完整word版离散数学电子教材1.docx
《完整word版离散数学电子教材1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整word版离散数学电子教材1.docx（75页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
完整word版离散数学电子教材1
第1章命题逻辑
逻辑是研究人的思维的科学，包括辩证逻辑和形式逻辑。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。
形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开
具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。
数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理的规律的数学学科。
所谓的数学方法也就是
用一套有严格定义的符号，即建立一套形式语言来研究。
因此数理逻辑也称为符号逻辑。
数理逻辑的基础部分是命题逻辑和谓词逻辑。
本章主要讲述命题逻辑，谓词逻辑将在第
2章进行讨论。
1.1命题及其表示
1.1.1命题的基本概念
数理逻辑研究的中心问题是推理（Inference）,而推理就必然包含前提和结论，前提和
结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句就成为推理的基本要素。
在数理逻辑中，
将能够判断真假的陈述句称为命题。
因此命题就成为推理的基本单位。
在命题逻辑中，对命
题的组成部分不再进一步细分。
定义1.1.1能够判断真假的陈述句称为命题（Proposition）。
命题的判断结果称为命题的
真值，常用T（True）（或1）表示真，F（False）（或0）表示假。
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
从上述的定义可知，判定一个句子是否为命题要分为两步：
一是判定是否为陈述句，二
是能否判定真假，二者缺一不可。
例1.1.1判断下列句子是否为命题
（1）北京是中国的首都。
（2）请勿吸烟！
（3）雪是黑的。
（4）明天开会吗？
（5）x+y=5。
（6）我正在说谎。
（7）9+5<12。
（8）1+101=110。
（9）今天天气多好啊！
（10）别的星球上有生物。
解在上述的十个句子中，
（2）、（9）为祈使句，（4）为疑问句，（5）、（6）虽然是陈述句，但（5）没有确定的真值，其真假随x、y取值的不同而有改变，（6）是悖论（Paradox）
（即由真能推出假，由假也能推出真），因而
（2）、（4）、（5）、（6）、（9）均不是命题。
（1）、
（3）、（7）、（8）、（10）都是命题，其中（10）虽然现在无法判断真假，但随着科技的进步是可以判定真假的。
需要进一步指出的是，命题的真假只要求它有就可以，而不要求立即给出。
如例1.1.1的（8）1+101=110，它的真假意义通常和上下文有关，当作为二进制的加法时，它是真命题，否则为假命题。
还有的命题的真假不能马上给出，如例1.1.1的（10），但它确实有真假意
义。
1.1.2命题分类
根据命题的结构形式，命题分为原子命题和复合命题。
定义1.1.2不能被分解为更简单的陈述语句的命题称为原子命题（SimpleProposition）。
由两个或两个以上原子命题组合而成的命题称为复合命题（CompoundProposition）。
例如，例1.1.1中的命题全部为原子命题，而命题"小王和小李都去公园。
”是复合命题,
是由“小王去公园。
”与“小李去公园。
”两个原子命题组成的。
1.1.3命题标识符
定义1.1.3表示原子命题的符号称为命题标识符（Identifier）。
通常用大写字母A,B,C,…，P,Q,…等表示命题，女口P:
今天下雨。
命题标识符依据表示命题的情况，分为命题常元和命题变元。
一个表示确定命题的标识
符称为命题常元（或命题常项）（Propositionalconstant）;没有指定具体内容的命题标识符称
为命题变元（或命题变项）（PropositionalVariable）。
命题变元的真值情况不确定，因而命题
变元不是命题。
只有给命题变元P一具体的命题取代时，P有了确定的真值，P才成为命题。
习题1.1
1.判断下列语句是否为命题，若是，指出其真值。
（1）
外面卜雨吗？
（2）
7能被2整除。
（3）
2x+3<4。
（4）
请关上门。
（5）
小红在教室里。
.指出卜列命题是原子命题还是复合命题。
（1）
小李一边看书，一边听音乐。
（2）
北京不是中国的首都。
（3）
大雁北回，春天来了。
（4）
不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。
（5）
张三与李四在吵架。
1.2逻辑联结词
本节主要介绍5种常用的逻辑联结词（LogicalConnectives）,分别是“非”（否定联结词）、“与”（合取联结词）、“或”（析取联结词）、“若…则…”（条件联结词）、“…当且仅当…”（双条件联结词），通过这些联结词可以把多个原子命题复合成一个复合命题。
下面分别给出各自的符号形式及真值情况。
1.2.1否定联结词
定义1.2.1设P为一命题，P的否定（Negation）是一个新的命题，记为P（读作非P）。
规定若P为T,则P为F；若P为F,则P为T。
P的取值情况依赖于P的取值情况，真值情况见表1-1。
表1-1
P
P
1
0
0
1
在自然语言中，常用“非”、“不”、“没有”、“无”、“并非”等来表示否定。
例1.2.1P:
上海是中国的城市。
P是真命题，P是假命题。
Q：
所有的海洋动物都是哺乳动物。
P：
上海不是中国的城市。
Q:
不是所有的海洋动物都是哺乳动物。
Q为假
命题，Q为真命题。
1.2.2合取联结词
定义1.2.2设P、Q为两个命题，P和Q的合取（Conjunction）是一个复合命题，记为
PQ（读作P与Q），称为P与Q的合取式。
规定P与Q同时为T时，PQ为T,其余情况下，PQ均为F。
联结词“”的定义见表1-2。
表1-2联结词“”的定义
P
Q
PQ
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
显然PP的真值永远是假，称为矛盾式。
在自然语言中，常用“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”、“一边…一边…”等表示合取。
例1.2.2
（1）今天下雨又刮风。
设P:
今天下雨。
Q:
今天刮风。
则
（1）可表示为PQ
（2）猫吃鱼且太阳从西方升起。
设P:
猫吃鱼。
Q:
太阳从西方升起。
则
（2）可表示为PQ
（3）张三虽然聪明但不用功。
P:
张三聪明。
Q:
张三用功。
则（3）可表示为PQ
需要注意的是，在自然语言中，命题
（2）是没有实际意义的，因为P与Q两个命题是
互不相干的，但在数理逻辑中是允许的，数理逻辑中只关注复合命题的真值情况，并不关心
原子命题之间是否存在着内在联系。
1.2.3析取联结词
定义1.2.3设P、Q为两个命题，P和Q的析取（Disjunction）是一个复合命题，记为PQ（读作P或Q）,称为P与Q的析取式。
规定当且仅当P与Q同时为F时，PQ为F,否则PQ均为T。
析取联结词“”的定义见表1-3。
表1-3联结词“”的定义
P
Q
PQ
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
显然PP的真值永远为真，称为永真式。
析取联结词“”与汉语中的“或”二者表达的意义不完全相同，汉语中的“或”可
表达“排斥或”，也可以表达“可兼或”，而从析取联结词的定义可看出，“”允许P、Q
同时为真，因而析取联结词“”是可兼或。
对于“排斥或”将在1.6中论述。
例1.2.3
（1）小王爱打球或跑步。
（2）他身高1.8m或1.85m。
（1）为可兼或，
（2）为排斥或。
设P:
小王爱打球。
Q:
小王爱跑步。
则
（1）可表示为PQ
设P:
他身高1.8米。
Q:
他身高1.85米。
则
（2）可表示为（PQ）（PQ）
1.2.4条件联结词
定义1.2.4设P、Q为两个命题，P和Q的条件（Conditional）命题是一个复合命题，记为PQ（读作若P则Q），其中P称为条件的前件，Q称为条件的后件。
规定当且仅当前件P为T，后件Q为F时，PQ为F,否则PQ均为T。
条件联结词“”的定义见表1-4。
表1-4联结词“”的定义
P
Q
PQ
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
在自然语言中，常会出现的语句如“只要P就Q”、“因为P所以Q”、“P仅当Q”、“只有Q才P”、“除非Q才P”等都可以表示为“PQ”的形式。
例1.2.4
（1）如果雪是黑色的，则太阳从西方升起。
（2）仅当天气好，我才去公园。
对于
（1），设P:
雪是黑色的。
Q:
太阳从西方升起。
则
（1）可表示为PQ
（2）设R:
天气好。
S:
我去公园。
则
（2）可表示为SR
1.2.5双条件联结词
定义1.2.5设P、Q为两个命题，其复合命题PQ称为双条件（Biconditional）命题，
PQ读作P当且仅当Q。
规定当且仅当P与Q真值相同时，PQ为T,否则PQ均为F。
双条件联结词“”的定义如表1-5所示。
表1-5
P
Q
PQ
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
例1.2.5
（1）雪是黑色的当且仅当2+2>4。
（2）燕子北回，春天来了。
（1）设P:
雪是黑色的。
Q:
2+2>4。
则
（1）可表示为PQ,其真值为T。
（2）设R:
燕子北回。
S:
春天来了。
则
（2）可表示为RS,其真值为T。
与前面的联结词一样，条件联结词和双条件联结词连接的两个命题之间可以没有任何的因果联系，只要能确定复合命题的真值即可。
习题1.2
1.指出下列命题的真值:
（1）
若2+2>4，则太阳从西方升起。
（2）
若a，贝UaA。
（3）
胎生动物当且仅当是哺乳动物。
（4）
指南针永指北方，除非它旁边有磁铁。
（5）
除非ABCD是平行四边形，否则它的对边不都平行。
2.令P:
天气好。
Q:
我去公园。
请将下列命题符号化。
（1）
如果天气好，我就去公园。
（2）
只要大气好，我就去公园。
（3）
只有天气好，我才去公园。
（4）
我去公园，仅当天气好。
（5）
或者天气好，或者我去公园。
（6）
天气好，我去公园。
1.3命题公式与翻译
1.3.1命题公式
上一节介绍了5种常用的逻辑联结词，利用这些逻辑联结词可将具体的命题表示成符号化的形式。
对于较为复杂的命题，需要由这5种逻辑联结词经过各种相互组合以得到其符号化的形式，那么怎样的组合形式才是正确的、符合逻辑的表示形式呢？
定义1.3.1
（1）单个的命题变元是命题公式。
（2）如果A是命题公式，那么A也是命题公式。
（3）如果A、B是命题公式，那么（AAB）,（AVB）,（AB）和
（AB）也是命题公式。
（4）当且仅当能够有限次地应用
（1）、
（2）、（3）所得到的包含命题变元、联结词和括号的符号串是命题公式（又称为合式公式，或简称为公式）。
上述定义是以递归的形式给出的，其中
（1）称为基础，
（2）、（3）称为归纳，（4）
称为界限。
由定义知，命题公式是没有真假的，仅当一个命题公式中的命题变元被赋以确定的命题
时，才得到一个命题。
例如在公式PQ中，把命题“雪是白色的。
”赋给P，把命题“2+2>4。
”赋给Q,则公式PQ被解释为假命题；但若P的赋值不变，而把命题“2+2=4。
”赋给Q,则公式PQ被解释为真命题。
定义中的符号A,B不同于具体公式里的P、Q、R等符号，它可以用来表示任意的命题公式。
例1.3.1（PQ）,（P（QR））,（（PQ）（QR））等都是命题公式，而
为了减少命题公式中使用括号的数量，规定：
（1）逻辑联结词的优先级别由高到低依
次为、人、V、t、o
（2）具有相同级别的联结词，按出现的先后次序进行计算，括号可以省略。
（3）命题公式的最外层括号可以省去。
例1.3.2（PQ）R也可以写成PQR,（PQ）R也可写成PQR,（（PQ）R）也可写成（PQ）R，而P（QR）中的括号不能省去。
定义1.3.2设P是命题公式Q的一部分，且P也是命题公式，则称P为Q的子公式。
例如PQ及R都是公式PQR的子公式；P、PQ及PR都是公式
（PQ）（PR）的子公式。
1.3.2命题的符号化
有了命题公式的概念之后，就可以把自然语言中的一些命题翻译成命题逻辑中的符号化形式。
把一个文字描述的命题相应地写成由命题标识符、逻辑联结词和圆括号表示的命题形
式称为命题的符号化或翻译。
命题符号化的一般步骤：
（1）明确给定命题的含义；
（2）找出命题中的各原子命题，分别符号化。
（3）使用合适的逻辑联结词，将原子命题分别连接起来，组成复合命题的符号化
形式。
把命题符号化，是不管具体内容而突出思维形式的一种方法。
注意在命题符号化时，要
正确地分析和理解自然语言命题，不能仅凭文字的字面意思进行翻译。
例1.3.3张三或李四都可以做这件事。
设P:
张三可以做这件事。
Q:
李四可以做这件事。
则命题符号化为：
PQ，而不是PQo
例1.3.4
（1）只有你走，我才留下。
这个命题的意义也可以理解为：
如果我留下了，那么你一定走了。
设P:
你走。
Q：
我留下。
则命题符号化为：
QPo
与原命题类似的命题如：
仅当你走我才留下。
我留下仅当你走。
当我留下你得走。
注意：
在一般的命题表述中，“仅当”是必要条件，译成条件命题时其后的命题是后件，而“当”是充分条件，译成条件命题时其后的命题是前件。
（2）仅当天不下雨且我有时间，我才上街。
设P:
天下雨。
Q:
我有时间。
R:
我上街。
命题符号化为：
R（PQ）o
（3）你将失败，除非你努力。
这个命题的意义可以理解为：
如果你不努力，那么你将失败。
设P:
你努力。
Q:
你失败。
则命题符号化为：
PQo
“非…”是条件的前件。
含有“除非”的命题，“非…”是充分条件，译成条件命题时,
（4）A中没有元素，A就是空集。
设P:
A中有元素。
Q:
A是空集。
则命题符号化为：
PQ
（5）张三与李四是表兄弟。
此命题是一个原子命题，“…与…是表兄弟。
”表示两个对象之间的关系。
“张三是表兄弟。
”及“李四是表兄弟。
”都不是命题。
所以上述命题只能符号化为P的形式。
其中P:
张三与李四是表兄弟。
例1.3.5将下列命题符号化。
（1）如果明天早上下雨或下雪，则我不去学校。
（2）如果明天早上不下雨且不下雪，则我去学校。
（3）如果明天早上不是雨夹雪，则我去学校。
（4）当且仅当明天早上不下雨且不下雪时，我才去学校。
设P:
明天早上下雨。
Q：
明天早上下雪。
R:
我去学校。
（1）
符号化为：
（P
Q）
R
（2）
符号化为：
（P
Q）
R
（3）
符号化为：
（P
Q）
R
（4）
符号化为：
P
Q
R
例1.3.6将下列命题符号化。
（1）如果小王和小张都不去，则小李去。
（2）如果小王和小张不都去，则小李去。
设P:
小王去。
Q:
小张去。
R:
小李去。
（1）符号化为：
（PQ）R
（2）符号化为：
（PQ）R或（PQ）R
例1.3.7将下列命题符号化。
（1）说离散数学无用且枯燥无味是不对的。
（2）若天不下雨，我就上街；否则在家。
对于
（1）,设P:
离散数学是有用的。
Q:
离散数学是枯燥无味的。
则命题符号化为:
（PQ）。
对于
（2），设P：
天下雨。
Q：
我上街。
R:
我在家。
则命题符号化为：
（PQ）（PR）。
通过上述的例题可以看出，要正确地将自然语言中的联结词翻译成恰当的逻辑联结词,必须要正确地理解各原子命题之间的关系。
习题1.3
1•判断下列各式子是否是命题公式
（1）
P
（Q
R）
（2）
（P
（Q
R））
（3）
（P
Q）
（Q
R））
（4）
PQ
T
（5）
（（R
（Q
R）
（PQ））
（6）
（P
QR）
S
2.将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）
（1）我去新华书店（P），仅当我有时间（Q）。
（2）我们不能既划船（P）又跑步（Q）。
（3）只要努力学习（P），成绩就会好的（Q）。
（4）或者你没有给我写信（P），或者它在路上丢了（Q）。
（5）如果上午不下雨（P），我就去看电影（Q），否则我就在家里读书（R）或看报纸（S）。
（6）我今天进城（P），除非下雨（Q）。
（7）如果太阳没出来（P），则或者下雨（Q）或者阴天（R）而且温度下降（S）。
（8）指南针永指南北（P），除非它旁边有磁铁（Q）。
（9）说逻辑枯燥无味（P）和毫无价值（Q）是不对的。
（10）人不犯我（P），我不犯人（Q）;人若犯我，我必犯人。
1.4真值表与等价公式
1.4.1真值表
定义1.4.1设R,P2,…，Pn是出现在命题公式A中的全部命题变元，给R,P2,…，
Pn各指定一个真值，称为对公式A的一个赋值（或解释或真值指派）
若指定的一组值使公式A的真值为1，则这组值称为公式A的成真赋值。
若指定的一组值使公式A的真值为0，则这组值称为公式A的成假赋值。
例如，对公式（PQ）R，赋值011（即令P0,Q1,R1），则可得到公式的真
值为1;若赋值000，则公式真值为0。
因此，011为公式的一个成真赋值；000为公式的一个成假赋值。
除了上述的两种赋值外，公式的赋值还有000,001,…等。
一般的结论是在
含有n个命题变元的命题公式中，共有2n种赋值。
定义1.4.2将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为公式A的真值表（Truth
Table）。
构造真值表的基本步骤：
（1）找出公式中所有的命题变元R,P2，…，Pn,按二进制从小到大的顺序列出2n
种赋值。
（2）当公式较为复杂时，按照运算的顺序列出各个子公式的真值。
（3）计算整个命题公式的真值。
例1.4.1
写出下列公式的真值表，并求其成真赋值和成假赋值。
（1）
P
Q
（2）
（P
Q）
Q
（3）
（P
Q）
（PQ）
解
（1）的真值表见表1-6。
表1-6PQ的真值表
PQ
P
PQ
00
1
1
01
1
1
10
0
0
11
0
1
成真赋值为00,01,11,成假赋值为10。
（2）的真值表见表1-7。
表1-7（PQ）Q的真值表
PQ
PQ
（PQ）
（PQ）Q
00
1
0
0
01
1
0
0
10
0
1
0
11
1
0
0
无成真赋值，成假赋值为00,01,10,11。
（3）的真值表见表1-8。
表1-8（PQ）（PQ）的真值表
PQ
PQ
（PQ）
PQ
（PQ）（PQ）
00
0
1
1
1
01
0
1
1
1
10
0
1
1
1
11
1
0
0
1
成真赋值为00,01,10,11,无成假赋值。
142等价公式
定义1.4.3给定两个命题公式A,B，设R,P2，…，Pn是出现在命题公式代B中的
公式A和B的真值都对应相同，则称
公式A与B等价或逻辑相等（Equivalenee），记作A
需要注意的是，“”
个命题公式之间的一种等价关系，
B具有不同的形式而已。
“”具有如下的性质：
（1）
（3）传递性：
若AB,B
AB”不是命题公式，只是表示两
最多只是A和
不是逻辑联结词，因而“
B,A和B没有本质上的区别,
即若A
自反性：
C，则
给定n个命题变元，根据公式的形成规则，多形式不同的公式具有相同的真值表。
简化。
下面介绍两种证明公式等价的方法。
1•真值表法
由公式等价的定义可知，利用真值表可以判断任何两个公式是否等价。
A。
（2）对称性：
若AB，则B
C。
可以形成许多个形式各异的公式，但是有很
因此引入公式等价的概念，其目的就是将复杂的公式
例1.4.2证明PQ（P
Q）（Q
P）
证明
命题公式PQ与（P
Q）（Q
P）的真值表见表1-9。
由表
1-9可知，在任意赋值下P
Q与（P
Q）（QP）两者的真值均对应相同。
因此P
Q（PQ）（Q
P）
全部命题变兀，若给P.）,P2，…，Pn任一组赋值,
PQ
PQ
QP
（PQ）（QP）
PQ
00
1
1
1
1
01
1
0
0
0
（QP）的真值表
表1-9PQ与（PQ）
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
例1.4.3判断公式
P
Q与
PQ二者是否等价。
证明公式P
Q与
P
Q的真值表见表1-10。
表
1-10
PQ与PQ的真值表
P
Q
PQ
PQ
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
可见真值表中的最后两列值不完全相同，因此公式PQ与PQ不等价。
从理论上来讲，利用真值表法可以判断任何两个命题公式是否等价，但是真值表法并
不是一个非常好的方法，因为当公式中命题变元较多时，其计算量较大，例如当公式中有四
个变元时，需要列出24=16种赋值情况，计算较为繁杂。
因此，通常采用其他的证明方法。
这种证明方法是先用真值表法验证出一些等价公式，再用这些等价公式来推导出新的等价公
式，以此作为判断两个公式是否等价的基础。
下面给出12组常用的等价公式，它们是进一
步推理的基础。
牢记并熟练运用这些公式是学好数理逻辑的关键之一。
（1）双重否定律：
A
A
（2）结合律：
（A
B）CA（B
C），
（A
B）CA（BC），
（A
B）
CA
（B
C）
（3）交换律：
A
B
BA，AB
BA，
A
BBA
（4）分配律：
A
（B
C）
（AB）（AC），
A
（B
C）
（AB）（A
C）
（5）幕等律：
A
A
A，
AAA
（6）吸收律：
A
（A
B）
A，A（A
B）
A
（7）德•摩根律：
（A
B）
AB，
（A
B）
AB
（8）同一律：
A
F
A,A
TA
（9）零律：
ATT,AFF
（10）否定律：
AAT,AAF
（11）条件等价式：
ABABBA
（12）双条件等价式：
AB（A
升级会员 