高中数学文科立体几何知识点总结.docx
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高中数学文科立体几何知识点总结
l立体几何知识点整理(文科)l//m
l//mm
直线和平面的三种位置关系:
一.αl
1.线面平行
方法二:
用面面平行实现。
l//l//αl符号表示:
2.线面相交βllαAα方法三:
用平面法向量实现。
符号表示:
n为平若面线在面内3.的一个法向量,ln
nlll//且。
则l
αα符号表示:
二.平行关系:
线线平行:
1.方法一:
用线面平行实现。
3.面面平行:
lmβl//l方法一:
用线线平行实现。
l'l//mlm'αl//l'mm//m'm//且相交l,m且相交l',m'方法二:
用面面平行实现。
//lβl//mlγmm
α方法二:
用线面平行实现。
方法三:
用线面垂直实现。
l//
l,ml//m//m//若。
,则ll,m且相交mβ方法四:
用向量方法:
mll//m。
若向量和向量共线且l、m不重合,则α
2.线面平行:
方法一:
用线线平行实现。
1/11
l
CA方法三:
用向量方法:
Bα
lmlm,则的数量积为和向量若向量0。
三.垂直关系:
夹角问题。
三.线面垂直:
1.异面直线所成的角:
一)(方法一:
用线线垂直实现。
(0,90]范围:
(1)
AClABl求法:
(2)Pnl
ABACA方法一:
定义法。
AθOAC,ABα:
平移,使它们相交,找到夹角。
步骤1
方法二:
用面面垂直实现。
)常用到余弦定理步骤2:
解三角形求出角。
(
余弦定理:
βllmac222c
ablm,lm
cosθ2abbα
)计算结果可能是其补角(
面面垂直:
2.方法二:
向量法。
转化为向量
方法一:
用线面垂直实现。
C的夹角βllθl:
)(计算结果可能是其补角
BAABACαcosABAC方法二:
计算所成二面角为直角。
线面角)(二线线垂直:
3.
上任取一点
(1)定义:
直线l,作(交点除外)P方法一:
用线面垂直实现。
内,则连结AOAO为斜线PA在面于O,POllmPAO图中(与面)为直线ll所成的角。
的射影,mm
αP
方法二:
三垂线定理及其逆定理。
θA
αO
PPO
PAlOAl
[0,90]
(2)范围:
lOA
αl112/
ll//0或时,当n1
nl90时,当2
θ求法:
(3)
方法一:
定义法。
nn:
作出线面角,并证明。
步骤121
cosnn步骤一:
计算21nn:
解三角形,求出线面角。
步骤221
nn二面角及其平面角三)(的关系,可能相等或步骤二:
判断与21
(1)定义:
在棱l上取一点P,两个半平面内分别作者互补。
l的垂线(射线)m、n,则射线m和n的夹角为
四.距离问题。
—l—的平面角。
二面角.点面距。
1
方法一:
几何法。
mlPP
n
OA
[0,180]范围:
(2)步骤1:
过点P作PO于O,线段PO即为所求。
步骤2:
计算线段PO的长度。
(直接解三角形;等
(3)求法:
体积法和等面积法;换点法)
2.线面距、面面距均可转化为点面距。
方法一:
定义法。
步骤1:
作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。
3.异面直线之间的距离
:
解三角形,求出二面角的平面角。
步骤2方法一:
转化为线面距离。
方法二:
截面法。
m和同时垂直于平面POA步骤1:
如图,若平面,n
则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。
n为两条异面直线,n和如图,m且步骤2:
解三角形,求出二面角。
m//,则异面直线m和n之间的距离可转化为直
βP线m与平面之间的距离。
θA方法二:
直接计算公垂线段的长度。
Oα
方法三:
公式法。
)。
方法三:
坐标法(计算结果可能与二面角互补
3/11
如图,AD是异面直线m和n的公垂线段,mBaA
ndm//m',则异面直线m和n之间的距离为:
c
m'D
b2222abcosadc
bC
空间向量五.
AA1
空间向量基本定理一)(
CC1D
pa,b,c,都存在唯一的有序实数对为空间中不共面的三个向量,则对空间中任意一个向量若向量B
B1zcpxayb、zy、x。
,使得
三点共线,四点共面问题)(二
三点共线C1.A,B,
,且OAxOByOC
x1y1yx
当的A时,是线段BC2
ABAC三点共线A,C,B
CBA,,,D四点共面2.
yOCzODxOBOAxz1y,且
1xyz当的BCD时,A是△
3
AByADxAC四点共面,DCA,B,
空间向量的坐标运算)(三
A1.已知空间中、两点的坐标分别为:
B
)B(x),z,yA(x,y,z则:
,211122
dABAB;A,B,),y(x,y,zb(x),za若空间中的向量2.111222
aabb则
114/
abcosab
六.常见几何体的特征及运算
(一)长方体
1.长方体的对角线相等且互相平分。
222+coscos+cos、、2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为,则
αβγβαγ
222cos+cos+cos、、,则若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为
,则体对角线长为若长方体的长宽高分别为a、b、c3.,体积为,表面积为。
(二)正棱锥:
底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。
(三)正棱柱:
底面是正多边形的直棱柱。
(四)正多面体:
每个面有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。
(只有五种正多面体)
(五)棱锥的性质:
平行于底面的的截面与底面相似,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。
正棱锥的性质:
各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。
VV)体积:
(六棱锥棱柱
球(七)
1.定义:
到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。
2.设球半径为R,小圆的半径为r,小圆圆心为O,球心O到小圆的距离为d,则它们三者之间的数量关1
。
系是
3.球面距离:
经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
4.球的表面积公式:
体积公式:
高考题典例
考点1点到平面的距离
5/11
,为中点.2DCC如图,正三棱柱例1的所有棱长都为CABCAB1111平面;(Ⅱ)求二面角的大小;⊥ABBDA(Ⅰ)求证:
DAAB111(Ⅲ)求点到平面的距离.BDAC1
解答过程(Ⅰ)取中点,连结.AOOBC
为正三角形,.BC⊥AO△ABC
平面,中,平面正三棱柱ABC⊥ABC11BCCBBCA111AA1别为.连结BOBC,CC分,在正方形平面中,DBCCB,OBBCCAO⊥111111F
C.
BD⊥,ABBO⊥BDC的中点,D111O
B中,平面.在正方形,
ABAB⊥ABABB⊥ABBDA1111111于交于点,在平面连中,作⊥结,(Ⅱ)设与FGGF111
ABABD1,平面.的平面角.BDAB为二面角DAADA⊥AF⊥AB∠AFG,由(Ⅰ)得AF1111
中,由等面积法可求得在DAA45△,AF1
51,又AB2AG.102AG1AFG∠sin24AF45
5的大小为B
所以二面角A10arcsin.DA14
中,(Ⅲ)ABD.,,,△△△12S6SBDAD5AB2BCDBDA1111.的距离为在正三棱柱中,到平面BCCBA3111d.设点到平面的距离为CABD
111,,得由2dSSV.33SVd△△BCD△BDBCDAAABDBCD11C1233SBDA△12.的距离为ABD点到平面C12
2考点异面直线的距离
24ABCS,底面是边长为2例已知三棱锥的正三角形,棱
AB、DBC、ESC的中点,求.分别为,且垂直于底面的长为2
116/
CD与SE间的距离.
解答过程:
如图所示,取BD的中点F,连结EF,SF,CF,
BCDCD,CDSEFCDSEFEFEF的距离即为两异面直线间的∥面的中位线,,∥到平面为
CDSEF到平面C上一点又.距离线面之间的距离可转化为线
2BC4、的中点,h,由题意知,AB,D、、E、FBC分别是BD的距离,设其为
1CD6,DF2,SC226,EFCD
2
V11EFDFSC1162223SCEF
33322
22CE
SCSE23SCE中,Rt在
22CF
SCSF424230SCF中,Rt在
S13hh1S,即6,3EFVVh2332由于,解得又SEFCSSEFSEFCEF3333
23间的距离为CD与SE故.
3
考点3直线到平面的距离
ACAAGBD的距离的正方体.的中点,求中,BDG到平面是2.例3如图,在棱长为1111
:
把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解思路启迪.D1C1O1DGBBD,∥平面:
解析一解答过程11A1B1
GBDBD的距离皆为所求,以下求上任意一点到平面H11
G
GBD的距离,点O平面D11C
O
ACBDAABDAACCDB,,平面,AB11111111111
GBDAACCGBDBDOG,两个平面的交线是平面又平面,111111111OGGBDOHGBDOH平面H于,则有作点到平面,即OH是O.的距离
1111111222OAOO.OGOS中,在1OG1O122
7/11
1126S又3OH2,OHGOHO.1OGO1322
62DGB的距离等于即BD到平面.11
3
GBDBD,∥平面解析二11
GBDGBD的距离平面.的距离皆为所求,以下求点BBD上任意一点到平面1111
GBDBGBD的距离为h的高,则,将它视为三棱锥设点B到平面1111由于1114,VV,6VS222223DDGBBBGB,1111DGBDGBB11113232426h,36
26
DGB.的距离等于到平面即BD113
都是线面距离.所以求线面距离关键是直线上的每一点到平面的距离都相等,:
当直线与平面平行时,小结
选准恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距
离.
考点4异面直线所成的角
πAOAB4为轴旋转以直线,斜边.例4如图,在中,可以通过AOB△RtAOC△RtRt△AOBOAB
6ACAOBABD的中点.是的直二面角.得到,且二面角
COD
AOB;平面)求证:
平面I(DAOCD)求异面直线II(所成角的大小.与
zAOBOCOAO,I)由题意,,解答过程:
(
AEBOBAOCBOC是直二面角,是二面角C
BOOAOBCOAOBOCO,,,又平面D
COCODCODAOB.平面平面.又平面
ECEDE∥AOOBDE,(如图),则,连结,垂足为(II)作
yCDAO所成的角.与是异面直线CDEB
O12xCBO2.中,在5OE
RtCO△COEBO,,2CECOOE1
2
8/11
RtCDE中,.在又1△tanCDE153DEAO.5CE
33DE2
AOCD15.所成角的大小为异面直线与arctan
3
小结:
求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:
①平移法:
在异面直线中的一条直
线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;②补形法:
把空间
如解析三.一般来说,平移法是最常其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,图形补成熟悉的几何体,
.0,
.同时要特别注意异面直线所成的角的范围:
用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法
2
考点5直线和平面所成的角
AB2,,∠ABC45为平行四边形,侧面例5.四棱锥S底面.已知ABCD中,底面ABCDSBCABCD
.SB3BC22,SAS
(Ⅰ)证明;(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小.SABSABCSD
CB解答过程:
(Ⅰ)作,垂足为,连结,由侧面底面⊥⊥BCAOSBCSOO
DA,得底面.ABSO⊥ABCDSBOAO
SASB,因为,所以AOB∠ABC45△为等腰直角三角形,,故又
OBCSA⊥AO⊥BO.,由三垂线定理,得CB
SA⊥BCAD∥BC,,依题设(Ⅱ)由(Ⅰ)知DAADSA⊥,由故,,,
ADBC22SA3AO2
121△SABSD112的面积SO1ABS.,得.AB2SA1
22
1ABADsin135S△DAB2DB的面积连结,得2
211VVhSABD,解得h2.,由于的距离为到平面设hS,得SOSDSABSABD2133
22SABSD.所成角为设与平面,则2hsin11SD11
SDSBC22.所成的我为所以,直线与平面arcsin11
1)先判断直线和平面的位置关系;
(2)当直线和平:
求直线与平面所成的角时,应注意的问题是(小结
面斜交时,常用以下步骤:
①构造——作出斜线与射影所成的角,②证明——论证作出的角为所求的角,
9/11
③计算——常用解三角形的方法求角,④结论——点明直线和平面所成的角的值.
6考点二面角
APQBCCACBPQ,,,,,已知直二面角例6.如图,
C
BC⊥PQCA4530BAP.(I)证明和平面,直线所成的角为AP
QPBAC的大小.II)求二面角(B
CCO⊥PQOOB.,连结内过点于点作)在平面过程指引:
(I
C
PQCO⊥⊥,,所以,因为H
APQOBCBOACA.又因为,所以OB
BAOABO45AOB9045,而,,所以
BO⊥PQCO⊥PQ,从而,又
OBCPQBC⊥BCPQ⊥OBC.所以平面.因为平面,故
PQ⊥BO⊥PQ,又)知,(II)由(I,,
BO⊥OOH⊥ACBH⊥ACBOBHH.故,所以,由三垂线定理知,于点.过点,连结作
BHOBPAC的平面角.是二面角
⊥COCAOCA30CAO由(I)知,,是和平面所成的角,则,所以
33AOOHACAOsin302.,则,不妨设
2
BOAO3Rt△BOHRt△OAB45ABOBAO,所以在是,在于中中,,
BParctan2AC3BO.的大小为.故二面角
2tanBHOOH3
2
.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面:
本题是一个无棱二面角的求解问题小结
角棱的确定有以下三种途径:
①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,②由二面角两个平面内的两条
平行直线找出棱,③补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面
角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.
10/11
7考点利用空间向量求空间距离和角
D1DABCABCD3A是棱长为如图,已知例7.的正方体,11111B1C1AEFCCCEAA1F上,且在在上,点点.111
EF
D,B,F,E四点共面;
(1)求证:
1MA2DGM⊥BFBGBCG,上,上,在
(2)若点HBBM为足垂在,点1BGC3BCCBEM⊥H;平面,求证:
11EBFDBCCBtan和侧面(3)用表示截面所成的锐二面角的大小,求.111DDDN1NENCN上取点,使过程指引:
(1)如图,在,,,连结1D1A1ND2CFDN1AEB.,则11C1
CFND∥NCFDDNAE∥ADNEN,所以四边形因为,都为平行四,EF11MEN∥ADFD∥CN.边形.从而,A1DHBGAD∥BCEN∥BCBCNEC是平行四边形,由此,故四边形又因为,所以CNBE∥FD∥BEE,B,F,D四点共面.,从而推知.因此,11GM⊥BFBM⊥BC∠CFB∠BGM,又,所以,
(2)如图,BC32CFBBGMBGtan∠BGtan∠BM1BG.3CF2AE∥BMEMABMEAB∥.,所以为平行四边形,从而因为BCCBBCCBEMAB⊥⊥.,所以又平面平面1111
∠EHM.于是BF⊥EH⊥⊥BFEMBFBF⊥EMHMHEH,得,平面,所以(3)如图,连结.因为
∠EHM.是所求的二面角的平面角,即
∠MBH∠CFBMHBMsin∠MBHBMsin∠CFB,所以因为
EM.,tanBC1BM331322222BC3CFMH13
11/11