全国卷理科数学十年真题分类汇编导数.docx

1、全国卷理科数学十年真题分类汇编导数导数一基础题组x1. 【2010 新课标，理 3】曲线 y 在点( 1，1) 处的切线方程为 ( )x 2Ay2x1 B y2x1Cy2x3 D y2x2【答案】 A2. 【2008 全国 1，理 6】若函数 的图像与函数 的图像关于直线y f (x 1) y ln x 1y x f (x)对称，则 （ ）2x 1 2x 2x 1A B C De e e2 x 2e【答案】 B.2 y 1 2 x 1 2x【解析】由 y ln x 1 x e , f x 1 e , f x e .3. 【2012 全国，理 21】已知函数 f ( x) 满足 f ( x) f

2、 (1)e1x12f (0) x x2(1) 求 f ( x) 的解析式及单调区间；1(2) 若 f ( x) x2axb，求( a1) b 的最大值 2【解析】 (1) 由已知得 f (x) f (1)ex1f (0) x.所以 f (1) f (1) f (0) 1，即 f(0) 1.又 f (0) f (1)e1，所以 f (1) e.1从而 f ( x)exx x2.2由于 f (x) ex1x，故当 x(， 0) 时，f (x)0；当 x(0 ，) 时， f (x) 0.从而， f ( x) 在( ， 0) 上单调递减，在 (0 ，) 上单调递增x(2) 由已知条件得 e ( a1)

3、 xb. 1 b( ) 若 a10，则对任意常数 b，当 x0，且 x 时，可得 ex( a1) xb，因此 a 1式不成立( ) 若 a10，则( a1) b0.1所以 f ( x) x2axb 等价于 2ba1( a1)ln( a1) 因此( a1) b(a1)2( a1) 2ln( a1) 设 h( a) ( a1)2( a1) 2ln( a1) ，则 h(a)( a1)(1 2ln( a1) 1 1所以 h( a)在( 1，e 1) 上单调递增，在 ( e 1，) 上单调递减，2 21故 h( a) 在a =e 1 处取得最大值2e e从而 h(a) ，即( a1) b .2 21 1

4、e22 b当 a=e 1 ， 时，式成立，21故 f ( x) x2axb. 2e综合得， ( a1) b 的最大值为 .24. 【2009 全国卷，理 22】设函数 =x 1、x2，且 x11，0，x21,2 .f (x)3+3bx2+3cx 有两个极值点 x（）求 b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（ b， c ）的区域；1( ) 证明：10f(x 2) .2满足这些条件的点（ b,c) 的区域为图中阴影部分 .1 2 1（）由题设知 f (x 2)=3x 2 bx c2+6bxx 2 22 21 3c3于是 f(x 2)=x 2 x x2+3bx 2+3c

5、x22= .2 2 2 2由于 x21,2 , 而由（）知 c0, 故 1 3- 4+3cf(x 2) c . 2 2又由（）知 - 2c0,1所以- 10f(x 2) .25. 【2008 全国 1，理 19】（本小题满分 12 分）3 2f x x ax x a R( ) 1已知函数 ， （）讨论函数 的单调区间；f (x)2 1（）设函数 f (x) 在区间 内是减函数，求的取值范围，3 32a a 3 23 32 3（2） ，且 解得：a2a a 3 13 3a74二能力题组1. 【2011 全国新课标，理 9】由曲线 y x ，直线 yx2 及 y 轴所围成的图形的面积为( )10

6、16A B 4 C D 63 3【答案】 C【解析】2. 【2011 全国，理 8】曲线 y e2x1 在点 (0 ，2) 处的切线与直线 y0 和 yx 围成的三角形的面积为 ( )1 1 2A. B C D 13 2 3【答案】：A2x 2x 1【解析】 ： | ( 2 ) | 2 ，故曲线 y e 在点（ 0,2 ）处的切线方程为 x 0 x 0y e1y 2x 2 y 0 y x，易得切线与直线 和 围成的三角形的面积为 。33. 【2009 全国卷，理 9】已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a) 相切，则 a 的值为（ ）A.1 B.2 C.-1 D.-2【答案】 Bx 1

7、4. 【2008 全国 1，理 7】设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，y (3，2) ax y 1 0x 1则 （ ）a1 1A2 B C D2 22【答案】 D.x 1 2 2 1【解析】由 y y y a a .1 , , | , 2, 22 x 3x 1 x 1 x 1 2x 1x be5. 【2014 课标，理 21】（12 分）设函数 f (x) ae ln x ，曲线 y f (x) 在点x(1, f (1)处的切线方程为 y e(x 1) 2.（I ）求a,b;（II ）证明： f ( x) 1.【答案】（I ） a 1,b 2 ；（II ）详见解析 .三拔高题组1. 【201

8、3 课标全国，理 21】( 本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) x2axb，g( x) ex( cxd) 若曲线 yf (x) 和曲线 yg( x) 都过点 P(0,2) ，且在点 P处有相同的切线 y4x2.(1) 求 a，b，c，d 的值；(2) 若 x2 时， f ( x) kg( x) ，求 k 的取值范围【解析】：(1) 由已知得 f (0) 2，g(0) 2，f (0) 4，g(0) 4.而 f (x)2xa，g(x) ex (cxdc) ，故 b2，d2，a4，dc4.从而 a4，b2，c2，d2.(2) 由(1) 知，f ( x) x24x2，g( x) 2ex( x

9、1) 设函数 F( x) kg( x)f ( x) 2kex( x1) x24x2，则 F(x)2kex( x2) 2x42( x2)( kex1) 由题设可得 F(0) 0，即 k1.令 F(x)0 得 x1ln k，x22.若 1ke 10. 从而当 x( 2，x1) 时，F(x) 0；当 x( x1，) 时，F(x)2，则2x0. 即 F( x) 在( 2，x1) 单调递减，在 ( x1，) 单调递增故 F( x) 在2，) 的最小值为 F( x1) 2而 F( x1) 2x12 x 4x12x1( x12) 0.1故当 x2 时，F( x) 0，即 f( x) kg( x) 恒成立若

10、ke 2，则 F(x)2e2( x2)(e2，则 F(x)2e2( x2)(ex2) e从而当 x2 时，F(x) 0，即 F( x) 在( 2，) 单调递增而 F( 2) 0，故当 x 2 时，F( x) 0，即 f ( x) kg( x) 恒成立若 k e2，则 F( 2) 2ke222e2( ke2) 0.从而当 x2 时，f ( x) kg( x) 不可能恒成立综上， k 的取值范围是 1， e2 aln x b2. 【2011 全国新课标，理 21】已知函数 f ( x) ，曲线 yf ( x) 在点(1 ，f (1) x 1 x处的切线方程为 x2y30.(1) 求 a，b 的值；

11、 ln x k(2) 如果当 x0，且 x1 时， f (x) ，求 k 的取值范围 x 1 xx 1a x x b( ln ) f ( x)【解析】 (1) .2 2(x 1) x f (1) 1 b 11由于直线 x2y30 的斜率为 ，且过点 (1 ，1) ，故 即 解得1 a 12 f (1) b 2 2 2a 1b 12 2k (x 1) (x 1)( ) 设 k0. 由 h (x) 知，当 x1 时，h(x) 0. 而 h(1) 0，故当 x2x1(0 ，1) 时，h( x) 0，可得 h( x) 0 ；当 x(1 ，) 时， h( x) 0，可得21 x112xh( x) 0.l

12、n x k从而当 x0，且 x1 时， f (x) ( ) 0 ，x 1 xln x k即 f (x) .x 1 x1( ) 设 0k1. 由于当 x(1 ， ) 时，( k1)( x21) 2x0，故 h(x) 0. 而 h(1) 1 k1 10，故当 x(1 ， ) 时，h( x) 0，可得 h( x) 0 ，与题设矛盾21 k 1 x( ) 设 k1. 此时 h(x) 0，而 h(1) 0，故当 x(1 ，) 时， h( x) 0，可得112xh( x) 0. 与题设矛盾综合得， k 的取值范围为 ( ， 0 2x( ) ln(1 ) x 23. 【2011 全国， 理 22】(1) 设

13、函数 f x x ，证明： 当 x0 时，f ( x) 0；(2) 从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 209 119次，设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p. 证明： p ( ) .210 e2x由(1) 知：当 x0 时， ln(1 x) ，x 22因此 .(1 )ln(1 x) 2x1 10 1019 2在上式中，令 ，则 ，即 .x 19ln 2 ( ) e9 9 99 119所以 p ( ) .210 e4. 【2010 新课标，理 21】（12 分）( 理) 设函数 f(x) ex1xax2.(1) 若 a0，求 f(x

14、) 的单调区间；(2) 若当 x0 时 f(x) 0，求 a 的取值范围【解析】： (1) a0 时，f ( x) ex1x，f (x) ex1.当 x( ， 0) 时，f (x)0；当 x(0 ，) 时， f (x)0. 故 f( x) 在( ，0) 上单调减少，在 (0 ，) 上单调增加(2) f (x) ex12ax.由(1) 知 ex1x，当且仅当 x0 时等号成立，故 f (x) x2ax(1 2a) x，从而当 12a0，1即 a 时，f (x) 0( x0) ，而 f (0) 0，2于是当 x0 时，f ( x) 0.1由 ex1x( x0) 可得 ex1x( x0) 从而当 a

15、 时，2x12a(ef (x) ex1) ex(ex1)(e x2a) ，故当 x(0 ，ln2 a) 时，f (x)0，而 f(0) 0，于是当 x(0 ，ln2 a) 时，f ( x) 0.1综合得 a 的取值范围为 ( ， 25. 【2008 全国 1，理 22】（本小题满分 12 分）设函数 f (x) x x ln x 数列 an 满足 0 a1 1，an 1 f (an) （）证明：函数 在区间 是增函数；f (x) (0，1)（）证明： a a 1 1；n na b 1（）设 ( 1) ，整数 k 证明： a bb a ，1 k 1a1 ln b（）假设当 x k(k N*) 时

16、， a a 1 1成立，即 0 a1 ak ak 1 1k k那么当 时，由 在区间 是增函数， 0 a ak ak 1得n k 1 f ( x) (0，11 1f (ak ) f (ak ) f (1) an 1 f (an) ak 1 f (ak ), ak 2 f (ak 1 ). 而 ，则 ，1a a n k 1a a 1 1 k k n n根据（）、（）可得对任意的正整数， a a 1 1恒成立 .n n6. 【2006 全国，理 21】（本小题满分 14 分）1 xax已知函数 f (x) .e1 x（）设 a 0, 讨论 y f (x) 的单调性；（）若对任意 x ( 0,1)

17、恒有 f ( x) 1 ，求 a 的取值范围。【解析】：（） f (x) 的定义域为 ( ,1 ) (1, ). 对 f (x) 求导数得f (x)2ax(12x)2aeax.22x2x（i ）当 时， f x) e ， 在 和 均大于 0，所以a 2 ( f (x) ( ,0), ( 0,1) (1, )2(1 x)f (x) 在 ( ,1) ， (1, ) 为增函数 .（ii ）当 0a2 时， ）0， 在 ， 为增函数 .f （x f (x) ( ,1) (1, )a 2a 2 1. （iii ）当 时， 0aa 2 a 2令 f (x) 0，解得 x , x .1 a2a当变化时， f

18、 ( x) 和 f (x) 的变化情况如下表，（ ，a 2 a）（a 2 a 2， ）a aa 2（ ，1）a（1，）f (x)+ + +f (x) a 2 a 2（1， ） f (x) （ ， ） （ 1，）在 ， ， 为增函数，a aa 2 a 2f (x) （ ， ）在 为减函数 .a a1 xaxa 0 x ( 0,1) 1 e 1（iii ）当 时，对任意 ，恒有 且 ，得1 xf (x)11xxeax11xx1.综上当且仅当 时，对任意 恒有a ,2 x ( 0,1) f ( x) 1.x7. 【2015 高考新课标 1，理 12】设函数 f (x) = e (2 x 1) ax

19、a , 其中 a1，若存在唯一的整数 x ，使得 f (x0) 0，则的取值范围是（ ）03 3 3 3 3 3(A)- ，1） (B)- ， ） (C) ， ） (D) ，1）2e 2e 4 2e 4 2e（ii ）当 0a2 时， ）0， 在 ， 为增函数 .f （x f (x) ( ,1) (1, )a 2a 2 1. （iii ）当 时， 0aa 2 a 2令 f (x) 0，解得 x , x .1 a2a当变化时， f ( x) 和 f (x) 的变化情况如下表，（ ，a 2 a）（a 2 a 2， ）a aa 2（ ，1）a（1，）f (x)+ + +f (x) a 2 a 2（1

20、， ） f (x) （ ， ） （ 1，）在 ， ， 为增函数，a aa 2 a 2f (x) （ ， ）在 为减函数 .a a1 xaxa 0 x ( 0,1) 1 e 1（iii ）当 时，对任意 ，恒有 且 ，得1 xf (x)11xxeax11xx1.综上当且仅当 时，对任意 恒有a ,2 x ( 0,1) f ( x) 1.x7. 【2015 高考新课标 1，理 12】设函数 f (x) = e (2 x 1) ax a , 其中 a1，若存在唯一的整数 x ，使得 f (x0) 0，则的取值范围是（ ）03 3 3 3 3 3(A)- ，1） (B)- ， ） (C) ， ） (D

21、) ，1）2e 2e 4 2e 4 2e（ii ）当 0a2 时， ）0， 在 ， 为增函数 .f （x f (x) ( ,1) (1, )a 2a 2 1. （iii ）当 时， 0aa 2 a 2令 f (x) 0，解得 x , x .1 a2a当变化时， f ( x) 和 f (x) 的变化情况如下表，（ ，a 2 a）（a 2 a 2， ）a aa 2（ ，1）a（1，）f (x)+ + +f (x) a 2 a 2（1， ） f (x) （ ， ） （ 1，）在 ， ， 为增函数，a aa 2 a 2f (x) （ ， ）在 为减函数 .a a1 xaxa 0 x ( 0,1) 1

22、e 1（iii ）当 时，对任意 ，恒有 且 ，得1 xf (x)11xxeax11xx1.综上当且仅当 时，对任意 恒有a ,2 x ( 0,1) f ( x) 1.x7. 【2015 高考新课标 1，理 12】设函数 f (x) = e (2 x 1) ax a , 其中 a1，若存在唯一的整数 x ，使得 f (x0) 0，则的取值范围是（ ）03 3 3 3 3 3(A)- ，1） (B)- ， ） (C) ， ） (D) ，1）2e 2e 4 2e 4 2e（ii ）当 0a2 时， ）0， 在 ， 为增函数 .f （x f (x) ( ,1) (1, )a 2a 2 1. （iii

23、 ）当 时， 0aa 2 a 2令 f (x) 0，解得 x , x .1 a2a当变化时， f ( x) 和 f (x) 的变化情况如下表，（ ，a 2 a）（a 2 a 2， ）a aa 2（ ，1）a（1，）f (x)+ + +f (x) a 2 a 2（1， ） f (x) （ ， ） （ 1，）在 ， ， 为增函数，a aa 2 a 2f (x) （ ， ）在 为减函数 .a a1 xaxa 0 x ( 0,1) 1 e 1（iii ）当 时，对任意 ，恒有 且 ，得1 xf (x)11xxeax11xx1.综上当且仅当 时，对任意 恒有a ,2 x ( 0,1) f ( x) 1.

24、x7. 【2015 高考新课标 1，理 12】设函数 f (x) = e (2 x 1) ax a , 其中 a1，若存在唯一的整数 x ，使得 f (x0) 0，则的取值范围是（ ）03 3 3 3 3 3(A)- ，1） (B)- ， ） (C) ， ） (D) ，1）2e 2e 4 2e 4 2e（ii ）当 0a2 时， ）0， 在 ， 为增函数 .f （x f (x) ( ,1) (1, )a 2a 2 1. （iii ）当 时， 0aa 2 a 2令 f (x) 0，解得 x , x .1 a2a当变化时， f ( x) 和 f (x) 的变化情况如下表，（ ，a 2 a）（a 2 a 2， ）a aa 2（ ，1）a（1，）f (x)+ + +f (x) a 2 a 2（1， ） f (x) （ ， ） （ 1，）在 ， ， 为增函数，a aa 2 a 2f (x) （ ， ）在 为减函数 .a a1 xaxa 0 x ( 0,1) 1 e 1（iii ）当 时，对任意 ，恒有 且 ，得1 xf (x)11xxeax11xx1.