第二十二章导学案.docx
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第二十二章导学案
22.1.二次函数的图象和性质
22.1.1二次函数
【学习目标】
1．知道二次函数的一般表达式；
2．会利用二次函数的概念分析解题；
3．列二次函数表达式解实际问题．
【课前预习】
预习课本P.28-P.29，完成下面的填空。
一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。
其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________．
基本知识练习：
1．观察：
①y＝6x2；②y＝－
x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________．
2．函数y＝（m－2）x2＋mx－3（m为常数）．
（1）当m__________时，该函数为二次函数；
（2）当m__________时，该函数为一次函数．
3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？
哪些不是？
若是二次函数，请指出各项对应项的系数．
（1）y＝1－3x2
（2）y＝3x2＋2x（3）y＝x（x－5）＋2
（4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋
【课堂练习】
1．y＝（m＋1）x
－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________．
2．下列函数中是二次函数的是（）
A．y＝x＋
B．y＝3（x－1）2C．y＝（x＋1）2－x2D．y＝
－x
3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（）
A．28米B．48米C．68米D．88米
4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．
5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3．求：
（1）函数y与x的函数关系式；
（2）当x＝4时，y的值；新课标第一网
（3）当y＝－
时，x的值．
6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【目标检测】
1．若函数y＝（a－1）x2＋2x＋a2－1是二次函数，则（）
A．a＝1B．a＝±1C．a≠1D．a≠－1
2．下列函数中，是二次函数的是（）
A．y＝x2－1B．y＝x－1C．y＝
D．y＝
3．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．
4．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时，y＝3，求这个二次函数解析式．
22.1.2二次函数y＝ax2的图象与性质
【学习目标】
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．
【课前预习】
预习课本P.29-P.32，完成下面探索过程：
一、画二次函数y＝x2的图象．
【提示：
画图象的一般步骤：
①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
描点，并连线：
由图象可得二次函数y＝x2的性质：
1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．
3．自变量x的取值范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________．
因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．
6．抛物线y＝x2有____________点（填“最
高”或“最低”）．
二、例题分析新课标第一网
例1在同一直角坐标系中，画出函数y＝
x2，y＝x2，y＝2x2的图象．
解：
列表并填：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝
x2
…
…
y＝x2的图象刚画过，再把它画出来．
x
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y＝2x2
…
…
归纳：
抛物线y＝
x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；
顶点都是__________；
对称轴是_________；
顶点是抛物线的最_________点
（填“高”或“低”）．
完成下面例2归纳：
抛物线y＝－x2，y＝－
x2，y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________，对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”）．
例2请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－
x2，y＝－2x2的图象．
列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y=－
x2
…
…
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝－2x2
…
…
三、理一理
1．抛物线y＝ax2的性质
图象（草图）
开口
方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
a＞0
当x＝____时，y有最_______值，是______．
a＜0
当x＝____时，y有最______值，是______．
2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．
【课堂训练】
1．填表：
开口方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
y＝
x2
当x＝____时，y有最_______值，是______．
y＝－8x2
2．若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________．
3．二次函数y＝（m－1）x2的图象开口向下，则m____________．
4．如图，
①y＝ax2
②y＝bx2
③y＝cx2
④y＝dx2
比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接．____________________________
【目标检测】
1．函数y＝
x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x＝___________时，有最_________值是_________．
2．二次函数y＝mx
有最低点，则m＝___________．
3．二次函数y＝（k＋1）x2的图象如图所示，则k的取值
范围为___________．
4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．
22.1.3二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
【学习目标】
1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；
3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．
【课前预习】
预习课本P.32-P.33，完成下面探索过程：
一、在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．
解：
先列表
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2＋1
…
…
y＝x2－1
…
…
描点并画图：
1．观察图象得：
新课标第一网
函数
y＝x2
y＝x2－1
y＝x2＋1
开口方向
顶点
对称轴
有最高
（低）点
最大（小）值
2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．
3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．
二、理一理知识点
1．填空：
y＝ax2
y＝ax2＋k
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
最值
a＞0时，当x＝______时，y有最____为________；
a＜0时，当x＝______时，y有最____为________．
增减性
2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线________；
把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线___________．
3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状_____，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________．
【课堂练习】
1．填表
函数
草图
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴右侧的增减性
y＝3x2
y＝－3x2＋1
y＝－4x2－5
2．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为____________．
3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．
4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．
【目标检测】
1．填表
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴左侧的增减性
y＝－5x2＋3
y＝7x2－1
2．抛物线y＝－
x2－2可由抛物线y＝－
x2＋3向_______平移______个单位得到的．
3．抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为（0，2），则h＝_______________．
4．抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为___________，与x轴的交点坐标为______．
22.1.3二次函数y＝a（x-h）2的图象与性质
【学习目标】
1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；
2．掌握二次函数y＝a（x-h）2的性质，会灵活应用。
【课前预习】
预习课本P.33-P.34，完成下面的探索过程：
一、画出二次函数y＝－
（x＋1）2，y－
（x－1）2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．
先列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝－
（x＋1）2
…
…
y＝－
（x－1）2
…
…
描点并画图．
1．观察图象，填表：
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y＝－
（x＋1）2
y＝－
（x－1）2
2．请在图上把抛物线y＝－
x2也画上去（草图）．
①抛物线y＝－
（x＋1）2，y＝－
x2，y＝－
（x－1）2的形状大小____________
②把物线y＝－
x2向左平移_______个单位，就得到抛物线y＝－
（x＋1）2；
把抛物线y＝－
x2向右平移_______个单位，就得到抛物线y＝－
（x＋1）2．
③把物线y＝－
x2向左平移_______个单位，就得到抛物线y＝－
（x＋1）2；
把抛物线y＝－
x2向右平移_______个单位，就得到抛物线y＝－
（x＋1）2．
二、整理知识点
1．填空：
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a（x-h）2
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（对称轴左侧）
2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．
【课堂练习】
1．填表
图象（草图）
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴右侧的增减性
y＝
x2
y＝－5（x＋3）2
y＝3（x－3）2
2．抛物线y＝4（x－2）2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．
3．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．
把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．
4．将抛物线y＝－
（x－1）x2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．
5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式
_________________________．
【目标检测】
1．抛物线y＝2（x＋3）2的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是______；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．
2．抛物线y＝m（x＋n）2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4（x－4）2，则
m＝__________，n＝________．
3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．
4．若抛物线y＝m（x＋1）2过点（1，－4），则m＝_______________．
22.1.3二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质
【学习目标】
1．会画二次函数的顶点式y＝a（x－h）2＋k的图象；
2．掌握二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质；
3．会应用二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质解题．
【课前预习】
预习课本P.35-P.36，完成下面的探索过程：
一、画出函数y＝－
（x＋1）2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
y＝－
（x＋1）2－1
…
…
由图象归纳：
函数
y＝－
（x＋1）2－1
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
2．把抛物线y＝－
x2向_______平移______个单位，再向_______平移_____个单位，就得到抛物线y＝－
（x＋1）2－1．
二、理一理知识点
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a（x-h）2
y＝a（x－h）2＋k
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（对称轴右侧）
2．抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2形状___________，位置________________．
【课堂练习】
1．填空：
y＝3x2
y＝－x2＋1
y＝
（x＋2）2
y＝－4（x－5）2－3
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（只叙述对称轴左侧）
2．y＝6x2＋3与y＝6（x－1）2＋10_____________相同，而____________不同．
3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝
x2相同的解析式为（）
A．y＝
（x－2）2＋3B．y＝
（x＋2）2－3
C．y＝
（x＋2）2＋3D．y＝－
（x＋2）2＋3
4．二次函数y＝（x－1）2＋2的最小值为__________________．
5．将抛物线y＝5（x－1）2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．
6．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值．
7．若抛物线y＝a（x－1）2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为__________________．
【目标检测】
1．填表：
函数
开口方向
顶点
对称轴
y＝x2＋1
y＝2（x－3）2
y＝－（x＋5）2－4
2．抛物线y＝－3（x＋4）2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．
3．将抛物线y＝2（x＋1）2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．
4．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）
22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
【学习目标】
1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式；
3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象．
【课前预习】
预习课本P.37-P.39，完成下面的探索过程：
1．求二次函数y＝
x2－6x＋21的顶点坐标与对称轴．
解：
将函数等号右边配方：
y＝
x2－6x＋21
2．画二次函数y＝
x2－6x＋21的图象．
解：
y＝
x2－6x＋21配成顶点式为_______________________．列表：
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
y＝
x2－6x＋21
…
…
3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
的顶点与对称轴．
二、理一理知识点：
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a（x－h）2
y＝a（x－h）2＋k
y＝ax2＋bx＋c
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（对称轴左侧）
【课堂练习】
1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．
2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．
3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．
4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．
【目标检测】
1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝
x2－2－1的顶点坐标．
2．已知二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．
22.1.4用待定系数法求二次函数解析式
【学习目标】
1．会用待定系数法求二次函数的解析式；
2．实际问题中求二次函数解析式．
【课前预习】
预习课本P.39-P.40，完成下面课前基本练习：
1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为________________．
2．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．
3．将抛物线y＝－（x－1）2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为____________________．
4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－
x2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为________________________________．
【例题分析】
例1已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．
例2已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
例3已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
归纳：
用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：
1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．
2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a（x－h）2＋k．
3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），
设两根式：
y＝a（x－x1）（x－x2）．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）
例4（实际问题中求二次函数解析式）
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
【课堂训练
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