初中数学几何的相关知识点汇总.docx

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初中数学几何的相关知识点汇总

一、几何图形公式

　　这是最简单，最基础的一种方法，当所求图形是我们常规的几何图形，例如三角形、正方形等。

此时直接运用公式即可。

例如：

几何公式

　　和差法

　　和差法比公式法略微复杂，需要学生进行简单的判断，不过一般难度不大，只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。

　　1.直接和差法

几何公式

　　2.构造和差法

　　在构造和差法中，通常需要学生构建自己的数学图形转化思维，学会通过添加辅助线求解。

　　割补法

　　割补法，是学生拥有比较强的转化能力后才能轻松运用的，否则学生看到这样的题目还是会无从下手。

尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件。

　　1.全等法

　几何公式

　　2.对称法

几何公式

　　3.平移法

　　4.旋转法

二、图形与变换

　　1、图形的轴对称

　　轴对称：

如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

　　轴对称图形：

①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

③等腰三角形的“三线合一”。

　　轴对称的性质：

对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。

　　2、图形的平移和旋转

　　平移：

①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

　　旋转：

①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。

②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

　　3、图形的相似

　　比：

①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。

②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。

③A/B=C/D=。

。

。

=M/N，那么A+C+…+M/B+D+…N=A/B。

　　黄金分割：

点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比（根号5-1/2）。

　　相似：

①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。

②相似多边形对应边的比叫做相似比。

　　相似三角形：

①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

②条件：

AAA、SSS、SAS。

　　相似多边形的性质：

①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。

②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

　　图形的放大与缩小：

①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

　　C、图形的坐标

　　平面直角坐标系：

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴与Y轴统称坐标轴，他们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

他们分4个象限。

XA，YB记作（A，B）。

　　D、证明

　　定义与命题：

①对名称与术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义。

②对事情进行判断的句子叫做命题（分真命题与假命题）。

③每个命题是由条件和结论两部分组成。

④要说明一个命题是假命题，通常举出一个离子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子叫做反例。

公理：

①公认的真命题叫做公理。

②其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。

③同位角相等，两直线平行，反之亦然;SAS、ASA、SSS，反之亦然;同旁内角互补，两直线平行，反之亦然;内错角相等，两直线平行，反之亦然;三角形三个内角的和等于180度;三角形的一个外交等于和他不相邻的两个内角的和;三角心的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。

④由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。

三、图形的认识

　　1、点，线，面

　　点，线，面：

①图形是由点，线，面构成的。

②面与面相交得线，线与线相交得点。

③点动成线，线动成面，面动成体。

　　展开与折叠：

①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。

②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。

　　截一个几何体：

用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

　　视图：

主视图，左视图，俯视图。

　　多边形：

他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

　　弧、扇形：

①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。

②圆可以分割成若干个扇形。

　　2、角

　　线：

①线段有两个端点。

②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

射线只有一个端点。

③将线段的两端无限延长就形成了直线。

直线没有端点。

④经过两点有且只有一条直线。

　　比较长短：

①两点之间的所有连线中，线段最短。

②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

　　角的度量与表示：

①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。

②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

　　角的比较：

①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。

②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。

始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。

③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

　　平行：

①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。

　　垂直：

①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。

③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

　　垂直平分线：

垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。

　　垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了2点后（关于画法，后面会讲）一定要把线段穿出2点。

　　垂直平分线定理：

　　性质定理：

在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等;

　　判定定理：

到线段2端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上

　　角平分线：

把一个角平分的射线叫该角的角平分线。

　　定义中有几个要点要注意一下的，就是角的角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现直线，这是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点

　　性质定理：

角平分线上的点到该角两边的距离相等

　　判定定理：

到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上

　　正方形：

一组邻边相等的矩形是正方形

　　性质：

正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质

　　判定：

1、对角线相等的菱形2、邻边相等的矩形

　　3、相交线与平行线

　　角：

①如果两个角的和是直角,那么称和两个角互为余角;如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。

②同角或等角的余角/补角相等。

③对顶角相等。

④同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行，反之亦然。

　　4、三角形

　　三角形：

①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

②三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

③三角形三个内角的和等于180度。

④三角形分锐角三角形/直角三角形/钝角三角形。

⑤直角三角形的两个锐角互余。

⑥三角形中一个内角的角平分线与他的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

⑦三角形中，连接一个顶点与他对边中点的线段叫做这个三角形的中线。

⑧三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点。

⑨从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

⑩三角形的三条高所在的直线交于一点。

　　图形的全等：

全等图形的形状和大小都相同。

两个能够重合的图形叫全等图形。

　　全等三角形：

①全等三角形的对应边/角相等。

　　②条件：

SSS、AAS、ASA、SAS、HL。

　　勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然。

　　5、四边形

　　平行四边形的性质：

①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。

③平行四边形的对边/对角相等。

④平行四边形的对角线互相平分。

　　平行四边形的判定条件：

两条对角线互相平分的四边形、一组对边平行且相等的四边形、两组对边分别相等的四边形/定义。

　　菱形：

①一组邻边相等的平行四边形是菱形。

②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。

③判定条件：

定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。

　　矩形与正方形：

①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

②矩形的对角线相等，四个角都是直角。

③对角线相等的平行四边形是矩形。

④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。

⑤一组邻边相等的矩形是正方形。

　　梯形：

①一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。

②两条腰相等的梯形叫等腰梯形。

③一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

④等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线星等，反之亦然。

　　多边形：

①N边形的内角和等于（N-2）180度。

②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度）

　　平面图形的密铺：

三角形，四边形和正六边形可以密铺。

中心对称图形：

①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。

②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

四、三倍角公式推导

tan3α=sin3α/cos3α

=（sin2αcosα+cos2αsinα）/（cos2αcosα-sin2αsinα）

=（2sinαcos^2（α）+cos^2（α）sinα-sin^3（α））/（cos^3（α）-cosαsin^2（α）-2sin^2（α）cosα）

上下同除以cos^3（α），得：

tan3α=（3tanα-tan^3（α））/（1-3tan^2（α））

sin3α=sin（2α+α）=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2（α）+（1-2sin^2（α））sinα

=2sinα-2sin^3（α）+sinα-2sin^3（α）=3sinα-4sin^3（α）

cos3α=cos（2α+α）=cos2αcosα-sin2αsinα

=（2cos^2（α）-1）cosα-2cosαsin^2（α）

=2cos^3（α）-cosα+（2cosα-2cos^3（α））

=4cos^3（α）-3cosα

即

sin3α=3sinα-4sin^3（α）

cos3α=4cos^3（α）-3cosα