河南省新乡市届高三下学期第二次模拟考试数学文科试题.docx
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河南省新乡市届高三下学期第二次模拟考试数学文科试题
【市级联考】河南省新乡市2019届高三下学期第二次模拟考试数学（文科）试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知复数为纯虚数，则实数（）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
3．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）
A．B．C．D．
4．设，满足约束条件，则的最大值是（）
A．B．C．D．
5．已知双曲线一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
6．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是，，，，，，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（）
A．B．C．D．
7．函数的大致图像为（）
A．B．
C．D．
8．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）
A．为了计算
B．为了计算
C．为了计算
D．为了计算
9．设，，分别是方程，，的实数根，则有（）
A．B．
C．D．
10．已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是（）
A．B．C．D．
11．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，，，，则的最小值为（）
A．B．
C．D．
12．设表示，两者中较大的一个，已知定义在的函数，满足关于的方程有个不同的解，则的取值范围为（）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．在矩形中，，，则__________.
14．已知等比数列的首项为，且，则__________.
15．已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________.
16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为______．
三、解答题
17．在中，内角，，所对的边分别为，，，若.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
18．在三棱锥，，，是边长为的等边三角形.
（1）证明：
.
（2）当平面平面，求点到平面的距离.
19．随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数（单位：
人）与时间（单位：
年）的数据，列表如下：
1
2
3
4
5
24
27
41
64
79
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：
相关系数公式，参考数据
（2）建立关于的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）．
（参考公式：
，
20．设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的焦距为，直线的斜率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线（）与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的倍，求的值.
21．已知函数的图像在点处的切线方程为.
（1）求的表达式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）已知直线与轴交于点，且与曲线交于，两点，求的值.
23．已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设关于的不等式有解，求的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
根据复数的除法运算得到结果即可.
【详解】
为纯虚数，故
故答案为D.
【点睛】
这个题目考查了复数的运算，题目比较基础.
2．B
【解析】
【分析】
根据集合的补集的运算得到结果即可.
【详解】
由题可知，集合，，则.
故答案为：
B.
【点睛】
这个题目考查了集合的补集的运算，题目简单基础.
3．A
【分析】
由轴截面是面积为1的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积.
【详解】
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
由题可知，r=h=，则，
∴
侧面积为
故选A
【点睛】
本题考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；注意圆锥的侧面积的应用．
4．A
【分析】
作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．
【详解】
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝﹣2x+y，得y＝2x+z表示，斜率为2纵截距为Z的一组平行直线
平移直线y＝2x+z，当直线y＝2x+z经过点A时，
直线y＝2x+z的截距最大，此时z最大，由
解得A（﹣2，3）
此时﹣2x+y＝7，即此时z＝7，
故选A．
【点睛】
利用线性规划求最值的步骤：
（1）在平面直角坐标系内作出可行域．
（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．
（3）确定最优解：
根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
（4）求最值：
将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
5．A
【解析】
【分析】
先求得渐近线的方程，利用两条直线垂直斜率相乘等于列方程，结合求得双曲线离心率.
【详解】
由题可知双曲线的渐近线方程为，则，即，又，所以.故选A.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线以及离心率的求法，考查两条有斜率的直线相互垂直时，斜率相乘等于，属于基础题.
6．C
【分析】
设丢失的数据为，将分成，，三种情况，计算出平均数、中位数、总数，根据三者成等差数列列方程，求得的所有可能取值，相加后求得结果.
【详解】
设丢失的数据为，则七个数据的平均数为，众数是.由题意知，这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，若，则中位数为，此时平均数，解得；若则中位数为，此时，解得；若，则中位数为，此时，解得.综上，丢失数据的所有可能的取值为，，，三数之和为.故选C.
【点睛】
本小题主要考查平均数、众数和中位数的计算，考查分析和求解能力，属于中档题.
7．D
【分析】
先判断函数为偶函数，再求出当0＜x＜1时，f（x）＞1，故排除A，B，C.
【详解】
∵f（-x）=f（x），
∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，C，
当0＜x＜1时，log2x8＜0，x2-4＜0，∴f（x）＞1，故排除A，
故选D．
【点睛】
本题考查了函数的图象的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值的变化趋势，属于基础题．
8．A
【解析】
【分析】
根据程序框图中的循环结构，求得的变化规律，判断出何时退出循环结构，由此判断出正确选项.
【详解】
运行程序，，，判断是；，判断是，，……，以此类推，表达式的最后一项的指数比下一个要少，故，退出程序，输出的值.所以程序框图是为了计算，故选A.
【点睛】
本小题主要考查程序框图阅读理解，考查分析和推理能力，属于基础题.
9．D
【解析】
【分析】
根据题干将方程的根转化为函数图像的交点问题,将图像都画在同一坐标系下，根据图像可得到结果.
【详解】
如图，方程，，的根转化为y=x+3和,,，的交点问题.
在同一坐标系中画出函数的图像，得.
故答案为：
D.
【点睛】
这个题目考查了方程的根的问题，方程的根和函数的零点，图像的交点是同一问题，可以互相转化.
10．A
【分析】
利用配凑法将题目所给递推公式转化为，即证得为首项为，公差为的等差数列，由此求得的表达式，进而求得的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当时有最小值.
【详解】
由已知得，，所以数列为首项为，公差为的等差数列，，则，其对称轴.所以的最小的一项是第项.故选A.
【点睛】
本小题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.
11．C
【解析】
【分析】
根据抛物线过点求得抛物线方程，求得焦点和圆心坐标以及圆的半径.根据焦半径公式得到，转化为，利用基本不等式求得上式的最小值.
【详解】
由题意抛物线过定点，得抛物线方程，焦点为，圆的标准方程为，所以圆心为，半径.由于直线过焦点，所以有，又.故选C.
【点睛】
本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，考查基本不等式求和式的最小值，属于中档题.
12．C
【分析】
根据题干得到或，画出函数的图像，找和与的交点个数使得交点有6个即可.
【详解】
由，可得或.函数的图像如图所示，所以，解得.
故答案为C.
【点睛】
这个题目考查了复合函数方程根的问题，一般先找到内外层，分别研究内外层函数的根即可得到结果.
13．
【分析】
根据向量加减法运算得到，进而得到结果.
【详解】
在矩形中.，|.
故答案为.
【点睛】
这个题目考查了向量的加法运算和减法运算，题目简单基础.
14．
【解析】
【分析】
先由等比数列的通项公式得到，进而得到，再根据等比数列的性质得到结果.
【详解】
设等比数列的公比为，因为，根据等比数列的通项公式的计算得到：
，所以.由等比数列的性质得到：
.
故答案为：
128.
【点睛】
这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础.对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
15．
【解析】
【分析】
对函数求导，原题转化为，构造函数求导得到在上单调递增，进而得到函数最值，得到参数值.
【详解】
在上恒成立，则，令，，知在上单调递增，故.
故答案为：
.
【点睛】
对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：
变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。
16．
【解析】
【分析】
由几何体的直观图为三棱锥，其中的外接圆的圆心为，的外接圆的圆心为，的球心为，球的半径为，且平面，平面，在和中，分别求得和，根据球的性质，求得求得半径，即可求解外接球的表面积．
【详解】
由三视图可推知，几何体的直观图为三棱锥，如图所示，
其中的外接圆的圆心为，的外接圆的圆心为，的球心为，球的半径为，且平面，平面.
因为是顶角为的等腰三角形，
所以的外接圆的直径为，即，即，
又由为边长为的等边三角形，所以，即，
根据球的性质，可得，
所以外接球的表面积为.
【点睛】
本题主要考查了球的表面积的计算，以及三棱锥外接球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征和球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于中档试题．
17．
（1）；
（2）.
【分析】
（1）利用余弦定理、两角和的正弦公式、三角形的内角和定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.
（2）利用余弦定理和基本不等式，求得的最大值，由三角形面积公式，求得面积的最大值.
【详解】
解：
（1）由余弦定理可得，，
则，
即，所以，因为，则，所以.
（2）由余弦定理可知，，即，
所以，
则.
.
所以面积的最大值为.
【点睛】
本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查两角和的正弦公式的应用，考查三角形内角和定理的应用，属于中档题.
18．
（1）详见解析；
（2）.
【分
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