2）（e
x
－2）．
－e
从而当x＞－2时，F′（x）＞0，即F（x）在（－2，＋∞）单调递增．
而F（－2）＝0，故当x≥－2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．
③若k＞e
2，则F（－2）＝－2ke－2＋2＝－2e－2（k－e2）＜0.
从而当x≥－2时，f（x）≤kg（x）不可能恒成立．
综上，k的取值范围是1，e
2]．
alnxb
2.【2011全国新课标，理21】已知函数f（x），曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））
x1x
处的切线方程为x＋2y－3＝0.
（1）求a，b的值；
lnxk
（2）如果当x＞0，且x≠1时，f（x），求k的取值范围．
x1x
x1
axxb
（ln）f（x）
【解析】
（1）.
22
（x1）x
f
（1）1b1
1
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点（1，1），故即解得
1a1
2f
（1）b
222
a1
b1
22
k（x1）（x1）
（ⅰ）设k≤0.由h（x）知，当x≠1时，h′（x）＜0.而h
（1）＝0，故当x
2
x
1
∈（0，1）时，h（x）＞0，可得h（x）0；当x∈（1，＋∞）时，h（x）＜0，可得
2
1x
1
1
2
x
h（x）0
.
lnxk
从而当x＞0，且x≠1时，f（x）（）0，
x1x
lnxk
即f（x）.
x1x
1
（ⅱ）设0＜k＜1.由于当x∈（1，）时，（k－1）（x
2＋1）＋2x＞0，故h′（x）＞0.而h
（1）1k
11
＝0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）0，与题设矛盾．
2
1k1x
（ⅲ）设k≥1.此时h′（x）＞0，而h
（1）＝0，故当x∈（1，＋∞）时，h（x）＞0，可得
1
1
2
x
h（x）0
.与题设矛盾．
综合得，k的取值范围为（－∞，0]．
2x
（）ln（1＋）
x2
3.【2011全国，理22】
（1）设函数fxx，证明：
当x＞0时，f（x）＞0；
（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20
91
19
次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：
p（）.
2
10e
2x
由
（1）知：
当x＞0时，ln（1x），
x2
2
因此.
（1）ln（1x）2
x
11010
192
在上式中，令，则，即.
x19ln>2（）>e
999
91
19
所以p（）.
2
10e
4.【2010新课标，理21】（12分）（理）设函数f（x）＝e
x－1－x－ax2.
（1）若a＝0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
【解析】：
（1）a＝0时，f（x）＝e
x－1－x，f′（x）＝ex－1.
当x∈（－∞，0）时，f′（x）＜0；当x∈（0，＋∞）时，f′（x）＞0.故f（x）在（－∞，0）上单
调减少，在（0，＋∞）上单调增加．
（2）f′（x）＝e
x－1－2ax.
由
（1）知e
x≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立，
故f′（x）≥x－2ax＝（1－2a）x，
从而当1－2a≥0，
1
即a≤时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）＝0，
2
于是当x≥0时，f（x）≥0.
1
由e
x＞1＋x（x≠0）可得e－x＞1－x（x≠0）．从而当a＞时，
2
x－1＋2a（e
f′（x）＜e
－x－1）＝e－x（e
x－1）（ex－2a），
故当x∈（0，ln2a）时，f′（x）＜0，而f（0）＝0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0.
1
综合得a的取值范围为（－∞，]．
2
5.【2008全国1，理22】（本小题满分12分）
设函数f（x）xxlnx．数列an满足0a11，an1f（an）．
（Ⅰ）证明：
函数在区间是增函数；
f（x）（0，1）
（Ⅱ）证明：
aa11；
nn
ab
≥1
（Ⅲ）设
（1），整数k．证明：
ab．
ba，
1k1
a1lnb
（ⅱ）假设当xk（kN*）时，aa11成立，即0a1≤akak11
kk
那么当时，由在区间是增函数，0a≤akak1得
nk1f（x）（0，1]
11
f（ak）f（ak）f
（1）an1f（an）ak1f（ak）,ak2f（ak1）
.而，则，
1
aank1
aa11kknn
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，aa11恒成立.
nn
6.【2006全国，理21】（本小题满分14分）
1x
ax
已知函数f（x）.
e
1x
（Ⅰ）设a0,讨论yf（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意x（0,1）恒有f（x）1，求a的取值范围。
【解析】：
（Ⅰ）f（x）的定义域为（,1）（1,）.对f（x）求导数得
f（x）
2
ax
（1
2
x）
2
a
e
ax
.
2
2x
2x
（i）当时，fx）e，在和均大于0，所以
a2（f（x）（,0）,（0,1）（1,）
2
（1x）
f（x）在（,1），（1,）为增函数.
（ii）当0＜a＜2时，）＞0，在，为增函数.
f（xf（x）（,1）（1,）
a2
a21.（iii）当时，0
a
a2a2
令f（x）0，解得x,x.
1a
2
a
当变化时，f（x）和f（x）的变化情况如下表，
（，
a2
a
）
（
a2a2
，）
aa
a2
（，1）
a
（1，
）
f（x）
+－++
f（x）
↗↘↗↗
a2a2
（1，）f（x）（，）（1
，）
在，，为增函数，
aa
a2a2
f（x）（，）
在为减函数.
aa
1x
ax
a0x（0,1）1e1
（iii）当时，对任意，恒有且，得
1x
f（x）
1
1
x
x
e
ax
1
1
x
x
1.
综上当且仅当时，对任意恒有
a,2x（0,1）f（x）1.
x
7.【2015高考新课标1，理12】设函数f（x）=e（2x1）axa,其中a1，若存在唯一的
整数x，使得f（x0）0，则的取值范围是（）
0
333333
（A）-，1）（B）-，）（C），）（D），1）
2e2e42e42e
（ii）当0＜a＜2时，）＞0，在，为增函数.
f（xf（x）（,1）（1,）
a2
a21.（iii）当时，0
a
a2a2
令f（x）0，解得x,x.
1a
2
a
当变化时，f（x）和f（x）的变化情况如下表，
（，
a2
a
）
（
a2a2
，）
aa
a2
（，1）
a
（1，
）
f（x）
+－++
f（x）
↗↘↗↗
a2a2
（1，）f（x）（，）（1
，）
在，，为增函数，
aa
a2a2
f（x）（，）
在为减函数.
aa
1x
ax
a0x（0,1）1e1
（iii）当时，对任意，恒有且，得
1x
f（x）
1
1
x
x
e
ax
1
1
x
x
1.
综上当且仅当时，对任意恒有
a,2x（0,1）f（x）1.
x
7.【2015高考新课标1，理12】设函数f（x）=e（2x1）axa,其中a1，若存在唯一的
整数x，使得f（x0）0，则的取值范围是（）
0
333333
（A）-，1）（B）-，）（C），）（D），1）
2e2e42e42e
（ii）当0＜a＜2时，）＞0，在，为增函数.
f（xf（x）（,1）（1,）
a2
a21.（iii）当时，0
a
a2a2
令f（x）0，解得x,x.
1a
2
a
当变化时，f（x）和f（x）的变化情况如下表，
（，
a2
a
）
（
a2a2
，）
aa
a2
（，1）
a
（1，
）
f（x）
+－++
f（x）
↗↘↗↗
a2a2
（1，）f（x）（，）（1
，）
在，，为增函数，
aa
a2a2
f（x）（，）
在为减函数.
aa
1x
ax
a0x（0,1）1e1
（iii）当时，对任意，恒有且，得
1x
f（x）
1
1
x
x
e
ax
1
1
x
x
1.
综上当且仅当时，对任意恒有
a,2x（0,1）f（x）1.
x
7.【2015高考新课标1，理12】设函数f（x）=e（2x1）axa,其中a1，若存在唯一的
整数x，使得f（x0）0，则的取值范围是（）
0
333333
（A）-，1）（B）-，）（C），）（D），1）
2e2e42e42e
（ii）当0＜a＜2时，）＞0，在，为增函数.
f（xf（x）（,1）（1,）
a2
a21.（iii）当时，0
a
a2a2
令f（x）0，解得x,x.
1a
2
a
当变化时，f（x）和f（x）的变化情况如下表，
（，
a2
a
）
（
a2a2
，）
aa
a2
（，1）
a
（1，
）
f（x）
+－++
f（x）
↗↘↗↗
a2a2
（1，）f（x）（，）（1
，）
在，，为增函数，
aa
a2a2
f（x）（，）
在为减函数.
aa
1x
ax
a0x（0,1）1e1
（iii）当时，对任意，恒有且，得
1x
f（x）
1
1
x
x
e
ax
1
1
x
x
1.
综上当且仅当时，对任意恒有
a,2x（0,1）f（x）1.
x
7.【2015高考新课标1，理12】设函数f（x）=e（2x1）axa,其中a1，若存在唯一的
整数x，使得f（x0）0，则的取值范围是（）
0
333333
（A）-，1）（B）-，）（C），）（D），1）
2e2e42e42e
（ii）当0＜a＜2时，）＞0，在，为增函数.
f（xf（x）（,1）（1,）
a2
a21.（iii）当时，0
a
a2a2
令f（x）0，解得x,x.
1a
2
a
当变化时，f（x）和f（x）的变化情况如下表，
（，
a2
a
）
（
a2a2
，）
aa
a2
（，1）
a
（1，
）
f（x）
+－++
f（x）
↗↘↗↗
a2a2
（1，）f（x）（，）（1
，）
在，，为增函数，
aa
a2a2
f（x）（，）
在为减函数.
aa
1x
ax
a0x（0,1）1e1
（iii）当时，对任意，恒有且，得
1x
f（x）
1
1
x
x
e
ax
1
1
x
x
1.
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