十年高考真题分类汇编 数学 专题20 空间向量Word版无答案原卷版.docx

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十年高考真题分类汇编数学专题20空间向量Word版无答案原卷版

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学

专题20空间向量

1.（2014·全国2·理T11）直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为（　　）

A.

B.

C.

D.

2.（2013·北京·文T8）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有（　　）

A.3个B.4个C.5个D.6个

3.（2012·陕西·理T5）如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（　　）

A.

B.

C.

D.

4.（2010·大纲全国·文T6）直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.（2019·天津·理T17）如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

（1）求证:

BF∥平面ADE;

（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;

（3）若二面角E-BD-F的余弦值为

求线段CF的长.

6.（2019·浙江·T19）如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.

（1）证明:

EF⊥BC;

（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

7.（2019·全国1·理T18）如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.

（1）证明:

MN∥平面C1DE;

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值.

8.（2019·全国2·理T17）如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.

（1）证明:

BE⊥平面EB1C1;

（2）若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.

9.（2019·全国3·理T19）图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.

（1）证明:

图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;

（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.

10.（2018·浙江·T8）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点（不含端点）.设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S-AB-C的平面角为θ3,则（　　）

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

11.（2018·全国3·理T19）如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧

所在平面垂直,M是

上异于C,D的点.

（1）证明:

平面AMD⊥平面BMC;

（2）当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

12.（2018·北京·理T16）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=

AC=AA1=2.

（1）求证:

AC⊥平面BEF;

（2）求二面角B-CD-C1的余弦值;

（3）证明:

直线FG与平面BCD相交.

13.（2018·天津·理T17）如图,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.

（1）若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:

MN∥平面CDE;

（2）求二面角E-BC-F的正弦值;

（3）若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.

14.（2018·全国1·理T18）如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.

（1）证明:

平面PEF⊥平面ABFD;

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

15.（2018·全国2·理T20）如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2

PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.

（1）证明:

PO⊥平面ABC;

（2）若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.

16.（2018·浙江·T9）如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.

（1）证明:

AB1⊥平面A1B1C1;

（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.

17.（2018·上海·T17）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.

（1）设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;

（2）设PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图,求异面直线PM与OB所成的角的大小.

18.（2017·北京·理T16）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=

AB=4.

（1）求证:

M为PB的中点;

（2）求二面角B-PD-A的大小;

（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

19.（2017·全国1·理T18）如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.

（1）证明:

平面PAB⊥平面PAD;

（2）若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

20.（2017·全国2·理T19）如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,

AB=BC=

AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.

（1）证明:

直线CE∥平面PAB;

（2）点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.

21.（2017·全国3·理T19）如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.

（1）证明:

平面ACD⊥平面ABC;

（2）过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.

22.（2017·山东·理T17）如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是

的中点.

（1）设P是

上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;

（2）当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.

23.（2017·天津·理T17）如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.

（1）求证:

MN∥平面BDE;

（2）求二面角C-EM-N的正弦值;

（3）已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为

求线段AH的长.

24.（2016·全国1·理T18）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.

（1）证明:

平面ABEF⊥平面EFDC;

（2）求二面角E-BC-A的余弦值.

25.（2016·全国2·理T19）如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=

EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=

.

（1）证明:

D'H⊥平面ABCD;

（2）求二面角B-D'A-C的正弦值.

26.（2016·山东·理T17）在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.

（1）已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:

GH∥平面ABC;

（2）已知EF=FB=

AC=2

AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值.

27.（2016·浙江·理T17）如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

（1）求证:

BF⊥平面ACFD;

（2）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

28.（2016·全国3·理T19）如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.

（1）证明:

MN∥平面PAB;

（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

29.（2015·全国2·理T19）如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）;

（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值.

30.（2015·上海·理T19）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E,F分别是棱AB,BC的中点.证明A1,C1,F,E四点共面,并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小.

31.（2015·北京·理T17）如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.

（1）求证:

AO⊥BE;

（2）求二面角F-AE-B的余弦值;

（3）若BE⊥平面AOC,求a的值.

32.（2015·浙江·理T17）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.

（1）证明:

A1D⊥平面A1BC;

（2）求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.

33.（2015·福建·理T17）如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.

（1）求证:

GF∥平面ADE;

（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.

34.（2015·山东·理T17）如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.

（1）求证:

BD∥平面FGH;

（2）若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.

35.（2015·全国1·理T18）如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.

（1）证明:

平面AEC⊥平面AFC;

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

36.（2015·陕西·理T18）如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=

AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如图②.

（1）证明:

CD⊥平面A1OC;

（2）若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.

37.（2015·湖北·理T19）《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB,交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.

（1）证明:

PB⊥平面DEF,试判断四面体DBEF是否为鳖臑.若是,写出

其每个面的直角（只需写出结论）;若不是,说明理由;

（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为

求

的值.

38.（2014·全国1·理T19）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.

（1）证明:

AC=AB1;

（2）若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.

39.（2014·全国2·理T18）如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.

（1）证明:

PB∥平面AEC;

（2）设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=

求三棱锥E-ACD的体积.

40.（2014·江西·理T19）如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.

（1）求证:

AB⊥PD;

（2）若∠BPC=90°,PB=

PC=2,问AB为何值时,四棱锥P-ABCD的体积最大?

并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值.

41.（2014·湖南·理T19）如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.

（1）证明:

O1O⊥底面ABCD;

（2）若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.

42.（2014·辽宁·理T19）如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.

（1）求证:

EF⊥BC;

（2）求二面角E-BF-C的正弦值.

43.（2014·天津·理T17）如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.

（1）证明:

BE⊥DC;

（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;

44.（2014·安徽·理T20）如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD.四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC.过A1,C,D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q.

（1）证明:

Q为BB1的中点;

（2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比;

（3）若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面积为6,求平面α与底面ABCD所成二面角的大小.

45.（2014·四川·理T18）三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示.设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.

（1）证明:

P是线段BC的中点;

（2）求二面角A-NP-M的余弦值.

46.（2014·山东·理T17）如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.

（1）求证:

C1M∥平面A1ADD1;

（2）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=

求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值.

47.（2014·湖北·理T19）如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ（0<λ<2）.

（1）当λ=1时,证明:

直线BC1∥平面EFPQ;

（2）是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?

若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

48.（2014·北京·理T17）如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.

（1）求证:

AB∥FG;

（2）若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.

49.（2014·福建·理T17）在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.

（1）求证:

AB⊥CD;

（2）若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.

50.（2014·陕西·理T17）四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.

（1）证明:

四边形EFGH是矩形;

（2）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.

51.（2013·全国1·理T18）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

（1）证明:

AB⊥A1C;

（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.

52.（2013·湖南·理T19）如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.

（1）证明:

AC⊥B1D;

（2）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.

53.（2013·全国2·理T18）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=

AB.

（1）证明:

BC1∥平面A1CD;

（2）求二面角D-A1C-E的正弦值.

54.（2013·广东·理T18）如图

（1）,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=

O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图

（2）所示的四棱锥A'-BCDE,其中A'O=

.

（1）证明:

A'O⊥平面BCDE;

（2）求二面角A'-CD-B的平面角的余弦值.

55.（2013·浙江·理T20）如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2

.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.

（1）证明:

PQ∥平面BCD;

（2）若二面角C-BM-D的大小为60°,求∠BDC的大小.

56.（2012·全国·理T19）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=

AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.

（1）证明:

DC1⊥BC;

（2）求二面角A1-BD-C1的大小.

57.（2011·全国·理T18）如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

（1）证明:

PA⊥BD;

（2）设PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.

58.（2011·四川·理T19）如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1.D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1.

（1）求证:

CD=C1D;

（2）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

（3）求点C到平面B1DP的距离.

59.（2010·全国·理T18）如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点.

（1）证明:

PE⊥BC;

（2）若∠APB=∠ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.

60.（2010·辽宁·理T19）已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=

AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

（1）证明:

CM⊥SN;

（2）求SN与平面CMN所成角的大小.